E-school di Arrigo
Amadori
Tutorial di matematica
Funzioni reali notevoli : seno, coseno, tangente (4' parte)
12 - L'interferenza dal punto di vista matematico.
Il fenomeno fisico che va sotto il nome di interferenza può essere descritto matematicamente nel seguente modo.
Consideriamo la sinusoide :
dove il numero non negativo 
si chiama ampiezza della sinusoide.
Questa sinusoide di ampiezza
per noi qui rappresenta fisicamente un'onda (o segnale)
qualsiasi.
Per comodità abbiamo scelto una sinusoide di periodo
ma ciò che
mostreremo può essere facilmente generalizzato per sinusoidi di periodo
qualunque.
Il grafico di tale sinusoide è :
La sinusoide di equazione 
che abbiamo incontrato fino ad ora rientra in questo caso più generale ponendo
, ovvero quando
l'ampiezza è 1 .
Consideriamo ora la sinusoide :
dove l'angolo 
si chiama sfasamento. Ovviamente, lo sfasamento della precedente
sinusoide 
è 
.
Il grafico della sinusoide sfasata è :
Osservando il grafico ci si rende conto del significato dello
sfasamento .
Esso rappresenta di quanto la sinusoide è "traslata" rispetto a
quella che passa per l'origine (la sinusoide
).
Mostriamo, per chiarire ulteriormente, i valori della funzione
nei punti indicati nel grafico. Sostituendo al posto della 
, abbiamo :
.
Riportiamo ora le due sinusoidi
, in uno
stesso grafico :
Le due sinusoidi qui presentate,
e (la
seconda sfasata) possono rappresentare in fisica due onde,
due segnali, che potrebbero sovrapporsi, sommarsi,
producendo il cosiddetto fenomeno dell'interferenza. L'interferenza si descrive
allora facendo la somma delle due sinusoidi, studiando cioè la funzione :
.
Relativamente alle sinusoidi degli esempi grafici riportati sopra, otteniamo il grafico :
da cui si constata che la funzione somma delle due sinusoidi è ancora una sinusoide (in colore verde) ma di diversa ampiezza e sfasamento.
Sono molto importanti i casi di
, 
.
Per
abbiamo :
.
Le due sinusoidi sono coincidenti per cui la loro somma è una
sinusoide dello stesso periodo ma di ampiezza doppia 
. In questo caso si dice che l'interferenza è costruttiva.
Graficamente :
Per
abbiamo :
essendo 
(lasciamo al lettore la dimostrazione sul cerchio trigonometrico di questo
semplice fatto).
In questo caso abbiamo interferenza distruttiva ed il segnale risultante è identicamente nullo.
Graficamente :
Vediamo ora come può essere trattato il caso generale di interferenza
per un qualsiasi sfasamento
. La sovrapposizione, come sappiamo, dei due segnali è :
.
Proviamo a supporre che questa funzione, come si può
intuire dagli esempi riportati sopra, sia anch'essa una sinusoide ma di ampiezza
in generale diversa da
(notiamo che, come mostrato nel caso dell'interferenza distruttiva, se l'ampiezza
è nulla, una sinusoide si "schiaccia" in una retta) e sfasamento
in generale diverso da
.
Scriviamo allora :
dove 
è l'ampiezza del segnale risultante dall'interferenza e 
è il suo sfasamento.
Sviluppiamo i calcoli tenendo presente le formule di somma e sottrazione del seno.
Abbiamo allora :
cioè :
(abbiamo raccolto ed ordinato in modo conveniente).
Il secondo membro è uguale al terzo membro se :
(abbiamo uguagliato i corrispondenti coefficienti di 
e di 
).
Queste due espressioni forniscono il legame fra ampiezza
e sfasamento
dei segnali che interferiscono ed ampiezza
e sfasamento
del segnale risultato dell'interferenza.
Le due espressioni possono essere opportunamente "trattate" per fornire relazioni più utili e chiare.
Per esempio, se dividiamo ambo i membri in colonna ricaviamo :
che semplificando dà :
ovvero (ribaltando rispetto all'uguale ed invertendo la divisione) :
cioè :
.
Questa espressione fornisce il valore dello sfasamento
in funzione dello sfasamento
. Esattamente si ha :
.
Le espressioni :
possono essere ulteriormente "trattate". Eleviamo al quadrato tutti i membri. Otteniamo perciò :
.
Sommiamo ora in colonna a destra e a sinistra degli uguali. Facendo questo otteniamo :
.
Sviluppando a sinistra e raccogliendo a destra ricaviamo :
che fornisce :
essendo notoriamente 
.
Continuando (e ribaltando rispetto all'uguale) abbiamo :
ovvero :
(essendo ancora 
).
L'ampiezza (non negativa) del segnale risultante
sarà infine :
cioè :
.
Questa formula ci dà l'ampiezza del segnale risultante
dall'interferenza in funzione dell'ampiezza
e dello sfasamento dei
segnali coinvolti nel fenomeno.
Graficamente :
Come è evidente dal grafico, per
e per 
si
ha il massimo dell'ampiezza del segnale risultante (interferenza
costruttiva) mentre per
si ha il minimo dell'ampiezza del segnale risultante (interferenza
distruttiva) .
Il massimo vale :
che è esattamente ciò che abbiamo già mostrato e che si ricava qui direttamente sostituendo nella formula :
(per
ma la stessa cosa vale per
).
Il minimo vale invece :
.
Tale valore si ricava da :
.
Fine.