E-school  di  Arrigo Amadori

Tutorial di matematica

Funzioni reali notevoli : seno, coseno, tangente (7' parte)

15 - Pendenza (derivata) delle funzioni seno e coseno.

Vogliamo ora studiare la pendenza delle funzioni seno e coseno in modo qualitativo punto per punto. Una trattazione quantitativa del problema sarà svolta più avanti in questo corso.

Cominciamo a studiare la pendenza punto per punto, che si chiama anche derivata, della funzione  (il simbolo della funzione seno è sia "sen" che "sin"). 

La curva che tale funzione descrive si chiama sinusoide ed è rappresentata dal grafico :

       

Consideriamo ora le pendenze della sinusoide nei punti di ascissa  , , , , . Per fare questo tracciamo le rette tangenti nei suddetti punti :

       

Siccome la pendenza di una retta è uguale al suo coefficiente angolare ovvero alla tangente trigonometrica dell'angolo che la retta forma con l'asse delle ascisse (angolo misurato in senso antiorario), osservando il grafico, si "vede bene" (ripetiamo che stiamo trattando il problema in modo qualitativo) che la pendenza nel punto di ascissa    è  , nel punto di ascissa    è  , nel punto di ascissa    è  , nel punto di ascissa    è    e nel punto di ascissa    è  . La funzione    è poi periodica, per cui il suddetto andamento si "riproduce" continuando per angoli maggiori di    o minori di  .

Riportiamo questi risultati in un grafico "parallelo" e sottostante al precedente (così possiamo avere un "colpo d'occhio" d'insieme) :

       

Immaginiamo ora di calcolare (sempre in modo qualitativo) le pendenze in ogni altro punto della sinusoide fra    e    e riportiamo i risultati sul grafico "parallelo" introdotto precedentemente :

       

Osservando il grafico si può "dedurre" che la pendenza della funzione    è la funzione  (si tenga sempre presenta la periodicità di tali funzioni).

Siamo così giunti (anche se in modo qualitativo !!!) all'importante risultato che la pendenza del seno è il coseno, ovvero, in linguaggio più "matematico" che :

        la derivata del seno è il coseno.

Simbolicamente scriveremo :

       

dove con il simbolo  , che si legge "de in de x", indichiamo appunto la derivata. Si noti che i simboli usati per indicare la derivata sono molti e che questo si aggiunge ad altri già utilizzati in precedenza !!!

Quale sarà allora la derivata della funzione  ?

Procedendo in modo analogo otteniamo :

       

Siamo così giunti all'altro importante risultato che :

        la derivata del coseno è il meno seno.

Simbolicamente scriveremo :

        .

Fine.

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