E-school di Arrigo
Amadori
Tutorial di matematica
Numeri complessi
Come ben si sa, l'equazione :
non ha soluzioni reali, cioè non vi è nessun numero
reale 
che
elevato al quadrato restituisca 
, perché il quadrato di ogni numero reale è sempre positivo
o, al minimo, nullo.
Di fronte a questa impossibilità l'uomo, però, si chiede se si può procedere oltre, superando, se possibile, l'ostacolo. Come molte volte nella storia, davanti a simili impossibilità, l'ingegno umano ha trovato la possibilità di progredire inventando nuovi numeri.
Così, per esempio, è successo per i numeri negativi (introdotti, sembra, anticamente in India per indicare i debiti).
Di fronte all'operazione 
, che non ha risultato nell'ambito dei numeri naturali
, l'introduzione
dello 
e
dei numeri negativi 
ha dato la possibilità di eseguire la sottrazione sempre,
con ogni numero.
Così sono stati introdotti i numeri interi 
che sono un'estensione dei numeri naturali per cui si può affermare
che 
, cioè che
l'insieme dei numeri naturali è un sottoinsieme dell'insieme
dei numeri interi.
Come è allora possibile creare un'estensione dei
numeri reali per cui sia possibile risolvere l'equazione
?
A questa domanda si risponde con l'introduzione dei
numeri immaginari che, assieme ai numeri reali,
contribuiscono a formare
l'insieme dei numeri complessi, insieme che si indica con la
lettera 
.
L'insieme dei numeri complessi
rappresenta l'estensione dei numeri reali cercata.
Possiamo perciò affermare che :
,
cioè che l'insieme dei numeri reali è un sottoinsieme del più ampio insieme dei numeri complessi.
Nell'ambito dei numeri complessi, ogni equazione razionale
di grado 
(un polinomio di grado
della sola lettera
, l'incognita, uguagliato a
), come la suddetta equazione di secondo grado, ha sempre
soluzioni
(questa affermazione va sotto il nome di "teorema fondamentale
dell'algebra").
Sempre nell'ambito dei numeri complessi, poi, una parabola ha sempre due punti d'incontro con una qualunque retta anche esterna ad essa.
Con l'introduzione dei numeri complessi, quindi, sono possibili generalizzazioni ed applicazioni utili in molte branche della matematica e non solo.
In elettrotecnica, per esempio, una corrente alternata può essere rappresentata da un numero complesso oppure in meccanica quantistica, la funzione d'onda di una particella ha valori complessi ecc. ecc.
Vediamo ora come si definiscono esattamente i numeri complessi, le loro principali proprietà e come si possono eseguire le operazioni fra essi.
01 - Definizione dei numeri complessi.
Definiamo l'unità immaginaria 
come quel numero (immaginario, non reale) per cui si ha
:
ovvero :
.
E' chiaro che l'equazione mostrata in precedenza,
, avrà così le due soluzioni :
perché, a causa della definizione di
, si ha
ed anche 
.
Ecco, quindi, che così è data la possibilità di risolvere
l'equazione
(che è impossibile se si rimane nell'ambito dei soli numeri
reali) !!!
Grazie all'introduzione dell'unità immaginaria
, è possibile costruire il numero complesso :
,
dove 
e
sono numeri
reali qualunque ed 
significa ovviamente 
.
Si nota subito che un numero complesso è un numero in qualche modo "misto", cioè formato da una parte reale ed una parte immaginaria.
Esattamente, si dice che
è la parte reale del numero complesso 
, mentre
è la sua parte immaginaria.
L'insieme di tutti i numeri complessi, come già anticipato,
è indicato dalla lettera
.
Se poniamo :
,
il numero complesso
diventa :
,
cioè un numero reale.
I numeri reali sono quindi quei numeri complessi che hanno parte immaginaria nulla. Possiamo perciò (come già anticipato) scrivere :
,
cioè che l'insieme dei numeri reali è un sottoinsieme del più ampio insieme dei numeri complessi.
Se poniamo :
,
il numero complesso
diventa :
,
cioè un cosiddetto numero immaginario puro.
Esempi di numeri complessi :
(l'unità immaginaria
si scrive prima o dopo la parte immaginaria come
più conviene ed anche il punto della moltiplicazione può
essere visualizzato o non).
02 - Operazioni fra numeri complessi.
Con i numeri complessi si possono eseguire le usuali
quattro operazioni 
, 
, 
, 
.
Siano dati i due numeri complessi :
.
L'addizione è definita come :
,
la sottrazione come :
,
la moltiplicazione come :
.
Come si vede, si tratta di applicare le usuali regole del calcolo algebrico, regole che si pone continuino a valere anche per i numeri complessi.
Per la divisione, il procedimento è un po' più complicato. Si ha, con un evidente artificio :
.
Si definisce anche il coniugato di un numero complesso.
Se
, il suo coniugato 
(ma anche 
) è :
,
ottenuto cambiando (solo) il segno della parte immaginaria.
03 - Rappresentazione dei numeri complessi tramite il piano di Gauss.
I numeri complessi possono
essere rappresentati come vettori sul piano cartesiano che
viene, per questo uso particolare, chiamato piano di Gauss.
Questa modello geometrico è utilissimo e fa sì che
il campo complesso (un altro modo di chiamare l'insieme
dei numeri complessi
), le sue proprietà e le sue
operazioni siano visualizzabili in modo semplice
ed efficace.
Il numero
è così rappresentato dal vettore :
La parte reale di
rappresenta l’ascissa del vertice (punto indicato
dalla freccia) del vettore
mentre la parte immaginaria rappresenta l’ordinata
del vertice del vettore.
Se la parte immaginaria di un numero complesso è nulla,
il numero è reale e si trova posizionato sull’asse
delle ascisse ( 
). Se, invece, la parte reale è nulla, il numero
è immaginario e si trova posizionato sull’asse
delle ordinate ( 
).
Per esempio, per le unità reali ed immaginarie (positive e negative) :
Il modulo del vettore che rappresenta il numero
complesso
(nel diagramma indicato con 
) è detto modulo del numero complesso
ed indicato da 
.
Si ha quindi (grazie al teorema di Pitagora) :
.
L’angolo fra il vettore che rappresenta il numero
complesso
e l’asse positivo delle ascisse (preso in senso antiorario)
è detto argomento del numero complesso (nel diagramma
indicato da 
).
Si ha (grazie ai noti teoremi di trigonometria applicati ai triangoli rettangoli) :
.
Il coniugato
del numero complesso
ed il suo inverso additivo 
sono, grazie al piano di Gauss, così facilmente visualizzabili
:
Le operazioni di addizione e sottrazione vengono così rappresentate (con la regola del parallelogramma) (lasciamo al lettore la verifica algebrico/geometrica di questo fatto) :
La somma 
è data dalla regola del parallelogramma e corrisponde
alla diagonale indicata in figura mentre la differenza
corrisponde
all'altra diagonale (orientata verso il vertice del
primo addendo). Vediamo così utilizzate per i numeri complessi le
semplici regole di calcolo dei vettori.
Per quanto riguarda la rappresentazione geometrica della moltiplicazione e della divisione occorre notare che un numero complesso può essere espresso in funzione del modulo e dell’argomento nel modo seguente :
.
ed anche con la famosa formula e fondamentale di Eulero (omettiamo la dimostrazione) :
dove 
è il numero di Nepero (come ben si sa, pari a circa 2,71828… ).
Il prodotto fra due numeri complessi risulta quindi essere :
,
dove 
, 
..
Analizzando la formula si nota che il prodotto fra due numeri complessi è un numero complesso che ha per modulo il prodotto dei moduli e per argomento la somma degli argomenti.
Graficamente :
Analogamente per la divisione :
.
e graficamente :
dove qui l’argomento del risultato è negativo (quindi orientato in senso orario). Si perviene quindi al risultato che una divisione fra due numeri complessi è un numero complesso che ha come modulo il rapporto dei moduli e come argomento la differenza degli argomenti.
Fine.