E-school  di  Arrigo Amadori

Tutorial di matematica

Funzioni reali notevoli : seno, coseno, tangente (6' parte)

14 - Proprietà del fuoco della parabola.

Tutti i raggi di luce paralleli all'asse (o anche qualsiasi onda elettromagnetica di  lunghezza d'onda sufficientemente piccola), quando colpiscono uno specchio parabolico, si riflettono concentrandosi tutti in uno stesso punto, il fuoco della parabola. Questa proprietà è molto importante ed ha innumerevoli applicazione tecnologiche (fra tutte, gli specchi e le antenne paraboliche).

In sezione :

Questo fatto può essere dimostrato nel seguente modo.

Consideriamo la parabola di equazione :

dove     è un numero positivo (in questo modo ci limitiamo alle sole parabole con concavità rivolta verso l'alto).

Il suo grafico è (per esempio con ) :

Consideriamo ora il punto    della parabola di ascissa  . L'ordinata del punto    sarà allora  . 

Graficamente :

Consideriamo una semiretta    parallela all'asse della parabola che corrisponde ad un raggio di luce incidente sulla parabola stessa nel punto  . Esso (il raggio incidente) verrà riflesso secondo le leggi dell'ottica geometrica in modo che l'angolo di incidenza sia uguale all'angolo di riflessione ( ). 

Naturalmente, il raggio incidente è come se si riflettesse sulla retta    tangente alla parabola nel punto   . 

Inoltre, la retta perpendicolare (normale) alla retta  , sempre nel punto  , la chiamiamo retta  , mentre la semiretta riflessa, corrispondente al raggio riflesso, la indichiamo con   .

Graficamente :

Per ricavare il punto  , il fuoco della parabola per il quale passano tutti i raggi riflessi (come abbiamo supposto), basterà conoscere i coefficienti angolari delle rette  ,   ed  . Conosciuti tali coefficienti angolari, ed in particolare il coefficiente angolare della retta  , sarà semplice ricavare l'equazione della retta    e quindi il punto  e dimostrare che tale punto è fisso, cioè non dipende dalla scelta della semiretta  (purché essa sia parallela all'asse della parabola) ovvero non dipende dalla scelta del punto    sulla parabola ovvero non dipende dal parametro .

In definitiva, basterà allora dimostrare che l'ordinata del fuoco    non dipende dal parametro  .

Ricaviamo il coefficiente angolare della retta  .

Come già sappiamo, il coefficiente angolare della retta tangente ad una curva in un suo punto è la pendenza ovvero la derivata della curva stessa in quel punto.

Nel nostro caso, come già visto nei capitoli riguardanti la parabola, la derivata è :

dove il simbolo    significa "derivata della funzione (qui l'equazione della parabola) nel punto di ascissa  ".

Avremo allora :

dove con    indichiamo il coefficiente angolare della retta  .

Ricaviamo il coefficiente angolare della retta  .

La retta    è perpendicolare alla retta  . Avremo allora :

dove con    indichiamo appunto il coefficiente angolare della retta  . Questo dipende dal fatto che per due rette perpendicolari si deve avere :

ovvero i due coefficienti angolari sono anti-reciproci.

Graficamente :

Il coefficiente angolare   , inoltre, uguaglia la tangente trigonometrica dell'angolo    (misurato in senso antiorario) che la retta    forma con l'asse delle ascisse così come indicato in figura :

Abbiamo cioè :

        .

L'angolo    è evidentemente uguale alla somma di un angolo retto più l'angolo di incidenza  , ovvero :

        .

Per questo possiamo scrivere :

e quindi, essendo  , avremo :

        .

Proponiamoci ora di calcolare    ricordando che la tangente della somma di due angoli, come già sappiamo, vale :

(dove qui   ("gamma") e   ("delta") sono due angoli qualunque).

Sostituendo alla formula generale i nostri dati, ricaviamo :

        ,

formula che presenta un grosso problema !!! La tangente dell'angolo retto non esiste !!! Per cui la formula appena scritta non ha senso !!! 

Graficamente si vede bene che, volendo calcolare la tangente di un angolo retto, si ottengono due rette parallele :

Come ovviare all' "inconveniente" ? Con il passaggio al limite. Si può "immaginare" che invece di un angolo retto, si prende un angolo che tende, si avvicina, ad un angolo retto. 

Graficamente :

In questo modo, si vede bene che quando l'angolo in questione tende all'angolo retto, la sua tangente tende all'infinito.

Trasformiamo allora (il perché di ciò sarà chiaro in seguito) la formula generica    dividendo ambo i membri per  .

Otteniamo perciò :

        .

Se  , al tendere di    a  , tende all'infinito, allora avremo :

(la freccia sta per la parola "tende") perché, dividendo un certo numero dato per un numero che tende all'infinito (cioè diventa sempre più grande), il risultato tenderà a zero.

Possiamo allora scrivere :

        .

Ritornando al nostro caso, avremo allora :

         .

Ma d'altra parte avevamo trovato che    per cui possiamo scrivere :

da cui ricaviamo l'importante risultato :

        .

Ricaviamo ora il coefficiente angolare    della semiretta riflessa  . 

Osservando il grafico :

si deduce che esso vale :

        .

Per lo stesso discorso fatto per    abbiamo :

         .

La formula di duplicazione per la tangente, come già sappiamo, vale :

per un angolo generico  .

Nel nostro caso, ricaviamo :

(abbiamo cambiato i segni per comodità) ovvero, essendo     :

        .

L'equazione della retta    , trattandosi di una retta passante per un punto e quindi dalla generica equazione  , sarà :

che abbiamo ricavato semplicemente sostituendo a    l'ordinata del punto  , ad    l'ascissa del medesimo punto ed al coefficiente angolare    il coefficiente angolare della retta  , cioè  appena trovato.

Per ricavare l'ordinata del punto d'incontro fra il raggio riflesso   e l'asse delle  , ovvero il punto  , che vogliamo dimostrare essere il fuoco (fisso !!!) della parabola, basta fare l'intersezione fra la retta    e l'asse delle  , cioè risolvere il sistema :

        .

Sostituendo nella prima equazione ad    il valore  , ricaviamo direttamente :

(abbiamo spostato da sinistra a destra l'addendo    cambiandogli ovviamente il segno ed abbiamo posto il fattore    davanti alla frazione).

Semplificando, otteniamo :

(avendo trasformato in un'unica frazione e portato attenzione ai segni) cioè :

        .

Il risultato trovato rappresenta l'ordinata del punto    e, come è evidente riconoscere, non contiene il parametro  .

Questo è esattamente ciò che ci aspettavamo !!! Il punto  non dipende da  , quindi, tutti i raggi incidenti paralleli all'asse della parabola (che invece dipendono da  ) vengono riflessi in un punto fisso, il punto  , che è il fuoco della parabola (per la definizione delle coordinate del fuoco di una generica parabola vedi capitolo riguardante la parabola).

Per questo motivo, si giustifica il nome "fuoco" utilizzato per indicare questo punto particolare.

Fine.

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