E-school  di  Arrigo Amadori

Tutorial di matematica

Funzioni reali notevoli : seno, coseno, tangente (4' parte)

12 - L'interferenza dal punto di vista matematico.

Il fenomeno fisico che va sotto il nome di interferenza può essere descritto matematicamente nel seguente modo.

Consideriamo la sinusoide :

       

dove il numero non negativo    si chiama ampiezza della sinusoide.

Questa sinusoide di ampiezza   per noi qui rappresenta fisicamente un'onda (o segnale) qualsiasi. 

Per comodità abbiamo scelto una sinusoide di periodo    ma ciò che mostreremo può essere facilmente generalizzato per sinusoidi di periodo qualunque.

Il grafico di tale sinusoide è :

       

La sinusoide di equazione    che abbiamo incontrato fino ad ora rientra in questo caso più generale ponendo  , ovvero quando l'ampiezza è  1 . 

Consideriamo ora la sinusoide :

       

dove l'angolo    si chiama sfasamento. Ovviamente, lo sfasamento della precedente sinusoide    è  .

Il grafico della sinusoide sfasata è :

       

Osservando il grafico ci si rende conto del significato dello sfasamento  . Esso rappresenta di quanto la sinusoide è "traslata" rispetto a quella che passa per l'origine (la sinusoide  ).

Mostriamo, per chiarire ulteriormente, i valori della funzione nei punti indicati nel grafico. Sostituendo al posto della  , abbiamo :

         .

Riportiamo ora le due sinusoidi     in uno stesso grafico :

       

Le due sinusoidi qui presentate,   (la seconda sfasata) possono rappresentare in fisica due onde, due segnali, che potrebbero sovrapporsi, sommarsi, producendo il cosiddetto fenomeno dell'interferenza. L'interferenza si descrive allora facendo la somma delle due sinusoidi, studiando cioè la funzione :

        .

Relativamente alle sinusoidi degli esempi grafici riportati sopra, otteniamo il grafico :

       

da cui si constata che la funzione somma delle due sinusoidi è ancora una sinusoide (in colore verde) ma di diversa ampiezza e sfasamento.

Sono molto importanti i casi di  , .

Per  abbiamo :

        .

Le due sinusoidi sono coincidenti per cui la loro somma è una sinusoide dello stesso periodo ma di ampiezza doppia  . In questo caso si dice che l'interferenza è costruttiva.

Graficamente :

       

Per  abbiamo :

       

essendo  (lasciamo al lettore la dimostrazione sul cerchio trigonometrico di questo semplice fatto).

In questo caso abbiamo interferenza distruttiva ed il segnale risultante è identicamente nullo.

Graficamente :

       

Vediamo ora come può essere trattato il caso generale di interferenza per un qualsiasi sfasamento . La sovrapposizione, come sappiamo, dei due segnali è :

        .

Proviamo a supporre che questa funzione, come si può intuire dagli esempi riportati sopra, sia anch'essa una sinusoide ma di ampiezza in generale diversa da  (notiamo che, come mostrato nel caso dell'interferenza distruttiva, se l'ampiezza è nulla, una sinusoide si "schiaccia" in una retta) e sfasamento in generale diverso da 

Scriviamo allora :

       

dove    è l'ampiezza del segnale risultante dall'interferenza e    è il suo sfasamento.

Sviluppiamo i calcoli tenendo presente le formule di somma e sottrazione del seno.

Abbiamo allora :

       

cioè :

       

(abbiamo raccolto ed ordinato in modo conveniente).

Il secondo membro è uguale al terzo membro se :

       

(abbiamo uguagliato i corrispondenti coefficienti di    e di  ).

Queste due espressioni forniscono il legame fra ampiezza    e sfasamento    dei segnali che interferiscono ed ampiezza    e sfasamento    del segnale risultato dell'interferenza.

Le due espressioni possono essere opportunamente "trattate" per fornire relazioni più utili e chiare.

Per esempio, se dividiamo ambo i membri in colonna ricaviamo :

       

che semplificando dà :

       

ovvero (ribaltando rispetto all'uguale ed invertendo la divisione) :

       

cioè :

        .

Questa espressione fornisce il valore dello sfasamento    in funzione  dello sfasamento  . Esattamente si ha :

        .

Le espressioni :

       

possono essere ulteriormente "trattate". Eleviamo al quadrato tutti i membri. Otteniamo perciò :

        .

Sommiamo ora in colonna a destra e a sinistra degli uguali. Facendo questo otteniamo :

        .

Sviluppando a sinistra e raccogliendo a destra ricaviamo :

       

che fornisce :

       

essendo notoriamente  .

Continuando (e ribaltando rispetto all'uguale) abbiamo :

       

ovvero :

       

(essendo ancora  ).

L'ampiezza (non negativa) del segnale risultante    sarà infine :

       

cioè :

        .

Questa formula ci dà l'ampiezza del segnale risultante dall'interferenza in funzione dell'ampiezza     e dello sfasamento   dei segnali coinvolti nel fenomeno.

Graficamente :

       

Come è evidente dal grafico, per    e per    si ha il massimo dell'ampiezza del segnale risultante (interferenza costruttiva) mentre per    si ha il minimo dell'ampiezza del segnale risultante (interferenza distruttiva)  . 

Il massimo vale :

       

che è esattamente ciò che abbiamo già mostrato e che si ricava qui direttamente sostituendo nella formula :

       

(per    ma la stessa cosa vale per  ).

Il minimo vale invece :

        .

Tale valore si ricava da :

        .

Fine.

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