E-school  di  Arrigo Amadori

Tutorial di matematica

Funzioni reali notevoli : seno, coseno, tangente (5' parte)

13 - Approfondimenti sulla descrizione matematica di un'onda trasversale.

Tutte le informazioni fisiche relative ad un'onda trasversale, nel caso più semplice un'onda sinusoidale, sono riassunte nella seguente formula matematica, di cui ci vogliamo occupare approfonditamente in questa pagina, che per questo rappresenta e descrive l'onda stessa. 

Si ricordi che un'onda trasversale è un'onda generata da una "entità" oscillante trasversalmente alla direzione di propagazione. Onde di questo tipo sono le onde che si formano sulla superficie di un fluido (onde del mare), le onde elettromagnetiche  (in particolare la luce), ecc. Si ricordi anche che le onde sonore non sono trasversali, ma sono longitudinali in quanto oscillano lungo la direzione di propagazione (sono vibrazioni di molecole che si propagano da molecola a molecola). 

Un'onda sinusoidale trasversale è descritta dalla formula :

        .

Questa formula è di fondamentale importanza e contiene in sé tutte le informazioni fisiche che caratterizzano l'onda stessa. Vediamo di approfondire il significato di questa formula e le sue proprietà più importanti.

Innanzitutto il significato delle costanti che essa contiene :

            è l'ampiezza dell'onda

            è la pulsazione dell'onda ed è analoga alla velocità angolare di un moto circolare

             è la velocità dell'onda.

Il significato di queste costanti sarà chiarito in seguito. 

Occorre però qui subito ricordare le formule fondamentali che sono legate a    . 

Come è noto, si ha :

          dove    è il periodo dell'onda

          è la frequenza dell'onda per cui si ha anche    (   è la lettera greca "ni").

Infine, si ha la formula fondamentale che lega lunghezza d'onda, frequenza e velocità dell'onda :

        .

Passiamo ora all'analisi della formula che descrive un'onda, cioè :

        . 

Come si vede subito, in essa (a parte le costanti definite sopra) sono presenti due variabili indipendenti

        il tempo    e lo spazio

Un'onda è quindi un fenomeno spaziotemporale !!!

Possiamo allora studiare l'onda fissando un istante di tempo e vedendo come essa si "sviluppa" nello spazio, oppure fissando un punto dello spazio e vedendo come l'onda si "sviluppa" nel tempo

        1) l'onda all'istante di tempo prefissato   

In questo caso, è come se "fotografassimo" un'onda marina in un dato istante. 

Sostituendo, tenendo anche presente che  , otteniamo :

        .

Cioè, riassumendo, abbiamo :

        ,

che è una funzione della variabile indipendente  , perché le altre lettere presenti sono tutte costanti date.

Il grafico di questa funzione è il seguente :

       

Infatti, se facciamo la sostituzione  , notando che  ,  otteniamo :

        .

Analogamente per la sostituzione  . Infatti si ha :

        .

Il significato geometrico della lunghezza d'onda    è quindi chiaro !!! Esso rappresenta la distanza fra due creste consecutive, o ventri o altri punti dell'onda in corrispondenza, quando l'onda viene vista "sviluppata" nello spazio. L'analogia con le onde del mare è evidente.

Si noti che, essendo la variabile    preceduta dal segno  "-" , la sinusoide, dal punto  verso destra, procede prima decrescendo e poi crescendo, in modo cioè opposto al normale andamento della sinusoide che presenta il segno  "+"  davanti alla  .

        2) l'onda all'istante di tempo prefissato  con  .

Supponiamo che l'istante    sia successivo all'istante . Avremo l'onda :

         

a cui corrisponde il grafico (confrontando la nuova onda con la precedente) :

       

(le due sinusoidi, la prima corrispondente a    e la seconda corrispondente a    , sono indicate chiaramente dalle frecce)

Il dato fondamentale che deduciamo osservando le due sinusoidi è che la seconda (quella corrispondente all'istante  ) si è "spostata" verso destra (verso destra, perché essendo  , sarà di conseguenza  ) rispetto alla prima (quella corrispondente a  ). 

L'onda si è propagata !!! Calcoliamo ora la velocità di questa propagazione che ci aspettiamo sia ovviamente la velocità dell'onda    presente nella formula stessa.

Il tratto percorso dall'onda sarà :

       

ed il tempo impiegato a percorrerlo :

        .

Avremo quindi che la velocità dell'onda è appunto :

        .

Ecco un esempio di propagazione di un'onda nello spazio in vari istanti di tempo in successione :

       

        3) l'onda nel punto dello spazio prefissato 

In questo caso, è come se osservassimo un'onda marina salire e scendere in un punto fisso dello spazio. 

Nel grafico seguente consideriamo un'onda che si propaga nello spazio in vari istanti di tempo in successione e concentriamo la nostra attenzione su un punto fisso    dello spazio (posto sull'asse delle ascisse). Il valore della variabile , che caratterizza l'onda, in tale punto oscilla  nel tempo fra un valore minimo ed un valore massimo pari a  ed , dove    è l'ampiezza dell'onda.

       

L'onda sarà, nel punto fisso  dello spazio, tenendo ancora presente che    :

       

ovvero :

       

essendo  .

Si tratta di una funzione della variabile indipendente  .

Il grafico di una tale sinusoide è :

       

Infatti, se facciamo la sostituzione  , tenendo presente che    e che  ,  otteniamo :

        .

Analogamente per la sostituzione  . Infatti si ha :

        .

In questo caso, la distanza fra due creste consecutive (o ventri o qualsiasi altra coppia di punti corrispondenti) è uguale al periodo  dell'onda !!! Questo fatto, di estrema importanza, sintetizza la diversità delle due sinusoidi, quella in funzione dello spazio (tenendo fisso il tempo) e quella in funzione del tempo (tenendo fisso lo spazio). 

        4) considerazioni finali

Un'onda trasversale  , in conclusione, può essere vista come due sinusoidi diverse, ciascuna esprimente certe proprietà fisiche dell'onda !!! 

Vi è infine un modo "sintetico" di visualizzare la funzione   . Quella di considerarla, essendo una funzione di due variabili indipendenti, una superficie. Il grafico di tale superficie è :

        

Lasciamo al lettore il godimento "estetico" di questa superficie e le considerazioni fisiche che da esse si possono dedurre e che sintetizzano quelle fatte sopra.

Fine.

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