E-school  di  Arrigo Amadori

Tutorial di matematica

Numeri complessi

Come ben si sa, l'equazione :

       

non ha soluzioni reali, cioè non vi è nessun numero reale   che elevato al quadrato restituisca  , perché il quadrato di ogni numero reale è sempre positivo o, al minimo, nullo.

Di fronte a questa impossibilità l'uomo, però, si chiede se si può procedere oltre, superando, se possibile, l'ostacolo. Come molte volte nella storia, davanti a simili impossibilità, l'ingegno umano ha trovato la possibilità di progredire inventando nuovi numeri.

Così, per esempio, è successo per i numeri negativi (introdotti, sembra, anticamente in India per indicare i debiti). 

Di fronte all'operazione  , che non ha risultato nell'ambito dei numeri naturali  , l'introduzione dello    e dei numeri negativi  ha dato la possibilità di eseguire la sottrazione sempre, con ogni numero.

Così sono stati introdotti i numeri interi    che sono un'estensione dei numeri naturali per cui si può affermare che  , cioè che l'insieme dei numeri naturali è un sottoinsieme dell'insieme dei numeri interi.

Come è allora possibile creare un'estensione dei numeri reali per cui sia possibile risolvere l'equazione  ?

A questa domanda si risponde con l'introduzione dei numeri immaginari che, assieme ai numeri reali, contribuiscono a formare l'insieme dei numeri complessi, insieme che si indica con la lettera  .

L'insieme dei numeri complessi  rappresenta l'estensione dei numeri reali cercata. Possiamo perciò affermare che :

        ,

cioè che l'insieme dei numeri reali è un sottoinsieme del più ampio insieme dei numeri complessi.

Nell'ambito dei numeri complessi, ogni equazione razionale di grado  (un polinomio di grado   della sola lettera , l'incognita, uguagliato a  ), come la suddetta equazione di secondo grado, ha sempre    soluzioni (questa affermazione va sotto il nome di "teorema fondamentale dell'algebra").

Sempre nell'ambito dei numeri complessi, poi, una parabola ha sempre due punti d'incontro con una qualunque retta anche esterna ad essa.

Con l'introduzione dei numeri complessi, quindi, sono possibili generalizzazioni ed applicazioni utili in molte branche della matematica e non solo.

In elettrotecnica, per esempio, una corrente alternata può essere rappresentata da un numero complesso oppure in meccanica quantistica, la funzione d'onda di una particella ha valori complessi ecc. ecc.

Vediamo ora come si definiscono esattamente i numeri complessi, le loro principali proprietà e come si possono eseguire le operazioni fra essi.

01 - Definizione dei numeri complessi.

Definiamo l'unità immaginaria    come quel numero (immaginario, non reale) per cui si ha :

       

ovvero :

        .

E' chiaro che l'equazione mostrata in precedenza, , avrà così le due soluzioni :

       

perché, a causa della definizione di  , si ha  ed anche  .

Ecco, quindi, che così è data la possibilità di risolvere l'equazione    (che è impossibile se si rimane nell'ambito dei soli numeri reali) !!!

Grazie all'introduzione dell'unità immaginaria  , è possibile costruire il numero complesso :

        ,

dove  e    sono numeri reali qualunque ed    significa ovviamente .

Si nota subito che un numero complesso è un numero in qualche  modo "misto", cioè formato da una parte reale ed una parte immaginaria.

Esattamente, si dice che    è la parte reale del numero complesso  , mentre    è la sua parte immaginaria.

L'insieme di tutti i numeri complessi, come già anticipato, è indicato dalla lettera  .

Se poniamo :

        ,

il numero complesso   diventa :

        ,

cioè un numero reale.

 I numeri reali sono quindi quei numeri complessi che hanno parte immaginaria nulla. Possiamo perciò (come già anticipato) scrivere :

        ,

cioè che l'insieme dei numeri reali è un sottoinsieme del più ampio insieme dei numeri complessi.

Se poniamo :

        ,

il numero complesso   diventa :

        ,

cioè un cosiddetto numero immaginario puro.

Esempi di numeri complessi :

       

(l'unità immaginaria  si scrive prima o dopo la parte immaginaria come più conviene ed anche il punto della moltiplicazione può essere visualizzato o non).

02 - Operazioni fra numeri complessi.

Con i numeri complessi si possono eseguire le usuali quattro operazioni  ,  ,    ,  .

Siano dati i due numeri complessi :

       

        .

L'addizione è definita come :

         ,

la sottrazione come :

        ,

la moltiplicazione come :

        .

Come si vede, si tratta di applicare le usuali regole del calcolo algebrico, regole che si pone continuino a valere anche per i numeri complessi.

Per la divisione, il procedimento è un po' più complicato. Si ha, con un evidente artificio :

          .

Si definisce anche il coniugato di un numero complesso. Se  , il suo coniugato  (ma anche  ) è :

        ,

ottenuto cambiando (solo) il segno della parte immaginaria.

03 - Rappresentazione dei numeri complessi tramite il piano di Gauss.

I numeri complessi possono essere rappresentati come vettori sul piano cartesiano che viene, per questo uso particolare, chiamato piano di Gauss. Questa modello geometrico è utilissimo e fa sì che il campo complesso (un altro modo di chiamare l'insieme dei numeri complessi  ), le sue proprietà e le sue operazioni siano visualizzabili in modo semplice ed efficace

Il numero    è così rappresentato dal vettore :

       

La parte reale di   rappresenta l’ascissa del vertice (punto indicato dalla freccia) del vettore mentre la parte immaginaria rappresenta l’ordinata del vertice del vettore.

Se la parte immaginaria di un numero complesso è nulla, il numero è reale e si trova posizionato sull’asse delle ascisse ( ). Se, invece, la parte reale è nulla, il numero è immaginario e si trova posizionato sull’asse delle ordinate  ( ).

Per esempio, per le unità reali ed immaginarie (positive e negative) :

       

Il modulo del vettore che rappresenta il numero complesso    (nel diagramma indicato con  ) è detto modulo del numero complesso    ed indicato da . 

Si ha quindi (grazie al teorema di Pitagora) :

        .

L’angolo fra il vettore che rappresenta il numero complesso  e l’asse positivo delle ascisse (preso in senso antiorario) è detto argomento del numero complesso (nel diagramma indicato da  ).

Si ha (grazie ai noti teoremi di trigonometria applicati ai triangoli rettangoli) :

        .

Il coniugato  del numero complesso ed il suo inverso additivo  sono, grazie al piano di Gauss, così facilmente visualizzabili :

       

Le operazioni di addizione e sottrazione vengono così rappresentate (con la regola del parallelogramma) (lasciamo al lettore la verifica algebrico/geometrica di questo fatto) :

       

La somma    è data dalla regola del parallelogramma e corrisponde alla diagonale indicata in figura mentre la differenza  corrisponde all'altra diagonale (orientata verso il vertice del primo addendo). Vediamo così utilizzate per i numeri complessi le semplici regole di calcolo dei vettori.

Per quanto riguarda la rappresentazione geometrica della moltiplicazione e della divisione occorre notare che un numero complesso può essere espresso in funzione del modulo e dell’argomento nel modo seguente :

        .

ed anche con la famosa formula e fondamentale di Eulero (omettiamo la dimostrazione) :

       

dove    è il numero di Nepero (come ben si sa, pari a circa  2,71828… ).

Il prodotto fra due numeri complessi risulta quindi essere :

        ,

dove  , ..

Analizzando la formula si nota che il prodotto fra due numeri complessi è un numero complesso che ha per modulo il prodotto dei moduli e per argomento la somma degli argomenti.

Graficamente :

       

Analogamente per la divisione :

        .

e graficamente :

       

dove qui l’argomento del risultato è negativo (quindi orientato in senso orario). Si perviene quindi al risultato che una divisione fra due numeri complessi è un numero complesso che ha come modulo il rapporto dei moduli e come argomento la differenza degli argomenti.

Fine.

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