E-school  di  Arrigo Amadori

Tutorial di matematica

Serie


01 - Serie.

Sia data la successione    che è come dire la "sequenza" di numeri  . Con essa possiamo 
costruire la seguente successione detta delle somme parziali :

       

La successione    (i puntini significano che si va all'infinito) così ottenuta si chiama serie e si 
indica con il simbolo :

       

ed equivale alla somma di tutti i termini della successione  da cui siamo partiti, ovvero :

       

(sottolineiamo ancora che si tratta di una somma di infiniti termini !!!).

Il problema è adesso quello di vedere se una data serie converge, diverge od oscilla, cioè se la 
somma  tende ad un valore ben preciso, oppure tende a  (diverge positivamente) o a  
  (diverge negativamente), oppure ha un andamento "ambiguo".

Studiare il comportamento di una serie è in generale un problema molto complesso e non ci addentreremo 
in esso. Diciamo solo che vi è un certo numero di serie la cui somma è nota ed alcuni teoremi che possono 
aiutarci. In ogni caso ci si può avvalere dell'aiuto del computer e calcolare il valore approssimato della somma 
di una data serie, fermandoci ad un valore anche molto grande di  n .

Per questo possiamo usare il programma disponibile in questo sito alla pagina :

        http://lnx.arrigoamadori.com/CalcoloNumerico/Serie/serie.htm .

Possiamo anche affermare che l'importanza delle serie nella scienza è fondamentale. Le serie entrano 
in ogni capitolo della matematica e della fisica ed esse forniscono addirittura metodi generali per 
approssimare una enorme quantità di problemi non analiticamente (esattamente) risolubili.

02 - Serie notevoli.

Riportiamo ora alcune serie di fondamentale importanza la cui somma è nota (senza riportare le 
dimostrazioni del calcolo delle suddette somme). 

        - 1 -    Serie armonica 

                   la serie armonica diverge positivamente per cui scriveremo :

                            .

        - 2 -    Serie   

                   questa serie converge (non riportiamo il valore esatto della somma, ma lo indichiamo con  
                   S  ) per cui :

                              .

        - 3 -    Serie geometrica  di ragione  q  

                   la serie geometrica converge, diverge od oscilla a seconda del valore della ragione  q .

                   Abbiamo i seguenti casi :

                            - se  ( |q|  è il valore assoluto di  q ) allora la serie converge a 

                            - se  allora la serie diverge positivamente

                            - se    allora la serie oscilla.

                   Per esempio, se  , abbiamo :

                           

                   perché se  cadiamo nel primo caso, secondo il quale :  

                              .

                   Possiamo "vedere geometricamente" questo risultato nel seguente modo : 

                           

                   da cui risulta chiaro che sommando "fette" di valore dimezzato si ottiene al limite il 
                   valore  1 . 

03 - Due considerazioni importanti.

        - 1 -    Da quanto mostrato risulta chiaro che se i termini della serie tendono a zero (al tendere di  
                   n  all'infinito) si può avere convergenza o divergenza della serie. Per esempio le serie    
                   e    hanno entrambe termini tendenti a zero ma la prima serie diverge e la seconda 
                   converge.

                   Se però avessimo termini non tendenti a zero, allora saremmo sicuri che la serie non 
                   converge !!!

                   Per esempio, la serie geometrica di ragione  q = 2 , diverge positivamente. Cioè :

                            .

        - 2 -    Le serie di cui si conosce la somma possono essere utilizzate per dimostrare se una serie 
                   data converge o diverge. Per esempio, consideriamo la serie :

                           

                   e chiediamoci se essa converge (non ci chiediamo quanto vale la somma, ma solo se essa 
                   converge !!! Il calcolo della somma di una serie è un altro tipo di problema). 

                   Proviamo a confrontare questa serie con la serie nota    che sappiamo convergere.

                   Siccome per ogni valore di  n  si ha :

                           

                   possiamo dedurre che la serie incognita    converge perché formata da termini tutti 
                   minori di quelli della serie nota    che è sicuramente convergente. Diremo allora che la 
                   serie    è maggiorante della serie    oppure che la serie    è minorante  
                   della serie  .

Fine.

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