Tutorial di matematica
Insiemi
01 - Definizione di insieme.
Tutto l'intero edificio della matematica si basa sul concetto di insieme.
Cos'è un insieme ? E' quasi incredibile, ma il concetto di insieme non è definibile. Tutta la matematica,
e quindi la scienza, si basa su un concetto indefinibile !!! Il concetto di insieme è innato, solamente
intuibile ma non definibile. Al massimo possiamo definire dei sinonimi : aggregato, classe, collezione ecc.
Possiamo indicare un insieme con una lettera maiuscola : A, B, C ....
Possiamo definire un insieme indicandone gli elementi utilizzando le parentesi graffe con questa sintassi :
dove, in questo caso, l'insieme A contiene gli elementi a , b , c , 1 e 2 .
Vi è anche un modo grafico molto immediato per indicare un insieme tramite i diagrammi di Venn :
Se gli elementi di un insieme sono molti e quindi non elencabili, si troverà volta per volta il modo più
conveniente per indicarli, per esempio specificando una o più proprietà ad essi comune che li specifica.
Per indicare che un elemento appartiene ad un insieme si usa la scrittura :
.Per indicare che un elemento non appartiene ad un insieme si usa la scrittura :
.Se un insieme non contiene elementi esso si dice vuoto e si indica con il simbolo
.Due insiemi si dicono uguali se sono composti dagli stessi elementi. Per esempio gli insiemi
e 
sono uguali e si scrive :A = B .
L'insieme che non contiene elementi si chiama insieme vuoto e si denota con
.02 - Sottoinsieme.
Un insieme i cui elementi appartengono anche ad un altro insieme si dice che è sottoinsieme di quest'ultimo.
Per esempio, l'insieme
è sottoinsieme dell'insieme
perché i suoi elementib e 2 appartengono anche ad A .
Graficamente :
Per indicare che B è sottoinsieme di A si scrive :
.Si noti che un sottoinsieme di un insieme può essere anche uguale a quest'ultimo (in questo caso ne
contiene tutti gli elementi e non ne contiene altri). Per questo motivo, nel simbolo di sottoinsieme si
mette la sbarretta orizzontale indicando così la possibilità dell'uguale.
Un sottoinsieme proprio, invece, è un sottoinsieme che non è uguale all'insieme a cui appartiene, cioè
vi è almeno un elemento del secondo che non è contenuto nel primo.
Nell'esempio precedente, B è sottoinsieme proprio di A e si scrive (senza la sbarretta) :
.03 - Unione.
Dati due insiemi A e B è possibile eseguire fra di essi l'operazione di unione ottenendo così un terzo
insieme, l'insieme C , formato dagli elementi del primo insieme e dagli elementi del secondo.
Per esempio, se
e 
,
l'insieme C che rappresenta la loro unione (operazione che si indica con una "U" ) è :
.Esempi grafici :
04 - Intersezione.
Dati due insiemi A e B è possibile eseguire fra di essi l'operazione di intersezione ottenendo così un
terzo insieme, l'insieme C , formato dai soli elementi in comune ai due insiemi.
Per esempio, se
e ,
l'insieme C che rappresenta la loro intersezione (operazione che si indica con una "U" rovesciata) è :
.Esempi grafici :
Si noti che l'intersezione fra due insiemi disgiunti, cioè che non hanno elementi in comune, è l'insieme
vuoto
.05 - Differenza.
Dati due insiemi A e B è possibile eseguire fra di essi l'operazione di differenza ottenendo così un
terzo insieme, l'insieme C , formato dai soli elementi di A che non sono elementi di B .
Per esempio, se
e ,
l'insieme C che rappresenta la loro differenza (operazione che si indica con - ) è :
.Esempi grafici :
Si noti che la differenza fra due insiemi uguali è l'insieme vuoto per cui A - A =
.06 - Complementare di un insieme.
Se A e X sono due insiemi ed A è sottoinsieme di X , cioè
, la differenza X - A si chiama complementare di A rispetto ad X e di denota con :
.Graficamente :
Fine.
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