Tutorial di matematica
Serie
01 - Serie.
Sia data la successione
che è come dire la "sequenza" di numeri 
. Con essa possiamo costruire la seguente successione detta delle somme parziali :
La successione
(i puntini significano che si va all'infinito) così ottenuta si chiama serie
e si indica con il simbolo :
ed equivale alla somma di tutti i termini della successione
da cui siamo partiti, ovvero :
(sottolineiamo ancora che si tratta di una somma di infiniti termini !!!).
Il problema è adesso quello di vedere se una data serie converge, diverge od oscilla, cioè se la
somma
tende ad
un valore ben preciso, oppure tende a 
(diverge positivamente) o a 
(diverge
negativamente), oppure ha un andamento "ambiguo".Studiare il comportamento di una serie è in generale un problema molto complesso e non ci addentreremo
in esso. Diciamo solo che vi è un certo numero di serie la cui somma è nota ed alcuni teoremi che possono
aiutarci. In ogni caso ci si può avvalere dell'aiuto del computer e calcolare il valore approssimato della somma
di una data serie, fermandoci ad un valore anche molto grande di n .
Per questo possiamo usare il programma disponibile in questo sito alla pagina :
http://lnx.arrigoamadori.com/CalcoloNumerico/Serie/serie.htm .
Possiamo anche affermare che l'importanza delle serie nella scienza è fondamentale. Le serie entrano
in ogni capitolo della matematica e della fisica ed esse forniscono addirittura metodi generali per
approssimare una enorme quantità di problemi non analiticamente (esattamente) risolubili.
02 - Serie notevoli.
Riportiamo ora alcune serie di fondamentale importanza la cui somma è nota (senza riportare le
dimostrazioni del calcolo delle suddette somme).
- 1 - Serie armonica
la serie armonica diverge positivamente per cui scriveremo :
.- 2 - Serie
questa serie converge (non riportiamo il valore esatto della somma, ma lo indichiamo con
S ) per cui :
.- 3 - Serie geometrica
di
ragione q la serie geometrica converge, diverge od oscilla a seconda del valore della ragione q .
Abbiamo i seguenti casi :
- se
( |q|
è il valore assoluto di q ) allora la serie converge a 
- se
allora la
serie diverge positivamente- se
allora la serie oscilla.Per esempio, se
, abbiamo :
perché se
cadiamo nel primo caso, secondo il quale : 
.Possiamo "vedere geometricamente" questo risultato nel seguente modo :
da cui risulta chiaro che sommando "fette" di valore dimezzato si ottiene al limite il
valore 1 .
03 - Due considerazioni importanti.
- 1 - Da quanto mostrato risulta chiaro che se i termini della serie tendono a zero (al tendere di
n all'infinito) si può avere convergenza o divergenza della serie. Per esempio le serie
e
hanno
entrambe termini tendenti a zero ma la prima serie diverge e la seconda converge.
Se però avessimo termini non tendenti a zero, allora saremmo sicuri che la serie non
converge !!!
Per esempio, la serie geometrica di ragione q = 2 , diverge positivamente. Cioè :
.- 2 - Le serie di cui si conosce la somma possono essere utilizzate per dimostrare se una serie
data converge o diverge. Per esempio, consideriamo la serie :
e chiediamoci se essa converge (non ci chiediamo quanto vale la somma, ma solo se essa
converge !!! Il calcolo della somma di una serie è un altro tipo di problema).
Proviamo a confrontare questa serie con la serie nota
che sappiamo convergere.Siccome per ogni valore di n si ha :
possiamo dedurre che la serie incognita
converge perché formata da termini tutti minori di quelli della serie nota
che è sicuramente convergente. Diremo allora che la serie
è maggiorante
della serie
oppure che la serie
è minorante della serie
.Fine.
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