E-school  di  Arrigo Amadori

Tutorial di matematica

La retta reale


I numeri reali, come già sappiamo, possono essere posti su di una retta :

       

che per questo viene chiamata retta reale.

I sottoinsiemi che si possono formare con i numeri reali soddisfano un grande numero di proprietà di
fondamentale importanza per l'intera matematica. Le proprietà dei sottoinsiemi di  R  costituiscono la 
topologia della retta reale.

Molti concetti e proprietà dei sottoinsiemi di  R  che iniziamo qui a considerare sono estendibili a qualunque
spazio, anche a più dimensioni, e costituiscono il cuore della matematica.

01 - Sottoinsieme di  R  limitati e non limitati.

Sia  A  un sottoinsieme (non vuoto) di  R  . Se si verifica che :

       

cioè se esiste un numero reale positivo  M  tale che il valore assoluto di  a  (o modulo di  a  , cioè il numero  
stesso reso positivo, se positivo o negativo, oppure lasciato nullo, se nullo) è minore o uguale ad  M  per 
ogni numero a  appartenente ad  A , allora si dice che l'insieme  A  è limitato.

Facciamo il seguente esempio dove l'insieme  A  , sottoinsieme di  R , è rappresentato dal grafico :

       

Come si vede bene, l'insieme  A  è limitato perché esiste sicuramente un numero positivo  M  per cui 
ogni elemento  a   di  A , preso in valore assoluto , è minore o uguale di quel numero  M :

       

Se non si verifica la suddetta condizione, l'insieme  A  si dice non limitato.

Se si verifica che esiste un numero  M  (positivo, negativo o nullo) tale che  per ogni  a  
appartenente ad  A , allora si dice che  A  è limitato superiormente. Graficamente :

       

Se si verifica che esiste un numero  M  (positivo, negativo o nullo) tale che  per ogni  a  
appartenente ad  A , allora si dice che  A  è limitato inferiormente. Graficamente :

       

Ovviamente, se un insieme è limitato lo è anche superiormente ed inferiormente.

Facciamo altri esempi.

Sia  : 

       

Si tratta di un insieme limitato (si noti che  0  non appartiene all'insieme  A  mentre  1  vi appartiene).

Sia  :

       

Esso è ovviamente un insieme limitato inferiormente.

02 - Estremi di un sottoinsieme di  R .

Sia dato un insieme  A  di numeri reali (sottoinsieme di  R ). Costruiamo allora l'insieme  B  formato dai 
numeri che siano tutti maggiori o uguali di qualsiasi punto (nella topologia della retta reale, punto e 
numero sono sinonimi) di  A . Sia cioè :

        .

Per esempio, se   , allora  B  è formato da tutti i numeri maggiori o uguali ad  1 :

       

Orbene, il primo elemento di  B  si chiama estremo superiore di  A  e si indica con  .

Nell'esempio precedente si ha :

        .

L'estremo superiore di un insieme può appartenere o no all'insieme stesso. Se il  appartiene 
all'insieme  A , allora si chiama massimo di  A  e si indica con  .

Poiché nell'esempio di  si ha che  1  appartiene ad  A , possiamo scrivere allora :

        .

Viceversa, costruiamo l'insieme  B  formato dai numeri che siano tutti minori o uguali di qualsiasi 
punto di  A . Sia cioè :

        .

Rimanendo allo stesso esempio di  ,  B  è allora formato da tutti i numeri minori o 
uguali ad  0 :

       

Possiamo allora affermare che, in analogia con quanto sopra affermato, l'ultimo elemento di  B  si 
chiama estremo inferiore di  A  e si indica con  . 

Nell'esempio precedente si ha :

        .

L'estremo inferiore di un insieme può appartenere o no all'insieme stesso. Se l'  appartiene 
all'insieme  A , allora si chiama minimo di  A  e si indica con  .

Sempre rifacendoci all'esempio molto interessante di  , siccome  0  non appartiene 
all'insieme  A  , esso ne è l'estremo inferiore ma non il minimo.

La distinzione fra  sup e  max  e fra  inf  e  min è di grande importanza.

03 - Intervalli.

Consideriamo due numeri reali  a  e  b  tali che  a  sia minore di  b . Possiamo allora costruire i seguenti 
insiemi detti intervalli limitati :

          intervallo limitato e chiuso di estremi  a  e  b 

          intervallo limitato aperto a destra di estremi  a  e  b 

          intervallo limitato aperto a sinistra di estremi  a  e  b 

          intervallo limitato aperto a destra e a sinistra di estremi a  e  b 

Graficamente :

       

Questi intervalli si distinguono per "comprendere" o non "comprendere" gli estremi  a  e  b !!!

Si possono costruire anche i seguenti intervalli non limitati :

          intervallo illimitato chiuso a sinistra

          intervallo illimitato aperto a sinistra

        intervallo illimitato chiuso a destra

        intervallo illimitato aperto a destra

Graficamente :

       

Grazie a questo nuovo simbolismo introdotto possiamo scrivere :

        .

04 - Intorni circolari. Intorni.

Sia dato un punto (ricordiamo che numero e punto della retta reale sono sinonimi)  x  appartenente ad   
R  ed un numero    reale positivo. Si chiama intorno circolare di raggio    del punto  x  l'intervallo
aperto :

        .

Graficamente :

       

L'aggettivo "circolare" dipende chiaramente dalla simmetria rispetto al punto  x . 

Il concetto di intorno circolare è di fondamentale importanza in topologia e può essere esteso a spazi a 
maggiori dimensioni. Per esempio, un intorno circolare sul piano bidimensionale è una cerchio di raggio  
  e nello spazio tridimensionale è una sfera di raggio  :

        

Per questi motivi l'intorno circolare si chiama anche sfera aperta

Un sottoinsieme qualunque di  R  che contenga un intorno circolare di  x  si chiama semplicemente intorno 
di  x . Per esempio :

       

Le applicazioni del concetto di intorno circolare e di intorno sono di fondamentale importanza.

Occorre anche ribadire ancora una volta che il raggio  di un intorno circolare è un numero reale positivo 
e mai nullo !!!

05 - Intorni circolari per "esplorare" i sottoinsiemi di  R .

Il concetto di intorno circolare è estremamente importante in matematica. Possiamo dire che esso 
è sicuramente uno degli "oggetti" più utilizzati in ogni branca della matematica.

L' intorno circolare del punto  x  di raggio    è, come sappiamo, l'intervallo aperto  . 
Graficamente :

       

Con gli intorni circolari si può "esplorare" un sottoinsieme di  R  (della retta reale) ed individuare e 
studiare molte proprietà di esso.

Come primo esempio, consideriamo l'usuale e molto interessante insieme  :

       

a cui, è bene ricordare, non appartiene il punto (numero)  0 , cioè  .

Consideriamo il punto  3/2  (anch'esso non appartenente ad  A ) :

       

e prendiamo un suo intorno circolare così come rappresentato nel grafico :

       

escludendo da esso il punto  3/2  stesso (il perché di questa esclusione sarà chiaro più avanti). Chiamiamo 
S  l'intorno appena scelto. 

Possiamo allora scrivere l'espressione :

         

che corrisponde appunto all'intervallo aperto    privato del punto  3/2  stesso.

Chiediamoci a questo punto quale sia l'intersezione fra l'insieme  A  e l'intorno  S  (con esclusione del 
punto  3/2 ).

La risposta è ovviamente l'insieme vuoto  , cioè l'insieme  A  e l'insieme  S , come si vede bene dal 
grafico, non hanno punti in comune, cioè :

         

ovvero, più semplicemente :

        .

Se prendiamo un    maggiore, possiamo facilmente notare che detta intersezione non è più vuota. Per
esempio, nel caso mostrato dal grafico :

       

l'intersezione fra  A  ed  S  fornisce il punto  1 , per cui : 

         

ovvero :

        .

Concludiamo allora che un intorno circolare di  3/2  (con esclusione del punto stesso) interseca o no 
l'insieme di partenza  A . Ribadiamo anche che  3/2  non appartiene ad  A .

06 - Punto isolato.

Facciamo ora la stessa cosa con un punto che appartiene all'insieme  A . Per esempio il numero  1 .
Abbiamo anche qui, come per  3/2  , due possibilità : 

        l'intersezione fra  A  ed un intorno circolare di  1  (con esclusione del punto stesso) può essere 
        vuota o non.

Per esempio :

       

(in questo caso l'intersezione è vuota)

oppure : 

        

(in questo caso l'intersezione non è vuota, e fornisce  1/2 ).

Il caso in cui un punto di  A  abbia almeno un intorno circolare (escluso il punto stesso) che non interseca  
A  stesso (come nel presente caso) è molto importante. Un punto di  A  che soddisfa questo requisito 
si chiama punto isolato di  A .

Il nome "isolato", preso dal linguaggio comune, è, diremo, assolutamente adatto a descrivere la situazione 
sopra presentata ! Abbiamo solo precisato il concetto di "essere isolato" dandone una definizione matematica 
esatta.

La matematica, in effetti, prende in considerazione i concetti e le idee della "vita di tutti i giorni" e li rende
chiari ed esatti dando di esse definizioni non contraddittorie.

La proprietà di essere isolato che ha il numero  1  , lo ha anche il numero  1/2 e di conseguenza il numero
1/3  ecc. Possiamo ora concludere che tutti i numeri  1/n  appartenenti ad  A  sono isolati ! L'insieme  A 
è costituito da punti isolati !

L'affermazione appena fatta è suffragata dal fatto che comunque si scelga una frazione  1/n , è sempre 
possibile prendere un suo intorno circolare (con esclusione della frazione stessa) che non interseca gli altri 
elementi di  A .

Per esempio, se prendiamo il numero piuttosto piccolo  1/1000000  (un milionesimo), il successivo è  
1/1000001 . Prendiamo allora un    pari a  1/1000000000 . Con questo    possiamo costruire un 
intorno che non interseca  A . 

A questo punto ci rendiamo anche esattamente conto del fatto che, in queste considerazioni, abbiamo 
escluso, costruendo l'intorno circolare di un punto, il punto stesso. Se non facessimo ciò, avremmo 
sempre, nel caso di intorni di punti di  A , una intersezione con  A  non nulla. Almeno avremmo il punto 
stesso !

07 - Punto di accumulazione.

Adesso facciamo un importante passo avanti. Siccome, nel nostro esempio, le frazioni  1/n  dell'insieme  
A  tendono a  0  al tendere di  n  all'infinito, cioè :

        ,

ed il punto  0  non appartiene ad  A  , chiediamoci cosa possa succedere prendendo un intorno circolare
S  di  0  (con esclusione di  0 stesso) :

        .

E' facile verificare che ogni intorno circolare di  0  (con esclusione di  0 ) interseca elementi dell'insieme  
A  per qualunque valore    del raggio dell'intorno (tenere sempre presente che  è positivo e quindi 
non nullo).

Ciò significa che, nel nostro caso, vi sono sempre frazioni minori di qualunque    si voglia prendere.

Graficamente, per un dato  :

       

e per un altro    minore del precedente :

       

Abbiamo quindi verificato che per ogni valore positivo di  , un intorno circolare di  0  di raggio    
(con esclusione di  0 ) interseca  l'insieme  A  fornendo un insieme non vuoto.

Diciamo allora che  0  è un punto di accumulazione (o di aderenza) di  A .

Il significato intuitivo di punto di accumulazione è chiaro. Quando un punto è punto di accumulazione di 
un certo insieme, ogni intorno circolare di esso (del punto, con esclusione del punto stesso) contiene 
elementi dell'insieme, cioè i punti dell'insieme si "accumulano", si "accatastano" sul punto stesso.

Il concetto di punto di accumulazione è di fondamentale importanza per tutta la matematica.

Diamo ora la definizione esatta di punto di accumulazione.

Si dice che  x  è punto di accumulazione dell'insieme  A  se :

       

cioè se l'intersezione fra un intorno circolare di  x  di raggio    (privato di  x ) e l'insieme  A  è diverso 
dall'insieme vuoto per ogni    reale positivo.

Si noti che un punto di accumulazione dell'insieme  A  può appartenere o non all'insieme stesso. 
Nell'esempio precedente, il punto di accumulazione  0  non appartiene all'insieme  A .

08 - Punto non isolato.

Un punto di accumulazione di un insieme (sottoinsieme della retta reale) può appartenere o non 
all'insieme stesso.

Consideriamo l'insieme    ovvero l'intervallo aperto di estremi  1  e  2  (escludendo i medesimi).
Consideriamo il punto 1 . Esso è chiaramente punto di accumulazione di  A  ma non appartiene ad  A .
Infatti, ogni intorno circolare di  1 , con esclusione di  1  stesso, contiene punti di  A  :

       

Lo stesso possiamo dire per  2 : 

       

Consideriamo ora il punto  . Anch'esso è punto di accumulazione di  A , ma in questo caso esso 
appartiene ad  A :

       

Un punto appartenente ad un insieme che sia punto di accumulazione dell'insieme stesso si dice punto 
non isolato
(dell'insieme in questione). Anche tutti gli altri punti di  A , in questo caso, sono punti di 
accumulazione di  A  e suoi punti non isolati :

       

Ribadiamo infine che, come già sappiamo, un punto appartenente ad un insieme che non  sia punto di 
accumulazione dell'insieme stesso si dice suo punto isolato.

09 - Derivato di un insieme.

Dato l'insieme  A  (sottoinsieme della retta reale) possiamo chiederci quali sono tutti i suoi punti di 
accumulazione. L'insieme dei punti di accumulazione di un insieme riveste un ruolo molto importante 
e viene chiamato insieme derivato e denotato con la scrittura :

        .

Vediamo alcuni esempi.

        - 1 -    Insieme  :

                   

                   Si tratta di un insieme che conosciamo bene ed il cui unico punto di accumulazione è  0 . 
                   Gli altri punti sono tutti punti isolati mentre il punto  0  non appartiene all'insieme  A .
                   Il derivato di  A  è allora l'insieme che contiene il solo punto  0 , quindi :

                                .

        - 2 -    Insieme  :

                   

                   Si tratta di un insieme formato da soli tre punti isolati per cui non vi sono punti di accumulazione. 
                   Questo si deduce dal fatto che per ogni punto di  A , se si prende un intorno circolare abbastanza 
                   stretto (escludendo il punto stesso) non vi sono altri punti di  A  che cadono nell'intorno suddetto.

                   

                   Il derivato di  A  è quindi in questo caso l'insieme vuoto, cioè :

                                .

        - 3 -    Insieme  :

                   

                   Si tratta dell'intervallo aperto contenente tutti i numeri fra  a  e  b  escludendo gli estremi.
                   I punti di accumulazione di questo insieme sono tutti i punti dell'intervallo aperto e gli 
                   estremi  a  e  b , ovvero l'intervallo chiuso  . Quindi :

                                .

        - 4 -    Insieme   :

                   

                   L'insieme in questione è l'intervallo chiuso formato da tutti i punti compresi fra  a  e  b  
                   comprendendo gli estremi. Il derivato di  A  è  A  stesso ( a  e  b  sono punti di 
                    accumulazione di  A  ed appartengono ad  A ), per cui :

                                .

        - 5 -    Insieme dei numeri razionali  Q .

                   Si tratta, come ben sappiamo, dell'insieme delle frazioni di numeri interi con denominatore 
                   non nullo. Assieme all'insieme dei numeri irrazionali (che non sono esprimibili per mezzo di 
                   frazioni di numeri interi, quali  ) essi formano l'insieme dei numeri reali  R .

                   Ogni numero razionale è punto di accumulazione di  Q  . Infatti, per esempio, preso il punto  0 ,
                   (che è razionale) ogni suo intorno circolare, escludendo  0  stesso, contiene almeno un numero 
                   razionale (addirittura ne contiene infiniti) :

                   

                   Consideriamo ora un numero irrazionale, per esempio  . Anche questo numero è punto 
                   di accumulazione di  Q  , così come ogni altro numero irrazionale. Infatti, tornando all'esempio 
                   di  , ogni suo intorno circolare, escluso il punto stesso, contiene almeno un numero razionale 
                   che si può ottenere troncando la rappresentazione decimale (ad infiniti decimali non periodici) di , 
                   che è :

                                .
                   Addirittura i numeri razionali contenuti in ogni intorno circolare di    sono infiniti. Graficamente :

                   

                   Possiamo quindi concludere che il derivato di  Q  è  R , cioè :

                                .

                   Questo fatto è di estrema importanza.

        - 6 -    Insieme dei numeri reali  R .

                   Per quanto affermato al punto precedente, il derivato di  R  è ovviamente  R  stesso. Quindi :

                                .

10  - Insieme chiuso, denso in sé, perfetto.

Confrontando un insieme  A  con il suo derivato  , si possono avere i seguenti casi :

       

       

        .

Nel primo caso si dice che l'insieme  A  è chiuso. L'insieme del precedente esempio  - 2 -  è un insieme 
chiuso perché l'insieme vuoto è sottoinsieme di ogni insieme. Anche l'insieme dell'esempio  - 4 -  è un
insieme chiuso (infatti esso è un intervallo che già avevamo definito usando l'aggettivo "chiuso"). 

Nel secondo caso si dice che l'insieme  A  è denso in sé. E' questo il caso degli esempi  - 3 - e - 5 - . 
Il significato "intuitivo" della parola "denso" è chiaro considerando l'insieme  Q . Ogni punto di  Q  ha 
intorni circolari che contengono infiniti numeri razionali ed infiniti numeri irrazionali.

Nel terzo caso si dice che l'insieme  A  è perfetto. Sono perfetti gli insiemi degli esempi  - 4 - e  - 6 - . 

Naturalmente, un insieme perfetto è anche chiuso e denso in sé.

Un insieme può essere chiuso, denso in sé, perfetto. E' il caso dell'insieme    in 
quanto il suo derivato,  , non ha punti in comune con l'insieme stesso.

11 - Chiusura di un insieme. 

Consideriamo un insieme  A  (sottoinsieme della retta reale) ed il suo derivato  . Con questi due  
insiemi se ne può costruire un terzo, detto chiusura di  A  e denotato come , formato dall'unione di  A  
con il suo derivato. Quindi :

        .

Naturalmente la chiusura dell'insieme  A  è sempre un insieme chiuso, qualunque sia la natura di  A . Per 
esempio, consideriamo il ben noto insieme :

        .

Esso è costituito da tutti punti isolati ed ha un solo punto di accumulazione, il punto 0 , non appartenente 
ad  A  . Il derivato di  A  è quindi :

        .

La chiusura di  A  sarà allora :

        .

In questo caso il derivato di  continua ad essere . Quindi avremo , per cui deduciamo, 
come deve essere, che    è un insieme chiuso.

Un altro esempio molto semplice di chiusura è il caso dell'intervallo aperto  . La sua chiusura è 
ovviamente il corrispondente intervallo chiuso  in quanto gli estremi  a  e  b  dell'intervallo aperto 
sono punti di accumulazione dell'intervallo stesso .

Un ultimo esempio molto interessante di chiusura, si ha considerando l'insieme dei numeri razionali  Q .
Il derivato di  Q  è tutto  R  per cui la chiusura di  Q  è  R .

12 -Insieme denso in un altro.

Consideriamo ora l'insieme  A  sottoinsieme dell' insieme  B (entrambi sottoinsiemi della retta reale), cioè  
. Se si verifica che B  è sottoinsieme della chiusura di  A , cioè  , allora si dice che  
A  è denso in  B . 

Esempi :

        - Intervallo aperto  . Esso è denso nell'intervallo chiuso perché la chiusura di  è  
             per cui si ha    .

        - Insieme  Q . Esso è denso in  R  perché la chiusura di  Q  è  R  per cui si ha  .

Il concetto di insieme denso in un altro (così come in se stesso) così definito, precisa il significato intuitivo 
del della parola "denso".

13 - Punto interno. Insieme aperto.

Consideriamo l'insieme  A  (sottoinsieme della retta reale) ed un suo punto  x . Se esiste un intervallo 
aperto   che contiene  x  e che è contenuto a sua volta in  A  , si dice che  x  è un punto interno 
di  A . Cioè se si verifica che :

        .

Ecco un esempio grafico :

       

Si vede bene che il punto  x  è un punto interno ad  A  mentre il punto  y  (punto isolato) non lo è.

Un insieme i cui punti sono tutti interni si chiama insieme aperto.

Un esempio di insieme aperto è ovviamente l'intervallo aperto  .

Un altro insieme aperto è  R . Si noti che  R  è anche chiuso !!!

Anche l'insieme vuoto  è un insieme aperto, perché se tale non fosse avrebbe almeno un punto non interno, 
ma l'insieme vuoto non ha elementi ...

L'insieme vuoto è anche chiuso perché il suo derivato è l'insieme vuoto stesso (quindi esso è addirittura perfetto).

Un insieme, quindi, può essere contemporaneamente aperto e chiuso. Questo può sembrare contraddittorio
per la logica comune. In matematica, invece, ciò non crea alcuna contraddizione. Le definizioni sono "ben poste"
e quindi le conseguenze sono coerenti (anche se a volte sembrano "cozzare" con il buon senso).

14 - Metrica sulla retta reale.

Sulla retta reale è possibile definire una distanza fra due suoi punti presi a piacere. In questo modo si 
dota la retta di una struttura metrica. La retta reale dotata di questa struttura metrica costituisce uno
spazio metrico
: il primo e molto semplice esempio di spazio metrico fra i molti che incontreremo
in futuro.

La distanza fra due punti  x  e  y  è data dalla formula :

        .

(ricordiamo che il valore assoluto  |  |  (o modulo) di un numero è quell'operazione che restituisce il
medesimo numero se esso è positivo o nullo, o gli cambia di segno, facendolo diventare positivo, se 
esso è negativo) 

La distanza fra due punti è quindi positiva se i punti sono distinti e nulla  se i punti coincidono :

       

Si può anche definire la distanza fra un punto ed un insieme (sottoinsieme della retta reale) prendendo  
il valore inferiore fra tutte le distanze fra quel punto e tutti i punti dell'insieme in questione. Si scrive
allora :

       

dove  x  è un punto ed  A  un insieme. Per esempio :

       

Analogamente si può definire la distanza fra due insiemi (sottoinsiemi della retta reale) come la distanza 
inferiore fra tutte le distanze prese fra tutte le coppie di punti che stanno sul primo e sul secondo insieme. 
Quindi :

        .

Per esempio :

       

Utilizzando il concetto di metrica, la posizione di un punto  x   rispetto ad un insieme  A  si può distinguere 
nei seguenti casi :

        -  x  è interno ad  A  se  A  coincide con  R  oppure se la distanza del punto  x  dal complementare 
           di  A  rispetto ad  R (l'insieme di tutti i punti di  R  che non appartengono ad  A e che si indica con  
             ) è positiva , cioè se :

                    .

           Per esempio :

                   

           Questa definizione di punto interno è equivalente a quella data in precedenza.

        - x  è esterno ad  A  se la distanza fra il punto  x  e l'insieme  A  è positiva, cioè se :

                    .

           Per esempio :

                   

        - x  è un punto di frontiera per  A  se  A  non coincide con  R  e la distanza fra il punto  x  e 
           l'insieme  A  è nulla così come è nulla la distanza fra il punto  x  ed il complementare di  A . Cioè :

                    .

           Per esempio :

                    

           L'insieme dei punti interni dell'insieme  A  si chiama interno di  A  e si indica con :

                    .

           L'insieme dei punti di frontiera dell'insieme  A  si chiama frontiera di  A  e si indica con :

                    .

Fine.

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