E-school  di  Arrigo Amadori

Tutorial di matematica

Potenze, radici, logaritmi


01 - Potenze.

Con i numeri reali si possono fare le quattro usuali operazioni + - · / . 

Con i numeri reali si possono fare anche le potenze che, però, con costituiscono una nuova operazione.
Si tratta in effetti di una sequenza di moltiplicazioni

La potenze sono molto utili perché con esse è possibile mettere in forma abbreviata e compatta numeri 
anche molto grandi e perché soddisfano importanti ed utili proprietà.

Per esempio, la distanza terra-sole è di  150.000.000 km . Questo numero può essere scritto come:

        km

oppure, come si usa nella notazione scientifica (la stessa delle calcolatrici elettroniche) :

          km .

Ancora, la terra dista da Alpha Centauri  40.000.000.000.000 km . Usando le potenze si ha :

        km .

Il vantaggio di usare le potenze (specialmente quelle a base  10 ) è innegabile !

Una potenza, quindi è un "oggetto" matematico in cui un numero funge da base ed un altro da esponente :

       

La definizione di potenza è la seguente :

        la potenza è il prodotto di fattori uguali alla base tante volte quanto indicato dall'esponente.

Per esempio :

        .

Si noti che  per cui l'operazione di elevamento a potenza non è commutativa rispetto allo scambio 
fra base ed esponente.

La potenza ammette due tipi diversi di operazione inversa : la radice ed il logaritmo.

Usando le lettere invece dei numeri, cosa molto comoda in matematica perché ci permette di ottenere 
formule generali valide per tutti i numeri, la definizione di potenza vale :

       

dove la moltiplicazione è effettuata  n  volte. 

Si noti che  n  deve essere un numero intero maggiore di  1 . Questa precisazione è necessaria perché 
per avere un prodotto occorrono almeno due fattori. Vedremo più avanti come sia possibile definire 
potenze con esponente  1 , 0 o addirittura negativo e frazionario. 

Se la base è  10 , si ha la semplice regola che il numero che si ottiene è formato da  1  seguito da un numero 
di  0  pari all'esponente. Esempi : 

        .

02 - Proprietà delle potenze.

Le potenze soddisfano le seguenti fondamentali proprietà :

        - 1 -    il prodotto di due potenze di ugual base è uguale ad una potenza che ha per base la stessa 
                   base e per esponente la somma degli esponenti :

                            .

                   Esempio :

                            .

        - 2 -    il quoziente di due potenze di ugual base è uguale ad una potenza che ha per base la stessa 
                   base e per esponente la differenza degli esponenti :

                            .

                   Esempio :

                              .

        - 3 -    la potenza di una potenza è uguale ad una potenza di ugual base elevata ad un esponente 
                   uguale al prodotto degli esponenti :

                            .

                   Esempio :

                            .

03 - Esponenti ... particolari.

Nella definizione di potenza abbiamo posto la condizione che l'esponente debba essere maggiore di 1
quindi possa prendere i valori 2, 3, 4 ...

Cosa succede se immaginiamo di elevare una base ad un esponente uguale a  1 , a  0  o addirittura ad 
un numero negativo (per gli esponenti frazionari vedi più avanti) ?

Secondo la definizione di potenza data in precedenza, queste operazioni sarebbero impossibili. E' però
possibile una loro definizione estendendo il concetto di potenza, considerandola in senso più generalizzato

Queste operazioni sono allora possibili (sotto certe condizioni) e la loro definizione è tale da "salvare" le 
proprietà delle potenze. Useremo allora le proprietà delle potenze per definire questi nuove operazioni.

Vediamo in dettaglio :

        - 1 -    esponente uguale a  1 :

                   Consideriamo la divisione  10 ³ / 10 ² = 1000 / 100 = 10 . 

                   Utilizzando le proprietà delle potenze il risultato sarebbe  .

                   Non abbiamo ancora definito 

                   Se definiamo , la seconda proprietà delle potenze rimane valida.

                   Generalizzando questo risultato a tutti i numeri, possiamo scrivere :

                            .

        - 2 -    esponente uguale a  0 :

                   Consideriamo la divisione  10 ² / 10 ² = 100 / 100 = 1 . 

                   Utilizzando le proprietà delle potenze il risultato sarebbe  .

                   Non abbiamo ancora definito  .

                   Se definiamo  , la seconda proprietà delle potenze rimane valida.

                   Generalizzando questo risultato a tutti i numeri, possiamo scrivere :

                            .

                   Si noti che si deve porre la condizione    perché non si può dividere per zero.

        - 3 -    esponente negativo :

                   Consideriamo la divisione 

                   Utilizzando le proprietà delle potenze il risultato sarebbe  .

                   Non abbiamo ancora definito  .

                   Se definiamo  , la seconda proprietà delle potenze rimane valida.

                   Generalizzando questo risultato a tutti i numeri, possiamo scrivere :

                            .

                   Si noti che si deve porre la condizione    perché non si può dividere per zero.

04 - Potenze a base  2 .

Oltre alle potenze a base  10 , rivestono un ruolo molto importante quelle a base  2 .

L'aritmetica con cui "funzionano" i computers è a base  2 !! Le informazioni (numeri, parole ecc .) che 
vengono elaborate o memorizzate in un computer sono codificate come sequenze di bit.  Un bit (binary 
digit) è la più piccola unità di informazione e può prendere i valori :  0  oppure  1 .

Un byte è una sequenza di  2 ³ = 8 bit . Per esempio :

    00110101

è il possibile contenuto di un byte.

Il Kb (chilobyte) corrisponde a  bytes, cioè 1024 bytes (non  1000  come erroneamente molti 
pensano !).

Il Mb (megabyte) corrisponde a  Kb .

Il Gb (gigabyte) corrisponde a  Mb .

Lasciamo al lettore il semplice calcolo di quanti bit è formato il  Kb , il  Mb  ed il  Gb .

05 - Radici.

Consideriamo la potenza  5 ³ = 125  . Possiamo allora definire l' "operazione" di radice a indice 3 (o radice 
terza) :

       

(dove il numero in alto a sinistra è l' indice mentre il numero sotto radice si chiama radicando), che ha 
come risultato quel numero che elevato all'indice dà il radicando. Infatti  5  elevato alla  3  dà  125 .

In questo caso, siccome l'indice è  3 , la radice si chiama anche radice cubica.

Se l'indice è  2 , la radice si chiama comunemente radice quadrata e, nello scriverla, si omette l'indice :

        .

La radice ad indice  1  è ovviamente il numero stesso, per cui :

       

perché  5 ¹  dà  5 .

La definizione di radice è allora :

         Una radice secondo un certo indice di un numero (non negativo) dato è quel numero che elevato
         all'indice dà il numero dato. 


Le radici degli esempi precedenti hanno come risultato numeri naturali. Questo non è però il caso generale. 
In generale una radice fornisce come risultato un numero irrazionale (numeri con infiniti decimali non 
periodici).

Esempi :

       

La radice è l'operazione inversa della potenza perché si ha sempre :

       

dove  A  è qualunque numero su cui si può estrarre la radice ed  n  è qualunque indice ( 1 , 2 , 3 , ... ).

06 - Logaritmi.

Esiste un altro modo di definire l'operazione inversa dell'elevamento a potenza : il logaritmo.

Consideriamo ancora la potenza  5 ³ = 125 . Chiediamoci : qual'è il numero per cui elevare la base
5  per ottenere  125 ? Ovviamente questo numero è  3 .

Abbiamo così definito il concetto di logaritmo. Scriviamo allora :

         

dove il numero  5  scritto in basso a destra del simbolo  log  si chiama base ed il numero di cui si 
fa il logaritmo si chiama argomento.

La definizione di logaritmo è allora :

         Il logaritmo di un numero secondo una certa base è quel numero per cui si deve elevare 
         quella  base per ottenere il numero dato.

Esempi :

                perché  10 ¹ = 10
             perché  10 ² = 100
           perché  10 ³ = 1000 .

Il calcolo del logaritmo non conduce sempre ad un risultato "semplice", come negli esempi dati. Per esempio :

         

dove il risultato, essendo  11   compreso fra  10 e  100 , è compreso fra  1  e  2  ed è un numero irrazionale.

Si può fare , ovviamente, il logaritmo di un numero reale qualunque (sotto certe condizioni che vedremo 
in seguito). Per esempio :

        .

E' molto importante notare che :

          perché  10 ° = 1
           perché  5 ° = 1 .

Quindi, il logaritmo di  1  è sempre  0 , qualunque base (permessa) si scelga.

Si noti anche che :

          perché  .

Si noti infine l'importantissimo caso :

        .

Non esiste nessun numero per cui elevare la base  10  in modo che il risultato sia  0 !!!  

Siamo arrivati all'importantissimo risultato che il logaritmo di  0  (fatto rispetto ad ogni base) non esiste.

I logaritmi si possono fare rispetto a basi qualsiasi (sotto particolari condizioni). Quelli più usati sono i
logaritmi a base  10 , i cosiddetti logaritmi decimali. Molto usati sono anche i logaritmi a base  2 .

Vi sono poi i logaritmi naturali o neperiani in cui la base è il  numero  e  = 2,718 ... , il cosiddetto 
numero di Nepero (John Napier, inglese, 1550 - 1617), che è un numero irrazionale di enorme 
importanza in matematica. 

Ritorneremo su questo numero e sulle sue proprietà in seguito. 

I logaritmi naturali si indicano usualmente con la semplice sigla  ln . Per esempio :

       

07 - Cenni sulla storia del logaritmo.

Il concetto di logaritmo risale a Nepero (John Napier, teologo scozzese 1550-1617).

Il matematico inglese Henry Briggs (1556-1630) perfezionò l' idea di Nepero e pubblicò nel 1617 (anno 
della morte di Nepero) un libro contenente i logaritmi in base  10  dei numeri da  1 a  1000 .

I logaritmi in base  10  sono detti logaritmi decimali o volgari e venivano usati per "velocizzare" i calcoli 
prima dell'avvento delle calcolatrici e dei computer.

Il grande matematico svizzero Eulero (Leonhard Euler, 1701-1783) introdusse successivamente il numero 
irrazionale  e = 2,718 ... che chiamò numero di Nepero in onore dell'inventore dei logaritmi.

Egli pose questo numero come base dei logaritmi che per questo vengono chiamati logaritmi neperiani
naturali.

Il perché fu introdotto un tale numero così "complicato" a fungere da base per i logaritmi, è da ricercarsi
nelle particolari ed importanti proprietà analitiche che la funzione logaritmo naturale ha (le vedremo in 
seguito quando studieremo le derivate).

08 - Numero di Nepero.

Il numero di Nepero  e  può essere definito nei seguenti modi :

        - 1 -    Come limite della successione :

                           

                   ovvero il limite della successione :

                              ;    ;    ;  ecc. ecc.

                   per  n  tendente all'infinito.

        - 2 -    Come limite della sommatoria (serie) :

                           

                   ovvero :

                            .

In futuro approfondiremo i concetti di limite, successione e serie.

09 - Potenze a esponente frazionario.

Le radici possono essere espresse in forma di potenze ad esponente frazionario. Per esempio :

        .

Il perché di questo risulta molto semplice se si considera che la radice è l'operazione inversa della 
potenza e se si estende la proprietà della potenza di potenza agli esponenti frazionari :

        .

Analogamente si ha :

        , , .

In generale si ha :

        .

dove  a  indica un numero.

Fine. 

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