E-school  di  Arrigo Amadori

Tutorial di matematica

Numeri reali


01 - Numeri naturali.

I numeri naturali sono l'insieme di base su cui si costruiscono tutti gli altri tipi di numeri. I numeri naturali 
non sono definibili a partire da altri oggetti : essi sono dati a priori.

Essi sono i numeri  1, 2, 3, ... ed il loro insieme si indica con la lettera  N  per cui si ha :

        N = {1, 2, 3, ...} .

Le proprietà dei numeri naturali sono tutte riconducibili a  3  assiomi, i cosiddetti assiomi di Peano (logico 
e matematico italiano, 1858-1932). Essi si possono riassumere in maniera intuitiva nel seguente modo :

        - 1 -    esiste il numero  1  

        - 2 -    ogni numero naturale possiede un successivo

        - 3 -    ogni numero naturale si ottiene da  1  "contando" in successione.

Con i numeri naturali si possono eseguire solo le operazioni di addizione  +  e moltiplicazione  · . 

L'operazione di sottrazione non è definibile nell'insieme di numeri naturali perché in esso non sarebbe 
una operazione chiusa.

Una operazione definita su di un insieme, per essere "ben definita" deve avere la proprietà di essere 
chiusa, ovvero il risultato dell'operazione deve essere un elemento dell'insieme stesso. Per esempio, 
se eseguo la sottrazione  1 - 2 , il risultato, essendo  -1 (cioè negativo), non fa parte dell'insieme in questione. 
Per questo motivo, con i numeri naturale si possono fare solo il  +  ed  il  · .

02 - Numeri interi.

I numeri interi sono definiti a partire dai numeri naturali. 

Consideriamo il prodotto cartesiano  N x N  ed affermiamo che le coppie :

        (1,1), (2,2), (3,3), ... 

sono equivalenti perché, se immaginassimo di fare la differenza fra la prima coordinata e la seconda 
coordinata, otterremo :

        1 - 1 = 2 - 2 = 3 - 3 = ... = 0 .

Indichiamo allora con  0  la classe di equivalenza formata dalle suddette coppie ordinate. Scriviamo cioè :

        [0] = {(1,1), (2,2), (3,3), ...} = 0 . 

Graficamente :

       

Analogamente otterremo :

        [1] = {(2,1), (3,2), (4,3), ...} = 1

        [2] = {(3,1), (4,2), (5,3), ...} = 2

        ...   ...   ...   

        [-1] = {(1,2), (2,3), (3,4), ...} = -1

        [-2] = {(1,3), (2,4), (3,5), ...} = -2

        ...   ...   ...

Graficamente :

       

Abbiamo così costruito l'insieme dei numeri interi a partire dai numeri naturali. 

L'insieme dei numeri interi si indica con la lettera  I  e vale :

        I = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} .

L'insieme dei numeri interi contiene l'insieme dei numeri naturali come suo sottoinsieme proprio per cui 
possiamo scrivere :

       

e di conseguenza possiamo dire che  I  è una estensione di  N .

Con i diagrammi di Venn quanto affermato risulta evidente :

       

Con i numeri interi si possono fare le operazioni di addizione  + , sottrazione  -  e moltiplicazione  · .

L'operazione di divisione non è definita sui numeri interi perché la divisione fra due numeri interi non è in 
generale un numero intero. 

03 - Numeri razionali.

Sull'insieme dei numeri interi  I = {...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} è possibile eseguire le operazioni  +  -  ·  
mentre non è possibile eseguire l'operazione di divisione  / . Il motivo di questo è dovuto al fatto 
che la divisione fra due numeri interi non dà in generale un risultato intero. Per esempio 1 / 2  = 0,5  
non è un un numero intero.

Come già affermato, una operazione matematica su un insieme, per essere ben definita, deve essere chiusa
cioè deve essere tale per cui il risultato dell'operazione deve sempre appartenere all'insieme dato.

Vediamo ora come si può introdurre l'operazione di divisione e come questo porti alla creazione di un
nuovo insieme di numeri, l'insieme dei numeri razionali  Q .

Consideriamo il prodotto cartesiano  I x I-{0} , ovvero l'insieme di tutte le coppie ordinate  (x, y)  che 
hanno la prima coordinata  x  appartenente all'insieme dei numeri interi  I  e la seconda coordinata  y  
appartenente all'insieme dei numeri interi escluso lo zero  I - {0} .

Il perché abbiamo escluso lo zero per la seconda coordinata apparirà chiaro in seguito. 

Consideriamo, per esempio, equivalenti le coppie ordinate : 

        (1, 2), (2, 4), (3,6) ... (-1, -2), (-2, -4) ...

perché immaginando di fare la divisione fra la prima coordinata e la seconda otteniamo lo stesso 
quoziente. Infatti :

        1 / 2 = 2 / 4 = 3 / 6 = ... = -1 / -2 = -2 / -4 = 0,5 .

Indichiamo allora con  1/2  la classe di equivalenza formata dalle suddette coppie ordinate. Scriviamo 
cioè :  

        [1/2] = {... (-2, -4), (-1, -2), ..., (1, 2), (2, 4), (3, 6) ...} = 1/2 .

Graficamente :

       

(per esigenze grafiche abbiamo indicato solo i numeri pari).

Si noti che abbiamo escluso con delle crocette tutte le coppie ordinate con zero come seconda coordinata.

Abbiamo in questo modo "costruito" il numero razionale  1/2 .

Analogamente otterremo gli altri numeri razionali :

       

Si noti che se la divisione fra due numeri interi è "esatta" si ottiene ancora un numero intero.

Si noti anche che il numero  0  è la seguente classe di equivalenza :

         [0] = {... (0, -2), (0, -1), ..., (0, 1), (0, 2), (0, 3) ...} = 0 

perché  0  diviso per qualsiasi numero (diverso da  0 ) dà sempre  0 . Il numero  0  sarà allora l'insieme 
delle coppie ordinate che stanno sulla retta verticale che passa per (0, 0) .

Tutti i numeri razionali si definiscono quindi come classi di equivalenza corrispondenti alle rette che passano 
per l'origine così come indicato nel grafico. 

I numeri razionali positivi corrisponderanno a rette oblique pendenti verso destra, mentre i numeri
razionali negativi corrisponderanno a rette oblique pendenti verso sinistra. 

Si osservi sul grafico come la pendenza vari al crescere dei numeri razionali in senso positivo e negativo.

La retta orizzontale passante per la coppia ordinata  (0, 0)  è stata esclusa a priori e quindi non corrisponde 
a nessun numero razionale.

Essa è determinata dalle coppie ordinate che hanno come seconda coordinata il numero zero, cioè :

        (-3, 0), (-2, 0), (-1, 0), (0, 0), (1, 0), (2, 0), (3, 0), ... .

Tutte queste coppie ordinate corrisponderebbero alle seguenti divisioni :

        ... -3 / 0, -2/0, 0, -1/0, 0 / 0, 1 / 0, 2 / 0, 3 / 0, ... 

le quali non hanno senso, non si possono eseguire perché se per esempio facessi :

        1 / 0 

dovrei trovare come risultato un numero che moltiplicato per  0  mi ritornasse  1 e questo è impossibile
perché tutti i numeri moltiplicati per  0  danno 0 .

Anche la divisione  0 / 0  non si può fare. Infatti il risultato dovrebbe essere un numero che moltiplicato 
per  0  dovrebbe darmi  0 . Siccome tutti i numeri moltiplicato per  0  danno  0 , il risultato sarebbe 
indeterminato.

L'insieme dei numeri razionali è allora l'insieme di tutte le frazioni a denominatore non nullo che si possono 
fare prendendo due numeri interi qualsiasi (sempre escludendo lo zero al denominatore). Esso si indica 
con la lettera  Q  e si può rappresentare come :

        .

Siccome, in certi casi, le frazioni danno per risultato un numero intero, si ha :

       

Si dice allora che  Q  è una estensione di  I .

04 - I numeri razionali come numeri decimali.

I numeri razionali sono rapporti (divisioni) fra numeri interi. Un numero razionale si ottiene quindi 
facendo :

          

dove  m  ed  n  sono due numeri interi qualunque eccetto che per il denominatore  n  che deve essere 
sempre diverso da zero

Dividere per zero, bisogna sempre ricordarlo, è una operazione proibita, perché non si otterrebbe nessun 
risultato definito.

Oltre alle frazioni, vi è un altro modo di indicare i numeri razionali. Essi sono rappresentabili come numeri
decimali
che si ottengono facendo la divisione fra il numeratore  m  ed il denominatore  n .

Per esempio :

           ecc.

Si noti che sono numeri razionali anche le frazioni esatte, ciò quelle che hanno un risultato intero (perché i 
numeri interi sono sottoinsieme di numeri razionali) :

          ecc.

Si noti anche che le frazioni con zero ad numeratore (mentre il denominatore è diverso da zero) valgono 
zero :

          ecc.

mentre, non ci stancheremo mai di ricordarlo, sono proibite tutte le frazioni che hanno zero al denominatore :

          ecc. 

Prendendo una qualunque frazione di numeri interi e facendo la divisione si possono avere due tipi di 
risultati. I numeri decimali che si ottengono possono avere un numero finito di decimali (dopo la 
virgola) oppure un numero infinito di decimali ma periodici, cioè che si ripetono indefinitamente. 
Ecco un esempio per ciascun caso :

        .

Il trattino indica il gruppo di numeri che si ripetono indefinitamente.

I numeri periodici possono essere più "complicati" dell'esempio dato sopra. Per esempio, in 

       

a ripetersi indefinitamente è il gruppo di numeri  8032 .

Ogni frazione di numeri interi, ovvero ogni numero razionale, è rappresentabile quindi da un numero decimale 
con un numero finito di decimali oppure con un numero infinito di decimali ma periodici.

Chiediamoci allora : esiste la possibilità di avere numeri decimali con infiniti decimali non periodici ?

La risposta è affermativa e questi numeri decimali, che non corrispondono a numeri razionali, si chiamano 
numeri irrazionali.

05 - Numeri irrazionali.

I numeri irrazionali allora sono numeri che non corrispondono a nessuna frazione di numeri interi. Un 
esempio eclatante di un tale numero è la radice quadrata di  2 . Essa vale :

       

Si tratta di un numero con infiniti decimali non periodici ed esso non corrisponde a nessuna frazione di 
numeri interi.

Un altro esempio importante di numero irrazionale è il numero p-greco :  

       

Si noti che i numeri irrazionali sono in numero infinito

06 - Numeri reali.

L'unione dei numeri razionali con i numeri irrazionali forma l'insieme dei numeri reali che si denota con 
la lettera  R . Quindi :

       

(di solito i numeri irrazionali non si indicano con un simbolo specifico).

I numeri reali  R  costituiscono quindi una estensione dei numeri razionali  Q  per cui :

       

Sui numeri reali  R  si possono fare le  4  operazioni  +, -, · , / .

I numeri reali hanno una fondamentale proprietà : essi "ricoprono" completamente una retta orientata

In altre parole : 

        ogni numero reale corrisponde ad un punto di una retta orientata ed ogni punto di una retta  
        orientata corrisponde ad un numero reale


ovvero :

        fra i numeri reali ed i punti di una retta orientata vi è una corrispondenza (funzione) biunivoca.

Se prendiamo una retta orientata (dotata di un verso, quello indicato dalla freccia) e vi poniamo in un punto il
numero  0  (chiamandolo l'origine della retta orientata), i numeri razionali ve li possiamo disporre sopra
molto semplicemente come indicato in figura :

       

Come porre su una retta orientata i numeri irrazionali ? Facciamo l'esempio della radice quadrata di  2 .

Prendiamo un quadrato di lato uguale ad  1  e consideriamo la sua diagonale. Per il teorema di Pitagora 
essa vale appunto la radice quadrata di  2 . Trasportando detta diagonale sulla retta orientata, avremo 
posizionato su di essa il numero irrazionale  :

       

La retta, con "sopra" tutti i numeri reali, si chiama retta reale.

Fine. 

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