E-school  di  Arrigo Amadori

Tutorial di matematica

Insiemi


01 - Definizione di insieme. 

Tutto l'intero edificio della matematica si basa sul concetto di insieme

Cos'è un insieme ? E' quasi incredibile, ma il concetto di insieme non è definibile. Tutta la matematica, 
e quindi la scienza, si basa su un concetto indefinibile !!! Il concetto di insieme è innato, solamente 
intuibile ma non definibile. Al massimo possiamo definire dei sinonimi : aggregato, classe, collezione ecc.

Possiamo indicare un insieme con una lettera maiuscola : A, B, C  .... 

Possiamo definire un insieme indicandone gli elementi utilizzando le parentesi graffe con questa sintassi :

       

dove, in questo caso, l'insieme  A  contiene gli elementi  a , b , c , 1  e  2 .

Vi è anche un modo grafico molto immediato per indicare un insieme tramite i diagrammi di Venn :

       

Se gli elementi di un insieme sono molti e quindi non elencabili, si troverà volta per volta il modo più
conveniente per indicarli, per esempio specificando una o più proprietà ad essi comune che li specifica.

Per indicare che un elemento appartiene ad un insieme si usa la scrittura :

          .

Per indicare che un elemento non appartiene ad un insieme si usa la scrittura :

        .

Se un insieme non contiene elementi esso si dice vuoto e si indica con il simbolo  .

Due insiemi si dicono uguali se sono composti dagli stessi elementi. Per esempio gli insiemi  
  e    sono uguali e si scrive :

        A = B .

L'insieme che non contiene elementi si chiama insieme vuoto e si denota con  .

02 - Sottoinsieme.

Un insieme i cui elementi appartengono anche ad un altro insieme si dice che è sottoinsieme di quest'ultimo.

Per esempio, l'insieme    è sottoinsieme dell'insieme    perché i suoi elementi
b  e  2  appartengono anche ad  A .

Graficamente :

       

Per indicare che  B  è sottoinsieme di  A  si scrive :

        .

Si noti che un sottoinsieme di un insieme può essere anche uguale a quest'ultimo (in questo caso ne 
contiene tutti gli elementi e non ne contiene altri). Per questo motivo, nel simbolo di sottoinsieme si 
mette la sbarretta orizzontale indicando così la possibilità dell'uguale.

Un sottoinsieme proprio, invece, è un sottoinsieme che non è uguale all'insieme a cui appartiene, cioè 
vi è almeno un elemento del secondo che non è contenuto nel primo. 

Nell'esempio precedente,  B  è sottoinsieme proprio di  A  e si scrive (senza la sbarretta) :

        .

03 - Unione.

Dati due insiemi  A  e  B  è possibile eseguire fra di essi l'operazione di unione ottenendo così un terzo 
insieme, l'insieme  C , formato dagli elementi del primo insieme e dagli elementi del secondo.

Per esempio, se    e  , l'insieme  C  che rappresenta la loro unione 
(operazione che si indica con una  "U" ) è :

          .

Esempi grafici :

       

04 - Intersezione.

Dati due insiemi  A  e  B  è possibile eseguire fra di essi l'operazione di intersezione ottenendo così un 
terzo insieme, l'insieme  C , formato dai soli elementi in comune ai due insiemi.

Per esempio, se    e  , l'insieme  C  che rappresenta la loro intersezione 
(operazione che si indica con una  "U" rovesciata) è :

        .

Esempi grafici :

       

Si noti che l'intersezione fra due insiemi disgiunti, cioè che non hanno elementi in comune, è l'insieme 
vuoto  .

05 - Differenza.

Dati due insiemi  A  e  B  è possibile eseguire fra di essi l'operazione di differenza ottenendo così un 
terzo  insieme, l'insieme  C , formato dai soli elementi di  A  che non sono elementi di  B .

Per esempio, se    e  , l'insieme  C  che rappresenta la loro differenza 
(operazione che si indica con  - ) è :

        .

Esempi grafici :

       

Si noti che la differenza fra due insiemi uguali è l'insieme vuoto per cui  A - A  =  .

06 - Complementare di un insieme.

Se  A  e  X  sono due insiemi ed  A  è sottoinsieme di  X  , cioè  , la differenza  X - A  si chiama 
complementare di  A  rispetto ad  X  e di denota con :

        .

Graficamente :

       

Fine. 

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