E-school  di  Arrigo Amadori

Tutorial di matematica

Successioni


01 - Successioni reali.

Le successioni di numeri reali sono delle funzioni da  N  ad  R . Cioè :

          ,

dove  N è l'insieme dei numeri naturali    ed  R  è l'insieme dei numeri reali.

Facciamo alcuni esempi :

        - 1 -    La successione  .

                   Questa successione fra i numeri naturali è rappresentabile dal seguente grafico cartesiano : 

                           

                   Si noti che, al crescere di  n , il valore di    cala sempre di più, avvicinandosi sempre 
                   più allo zero, senza però mai raggiungerlo. Infatti non esiste nessun numero naturale  n  
                   per cui si abbia  in quanto quell'eventuale numero, moltiplicato per  0 , dovrebbe 
                   dare  1 e, come si sa, tutti i numeri moltiplicati per  0  danno come risultato  0 .

                   Abbiamo così introdotto intuitivamente il concetto di limite. Scriveremo quindi :

                           

                   e diremo "il limite della successione  per  n  tendente all'infinito è  0 "

                   Daremo una definizione più rigorosa di limite prossimamente. Premettiamo solo che il 
                   concetto di limite è di fondamentale importanza
ed è alla base dell'intero calcolo 
                   differenziale. Si pensi solo che derivate ed integrali sono dei limiti.

        - 2 -    La successione  .

                   I valori della successione al variare di  n  sono : 

                           

                   Che corrisponde al grafico cartesiano :

                           

                   Si noti che i valori di questa successione tendono al valore  1 . Possiamo allora scrivere :

                            .

        - 3 -    La successione  .

                   Il suo grafico cartesiano è :

                            

                   Questa successione, a differenza delle precedenti, ha un "comportamento" tale per cui, 
                   al crescere di  n , il suo valore cresce indefinitamente. In questo caso si dice che il limite 
                   della successione è più infinito e si scrive :

                            .

                   Si noti che abbiamo scritto  , specificando il segno dell'infinito, perché una 
                   successione, se acquistasse valori negativi sempre più grandi (in valore assoluto), 
                   tenderebbe a meno infinito ( ).

        - 4 -    La successione  .

                   I valori della successione al variare di  n  sono : 

                           

                   Si noti l'alternanza del segno meno ! Ciò dipende dal fatto che  -1  elevato ad un 
                   esponente pari dà  +1 , mentre, elevato ad un esponente dispari, dà  -1 .

                   Il grafico cartesiano di questa successione è :

                           

                   In questo caso, al crescere di  n , la successione ha un comportamento oscillante. Essa 
                   assume valori alternativamente positivi e negativi. In questo caso il limite non esiste, perché
                   il comportamento della successione non è definito in modo "preciso", si potrebbe dire che 
                   detto comportamento è "ambiguo".

02 - Distanza fra due punti della retta reale.

Introduciamo ora un concetto di straordinaria importanza in matematica (ed in fisica !!!) che non ci 
abbandonerà mai più e lo facciamo nel caso molto semplice della retta reale, ovvero della retta 
orientata su cui poniamo i numeri reali (naturali, interi, razionali, irrazionali).

       

Stiamo parlando della distanza fra due punti. 

Consideriamo allora i due punti  A  e  B  della retta reale a cui corrispondono i due numeri reali  a  e  b .

       

Se  b  è maggiore di  a , cioè  b > a ,  allora la distanza fra i due punti, che si indica con  d(a,b) ,  è data 
semplicemente dalla differenza :

        d(a,b) = b - a .

Se, invece,  a  è maggiore di  b , cioè  a > b ,  allora il punto  B  precede  A :

       

e la distanza è di conseguenza data da :

        d(a,b) = a - b .

E questo perché la distanza è sempre un numero positivo (o nullo se i due punti coincidono). La distanza 
non può essere mai negativa !!!

Nel definire la distanza fra due punti di una retta abbiamo allora due definizioni, a seconda della posizione 
reciproca dei due punti. Potremmo pervenire invece ad una sola definizione ? Ovvero, come definiamo la
distanza se non sappiamo quale dei due numeri è il maggiore ?

Per questo, ci viene in aiuto una apposita operazione, il valore assoluto (detto anche modulo) che si 
indica con le sbarrette verticali  |  | . 

Il valore assoluto di un numero è lo stesso numero, se questo è positivo o nullo, oppure è quel numero 
cambiato di segno, se esso è negativo. Per esempio :

        |10| = 10

        |0| = 0

        |-4| = 4 .

In "pratica" il valore assoluto fa diventare tutti i numeri positivi (o nulli, se tali già sono).

Possiamo perciò, utilizzando il valore assoluto, scrivere una sola definizione di distanza:

        d(a,b) = |a - b|

che si legge "la distanza fra i punti  a  e  b  (di cui non sappiamo a priori chi è il maggiore) è data dal valore 
assoluto della differenza fra i due numeri".

Facciamo alcuni esempi di distanza :

        a = 7 , b = 5 ==> d(a,b) = |7 - 5| = |2| = 2

        a = 2 , b = 5 ==> d(a,b) = |2 - 5| = |-3| = 3

        a = -1 , b = -4 ==> d(a,b) = |-1 - (-4)| = |-1 + 4| = |3| = 3

        a = -9 , b = -4 ==> d(a,b) = |-9 - (-4)| = |-9 + 4| = |-5| = 5 .

Il concetto di distanza si può estendere ad un qualunque tipo di spazio (entro particolari restrizioni che 
studieremo bene più avanti).

03 - Definizione di limite di una successione.

Precedentemente abbiamo introdotto il concetto di limite a livello "intuitivo". Ora proviamo a dare una 
definizione di limite più esatta.

Consideriamo la successione    formata dai numeri :

          .

Si dice che il limite della successione     per    è il numero  a  e si scrive :  

       

oppure :

       

se, al crescere di  n  , il valore della successione si "avvicina sempre più" al numero  a . 

Questa non è ancora la definizione esatta di limite, ma già ne dà un un'idea intuitiva molto precisa. Risulta 
chiaro da quanto detto che il concetto di limite si riferisce al concetto di distanza (implicita nella parola 
"avvicinarsi"). 

Come possiamo rendere con un linguaggio matematico ancora più esatto questo concetto ? Diciamo allora 
che la successione    per  tende al numero  a  , ovvero che  , se :

       

Abbiamo voluto utilizzare in profondità il linguaggio matematico, che è una vera e propria "stenografia", 
perché è altamente sintetico ed incisivo.

Infatti, la definizione di limite si legge così :

        "per ogni epsilon ( ) appartenente all'insieme dei numeri reali positivi ( ) esiste un  n-epsilon 
        ( ) appartenente all'insieme dei numeri naturali ( N ) tale che la distanza fra il valore  della 
        successione ed il valore  a  del limite è minore di epsilon  ( ) per ogni valore di  n  appartenente 
        a numeri naturali ( N ) maggiore di n-epsilon  ( ) ".

Consideriamo il seguente esempio grafico :

       

Da esso appare chiaro che la distanza fra i valori    ed il limite  a  è minore di un fissato    positivo 
per ogni  n  maggiore di  .

Se prendessimo un altro valore di    sempre positivo ma questa volta minore del precedente, otterremmo
per esempio :

       

In questo caso, per ogni  n  maggiore di  si ha che la distanze fra il valore di    ed il limite  a  
è minore di quel valore scelto di   .

Orbene, se per ogni valore  reale positivo si verifica ciò, possiamo affermare la veridicità del limite, 
ovvero che    tende ad  a  per  n  tendente all'infinito.

Si noti che gli    devono essere numeri reali positivi e quindi diversi da  0 .

04 - Calcolo dei limiti delle successioni. Programma al computer.

La definizione di limite di una successione permette solamente di verificare la veridicità di un limite. Essa, 
quindi, non permette in nessun modo di calcolarlo

Per calcolare il limite di una successione non esistono regole o formule predefinite. Alcuni teoremi ci 
possono venire in aiuto ma, in generale, il calcolo di un limite è una operazione non predefinita. Vi sono 
delle successioni per cui si intuisce facilmente il limite, come per esempio le semplici    e    i cui limiti 
sono rispettivamente  0  e  1 , ed altre successioni, invece, per cui non è possibile pervenire ad un risultato 
in modo semplice. E' questo il caso dell'importante successione :

       

che ha come limite il numero di Nepero  "e"  (che vale circa  2,718... ) per cui possiamo scrivere :

        .

Il numero di Nepero  "e"  non è definibile "esattamente" perché si tratta di un numero irrazionale, quindi 
con infiniti decimali non periodici. In questo caso, come nei casi analoghi, ci si deve accontentare di una
approssimazione del limite.

Tale approssimazione può essere ottenuta in maniera molto efficiente con un l'aiuto del computer. Fino 
a qualche decennio fa, per eseguire i calcoli, si utilizzavano tavole numeriche basate sui logaritmi. Poi vi 
fu l'avvento delle calcolatrici elettroniche ed infine del computer che è diventato, data la sua potenza, 
lo strumento principe del matematico.

Vediamo ora come si imposta il programma al computer per disegnare una successione e per calcolarne 
il limite in modo approssimato.

Mostreremo qui solo il "flow chart" (organigramma o diagramma di flusso) del programma e non il 
medesimo scritto con un linguaggio di programmazione particolare in quanto tutti i linguaggi per 
computer, pur diversi nella sintassi, in effetti sono simili e fanno le stesse cose. Ci limiteremo quindi
al "flusso" del programma dal punto di vista concettuale.

Mostreremo poi, successivamente, il risultato ottenuto con un programma reale nel caso della successione 
tenendo presente che questo programma può essere usato per qualunque successione.

Il flow chart di un programma che disegna punto per punto una successione e ne calcola il limite 
approssimato è il seguente :

       

Descriviamo le istruzioni che lo compongono passo per passo.

        - 1 -    inizio

                   il programma inizia.

        - 2 -    input SUCC

                   con questa istruzione si comunica al computer la formula della successione. Nel nostro 
                   caso   .

        - 3 -    input NMAX

                   viene comunicato al computer il numero massimo di  n , superato il quale il programma si 
                   deve fermare.

        - 4 -    N = 1

                   la variabile  N  viene posta uguale ad  1 . 

        - 5 -    VALSUCC = eval(SUCC)

                   viene valutata, calcolata, la successione contenuta nella variabile  SUCC  relativamente 
                   al valore della variabile  N  ed il risultato viene posto nella variabile  VALSUCC . Al primo 
                   passaggio, essendo  N = 1 , VALSUCC  sarà posto uguale a  .

         - 6 -    draw VALSUCC

                   viene disegnato nel grafico cartesiano il valore  VALSUCC  della successione.

        - 7 -    N = N + 1

                   questa istruzione, apparentemente "strana" dal punto di vista matematico, permette di 
                   incrementare di  1  il valore della variabile  N . Essa fa sì che ad  N  venga aggiunto  1
                   ed il risultato trovato vada posto nella variabile stessa  N  . In effetti una forma più giusta
                   per questa istruzione sarebbe  , cioè "incrementa  N  di  1  e sostituisci
                   ad  N  stesso il valore trovato", ma nel linguaggio informatico si usa il segno di  "="  
                    invece della freccia.

        - 8 -    ? N = NMAX + 1 

                   questa istruzione esegue una domanda alla quale corrispondono due possibilità, 
                   risposta affermativa o negativa. Con questa istruzione il programma controlla se  N , 
                   che viene incrementato di  1  ad ogni passaggio, ha raggiunto il valore  NMAX + 1 ,
                   raggiunto il quale, il programma deve terminare. Senza questa istruzione il programma 
                   entrerebbe in un loop (ciclo) infinito ed il computer si bloccherebbe. Se la risposta
                   del test è negativa, significa che la variabile  N  non ha ancora raggiunto il valore
                   finale ed il flusso del programma deve andare fra le istruzioni  4  e  5 e procedere di 
                   conseguenza. Se la risposta è positiva, vuol dire che è stato raggiunto il valore massimo 
                   di  N  per cui il programma deve terminare.

        - 9 -    output VALSUCC

                   viene visualizzato (per esempio sullo schermo del computer) il valore della successione 
                   corrispondente al valore massimo  NMAX .

        - 10 -  fine

                   il programma termina.

Di seguito riportiamo il grafico della successione    elaborata dal programma "Successione 
in R" disponibile alla pagina :

        http://lnx.arrigoamadori.com/CalcoloNumerico/calcolonumericolnx.htm

(per informazione, il programma in questione è stato scritto utilizzando il linguaggio PHP),

       

La successione    viene disegnata fino al valore  n = 100  ed il limite, così approssimato, risulta :  

        2,7048138294215 

che approssima così il numero di Nepero  "e" . Aumentando il valore di  n  , si ottiene ovviamente una 
approssimazione migliore. Per  n = 1.000.000  si ottiene :

        2,7182804690957 .

05 - Successioni divergenti.

Consideriamo infine le successioni che tendono a    o a  che sono anche dette divergenti, così 
come quelle che tendono ad un numero sono dette convergenti.

Un esempio di tali successioni divergenti è la successione :

        2n

dei numeri pari positivi :

        2, 4, 6, ... .

Graficamente :

       

Si vede bene "intuitivamente" che essa tende a  (diverge positivamente) mentre la successione :

        -2n

dei numeri pari negativi :

        -2, -4, -6, ...

       

tende a  (diverge negativamente).

In generale, data una successione  , si dice che essa tende a  (diverge positivamente) e si scrive :

       

se :

       

che si legge :

        "per ogni  M  reale esiste un  naturale tale che    è maggiore di  M  per ogni  n  naturale maggiore 
        di  "  

Il significato di questa definizione è il seguente. Comunque si prenda un numero reale  M  , se esiste un 
numero naturale    a destra del quale tutti i valori della successione sono maggiore di  M  ciò significa 
che la successione tende a  . 

Infatti, per un dato  M  (prendendo come esempio la successione precedente  2n  ) si ha  :

       

da cui si vede bene che il numero naturale    a destra del quale tutti i valori della successione sono 
maggiori di  M  è  2 .

Se prendiamo un altro valore di  M  otteniamo per esempio :

       

per il quale si ha che    vale  4 . Per questa successione, prendendo qualunque  M  reale,  si può 
sempre trovare un    a destra del quale essa ha valori maggiori di  M . Deduciamo allora che la 
successione diverge positivamente.

Se la successione  tende a    (diverge negativamente) si scrive :

       

e ciò si verifica quando :

        .

Si noti che in questa definizione è cambiato solo in verso della disequazione  ( < M  invece di  > M ).

Il significato della definizione di successione divergente negativamente è analogo a quella di successione 
divergente positivamente.

Fine.

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