E-school  di  Arrigo Amadori

Tutorial di matematica

Insiemi finiti ed infiniti


01 - L'infinito in matematica.

In matematica ogni concetto deve essere definito in modo esatto, senza che vi sia alcun adito ad 
imprecisioni od ambiguità. Il concetto di infinito non fa eccezione. Vedremo qui  come si definisce
l'infinito anche se ciò potrebbe sembrare togliere un po' della "poesia" e del "mistero" che lo circondano. 

Getteremo luce su un argomento "misterioso" scoprendo che, sorprendentemente, il suo "fascino" permane 
inalterato anche se proiettato dal dominio dell'irrazionalità a quello della ragione, da "poesia dell'irrazionale" 
a "poesia della ragione" 

Dobbiamo al grande matematico Georg Cantor (1845-1918), oltre all'intera fondazione della teoria 
degli insiemi, la definizione di infinito, anzi, come vedremo in seguito, degli infiniti, perché di "tipi di 
infinito" ve ne sono addirittura ... infiniti.

02 - L'insieme  .

Consideriamo l'insieme :

         

che è formato da tutti i numeri naturali (appartenenti ad  N ) in "fila" da  1  al numero  n  che può avere 
qualunque valore naturale. Per esempio :

        , , , , ecc.

Questo semplice insieme è di fondamentale importanza per la definizione di infinito.

03 - Insiemi equipotenti.

Consideriamo due insiemi qualunque  A  e  B . Se fra essi esiste una corrispondenza biunivoca 
(corrispondenza è sinonimo di funzione) allora si dice che  A  e  B  sono equipotenti.

Esempio :

       

Se, viceversa, fra  A  e  B  non esiste nessuna corrispondenza biunivoca, i due insiemi non sono 
equipotenti

Esempio :

       

(come si vede bene dal grafico, un elemento di  B  resta sempre escluso).

Consideriamo ora un insieme  , per esempio l'insieme  , ed un suo sottoinsieme 
proprio , per esempio  . E' ovvio che fra l'insieme    ed il suo sottoinsieme proprio  A  
non vi è alcuna corrispondenza biunivoca. Diciamo allora che  ed  A  non sono equipotenti.

       

Si può dimostrare facilmente che ogni insieme  non ha sottoinsiemi propri equipotenti ad esso.

Sottolineiamo che i sottoinsiemi in questione debbono essere sottoinsiemi propri, ovvero non devono 
essere mai uguali agli insiemi di cui sono sottoinsiemi.

04 - Insiemi finiti ed infiniti.

Tutti gli insiemi    allora godono di questa semplice proprietà, di non avere sottoinsiemi propri 
equipotenti ad essi.

Diremo che un insieme qualunque è finito se è equipotente ad un insieme    per un certo valore 
di  n .

Il numero  n  rappresenta il numero degli elementi di quell'insieme finito e si chiama anche 
cardinalità dell'insieme. La cardinalità di   è allora  3  e la cardinalità dell'insieme   
è  2 . L'insieme vuoto    ha cardinalità  0 .

Ovviamente, un insieme finito non possiede sottoinsiemi propri ad esso equipotenti. Che ne è allora
degli insiemi che possiedono sottoinsiemi propri ad assi equipotenti ?

Essi sono detti insiemi infiniti.

Abbiamo così dato in modo assai "semplice" ed "elegante" la definizione "esatta" di infinito !!!

Un insieme è infinito, ripetiamo, se possiede almeno un sottoinsieme proprio ad esso equipotente.

Vedremo oltre che il concetto di cardinalità (ovvero "quanti" elementi contiene un insieme) può essere 
esteso anche agli insiemi infiniti.

05 - Insiemi numerabili. Cardinalità  (alef 0).  

Consideriamo l'insieme dei numeri naturali  . Intuitivamente possiamo affermare che 
esso è un insieme infinito. In matematica, però, l'intuito non è sufficiente a dimostrare una affermazione, 
anzi, a volte può indurre in errore se non suffragato da una dimostrazione "esatta". Cerchiamo allora di 
dimostrare che  N  è un insieme infinito.

Secondo la definizione data sopra, un insieme è infinito se possiede un sottoinsieme proprio ad esso 
equipotente.

Consideriamo l'insieme dei numeri naturali pari  . Esso è sicuramente un sottoinsieme 
proprio di  N . Inoltre  P  è equipotente ad  N , cioè esiste una corrispondenza biunivoca fra di essi
che possiamo visualizzare nel grafico :

       

Per questi motivi deduciamo che l'insieme dei numeri naturali  N  è un insieme infinito (come, 
d'altra parte, ci aspettavamo che fosse).

Di più, l'insieme  N  ed ogni insieme equipotente ad  N  si dice che è un insieme numerabile e che 
ha cardinalità  (alef 0).

Abbiamo così esteso il concetto di cardinalità dagli insiemi finiti a quelli infiniti !!!

L'insieme dei numeri pari, allora, è numerabile (perché equipotente ad  N ). Anche l'insieme dei 
numeri dispari  è numerabile così come l'insieme dei quadrati dei numeri naturali  
ecc.

Vedremo la prossima volta che esistono insiemi infiniti ma non numerabili, che quindi non hanno 
cardinalità  .

06 - Schema riassuntivo sulle definizioni date fino ad ora di insiemi finiti, infiniti, numerabili. 

Sinteticamente :

        - a -    Un insieme si dice finito se non esiste nessun suo sottoinsieme proprio ad esso equipotente 
                   (si dice che due insiemi sono equipotenti se esiste una corrispondenza biunivoca fra essi).

        - b -    La cardinalità di un insieme finito è il numero dei suoi elementi.

        - c -    Un insieme si dice infinito se possiede un sottoinsieme proprio ad esso equipotente.

        - d -    L'insieme dei numeri naturali  N  è un insieme infinito.

        - e -    La cardinalità di  N  è  .

        - f -    Gli insiemi equipotenti ad  N  si dicono numerabili ed hanno cardinalità   .

07 - Esempi di insiemi numerabili.

Presentiamo qui due importanti esempi di insiemi numerabili.

        - a -    L'insieme  .

                   Si tratta del prodotto cartesiano di  N  per  N , ovvero dell'insieme di tutte le coppie ordinate 
                   che si ottengono prendendo il primo elemento in  N  così come il secondo :

                            .

                   Rappresentiamo l'insieme    graficamente :

                           

                   dove i punti di intersezione rappresentano le coppie ordinate di  .

                   Ora "inventiamo" un modo di "contare tutte" queste coppie ordinate. Così facendo 
                   introduciamo una corrispondenza biunivoca fra  N  ed  grazie alla quale potremo 
                   affermare che  è un insieme numerabile.

                   Consideriamo il grafico :

                           

                   Da esso si vede bene che abbiamo introdotto una corrispondenza biunivoca fra  N  ed  
                   . Gli insiemi  N  ed    sono perciò equipotenti. Abbiamo così definito un 
                   modo di "contare tutti" gli elementi di  (le coppie ordinate).

                   La corrispondenza biunivoca che abbiamo introdotto è la seguente :

                           

                   Sottolineiamo il fatto che in questa corrispondenza non rimane esclusa nessuna coppia 
                   ordinata di  .

                   Avendo introdotto una corrispondenza biunivoca fra  N  ed  , essendo cioè i due 
                   insiemi equipotenti, possiamo affermare che    è numerabile ed ha cardinalità  .

        - b -    L'insieme dei numeri razionali  Q .

                   L'insieme dei numeri razionali è formato da tutte le frazioni di numeri interi (positivi, 
                   negativi e lo zero) con denominatore non nullo. Cioè : 

                           

                   dove  I  è l'insieme dei numeri interi (positivi, negativi e lo zero):

                            .

                   Per comodità, nel ragionamento che segue ci limitiamo ai soli numeri razionali positivi :

                             

                   prevedendo che ciò che dimostreremo per    varrà anche per    (numeri razionali negativi), 
                   mentre per il numero  0 , se avremo dimostrato che e  sono numerabili, lo sarà anche la loro 
                   unione e tale sarà anche con l'aggiunta del solo numero  0 .

                   Intuitivamente possiamo immaginare di fare corrispondere ad ogni frazione positiva   la coppia
                   ordinata  (m,n)  di  . Possiamo perciò creare una corrispondenza fra  Q  ed  .

                   Per esempio : 

                            .

                   Per questo motivo, l'insieme  Q  è numerabile, cioè posso "contarne tutti" gli elementi, così 
                   come lo è  . 

                   In effetti, le cose sono complicate dal fatto che una frazione corrisponde a più coppie
                   ordinate di  , per esempio :

                            , 

                   ma il concetto non cambia.

                   Basterà, per ovviare all'inconveniente, saltare dalla "conta" le coppie ordinate "equivalenti", 
                   che corrispondono cioè allo stesso numero razionale.

                   Il fatto che l'insieme dei numeri razionali è numerabile è di fondamentale importanza.

08 - Insiemi infiniti non numerabili. Insiemi continui. 

L'insieme  N  dei numeri naturali è un insieme infinito numerabile. L'insieme dei numeri razionali  Q  è un 
insieme infinito numerabile.

Sorge a questo punto spontanea una domanda : esistono insiemi infiniti non numerabili, cioè che siano 
infiniti ma che non siano equipotenti ad  N ?

La risposta è affermativa ! 

Consideriamo il sottoinsieme dei numeri reali  R  compresi fra  0  ed  1 e ricordiamo che l'insieme dei 
numeri reali  R  è formato dai numeri razionali  Q  e dai numeri irrazionali ( dove  e  
è l'importantissimo numero di Nepero che vale  2,718... ). Ricordiamo anche che un numero reale può 
essere posto in forma decimale

I numeri razionali corrispondono a numeri decimali con un numero finito di decimali dopo la virgola 
oppure a numeri decimali periodici. I numeri irrazionali corrispondono invece a numeri decimali con 
infiniti decimali non periodici.

Per il nostro scopo, per motivi di univocità, consideriamo che un numero decimale a finiti decimali può
essere scritto anche nella forma periodica ad infiniti decimali non nulli nel seguente modo :

        .

Esprimiamo, cioè, ogni numero razionale come fosse un numero decimale periodico.

Proviamo a dimostrare allora che l'insieme dei numeri reali compresi fra  0  e  1  (che chiamiamo per 
comodità  A  , ponendo  (si noti che abbiamo escluso per convenienza lo  0 )) è
un insieme infinito ma non numerabile

Che  A  sia un insieme infinito è piuttosto ovvio, per cui ne omettiamo la dimostrazione. Proviamo ora a
dimostrare che  A  non è numerabile.

Per fare questo procediamo per assurdo. Immaginiamo, cioè, contrariamente alla tesi, che  A  sia 
numerabile. Se questo portasse ad una contraddizione, allora vorrebbe dire che  A  non è numerabile.

Se  A  (per assurdo) è numerabile, allora è equitotente ad  N , cioè esiste una corrispondenza biunivoca 
fra  N  ed  A  che possiamo esprimere nel seguente modo :

       

Sottolineiamo il fatto che immaginiamo di "elencare" tutti gli elementi di  A e che a ciascuno di essi 
facciamo corrispondere uno ed un solo numero naturale. 

A questo punto "costruiamo" un numero decimale fra  0  ed  1  nel seguente modo : 

        consideriamo la prima cifra decimale del primo numero del precedente grafico. Se è uguale ad  1  
        scriviamo  2  , se invece è diverso da  1 , scriviamo  1 .

        consideriamo la seconda cifra decimale del secondo numero del precedente grafico. Se è uguale ad  1  
        scriviamo  2  , se invece è diverso da  1 , scriviamo  1 .

        consideriamo la terza cifra decimale del terzo numero del precedente grafico. Se è uguale ad  1  
        scriviamo  2  , se invece è diverso da  1 , scriviamo  1 .

        ecc. ecc.  per tutti i numeri dell'elenco (che corrispondono, secondo a quanto affermato sopra, con 
        tutti gli elementi di  A )

Otteniamo così :

       

Il numero ottenuto, che chiamiamo  x  , è sicuramente diverso da tutti i gli elementi di  A !!!

Il numero  x  risulta allora escluso dalla corrispondenza biunivoca fra  N  ed  A  . Ma, d'altra parte,  x  
è un numero compreso fra  0  ed  1  ad appartenente ad  A . 

Per questo motivo, esistendo un elemento di  A  fuori dalla corrispondenza biunivoca, l'insieme  A  non 
può essere numerabile. Abbiamo così dimostrato che l'insieme dei numeri reali compresi fra  0  ed  1 , 
pur essendo un insieme infinito, non è un insieme numerabile. 

L'insieme  A  si dice che è un insieme continuo e che ha cardinalità  .

Anche l'insieme dei numeri reali  R  è di conseguenza un insieme continuo.

09 - Ipotesi del continuo.

L'insieme dei numeri razionali  Q  è numerabile ed ha cardinalità  . L'insieme dei numeri reale  R  è 
continuo ed ha cardinalità  . 

Esiste una cardinalità "intermedia" fra    ed    ? La risposta non è deducibile da nessuna altra 
definizione, teorema od assioma precedente. Cantor risolse il problema introducendo un apposito assioma, 
la cosiddetta "ipotesi del continuo". Secondo questa ipotesi (indimostrabile), non esiste una cardinalità
intermedia fra    ed  .

10 - Numeri cardinali finiti e transfiniti.

Fino ad ora abbiamo visto che un insieme finito ha cardinalità  n  (dove  n  è il numero degli elementi che 
lo costituiscono), un insieme numerabile ha cardinalità  ed un insieme continuo ha cardinalità  .

Senza entrare nei particolari (che esulerebbero dallo scopo introduttivo di questi semplici appunti), possiamo 
affermare che, data una cardinalità qualunque, ne esiste sempre una maggiore.

Quindi arriviamo alla sorprendente conclusione che oltre    esistono infinite cardinalità.

Abbiamo allora così definito una nuova classe di numeri : i numeri cardinali. Essi possono essere
riassunti nel seguente schema :

 insieme :  cardinalità :
   
 vuoto   0
 finito  n (1, 2, 3, ...)
 numerabile  
 continuo  
 ...  ...

(si conviene di porre la cardinalità dell'insieme vuoto uguale a  0  perché l'insieme vuoto non contiene 
elementi)

I numeri cardinali  0, 1, 2, ... sono detti numeri cardinali finiti. I numeri cardinali  , , ...  sono 
detti numeri cardinali transfiniti.

Fine. 

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