E-school  di  Arrigo Amadori

Tutorial di matematica

Funzioni reali notevoli : seno, coseno, tangente (3' parte)

07 - Altro esempio di risoluzione di un triangolo rettangolo.

Consideriamo il triangolo rettangolo :

       

Possiamo scrivere :

       

cioè :

        .

Approssimando il calcolo della tangente otteniamo :

        .

Con il teorema di Pitagora otteniamo infine l'ipotenusa :

        .

08 - Triangolazione.

Le formule trigonometriche relative ai triangoli rettangoli possono essere usate anche nella risoluzione dei triangoli non rettangoli. Per fare questo basta per esempio tracciare le altezze. In questo modo si ottengono evidentemente triangoli rettangoli su cui applicare le formule note.

Questo fatto trova importanti applicazioni pratiche e risulta particolarmente utile per determinare la distanza di oggetti lontani, anche in astronomia (parallasse). 

Se si conosce la lunghezza di un lato che funge da base ed i due angoli sotto i quali un oggetto lontano è "visto", il calcolo della distanza dell'oggetto dalla base è molto semplice.

Sia il triangolo (in generale non rettangolo) :

        

Siano noti gli angoli    e  e sia la base  . L'altezza  CH  divide ovviamente il triangolo  ABC  in due triangoli rettangoli. Possiamo allora scrivere :

       

da ci si ricava :

        .

Notando che  AH + BH = AB = d   si ricava :

       

che, eseguendo il minimo comune multiplo fra i denominatori, fornisce :

       

ovvero, raccogliendo la  x  ed ordinando :

       

da cui si ottiene :

          .

Lasciamo infine al lettore di ricavare anche la lunghezza dei lati  AC  e  BC .

La formula scritta sopra permette quindi di ricavare la distanza di un punto da una base data conoscendo la lunghezza della medesima e gli angoli rispetto ai quali il punto viene visto. Essa viene utilizzata nell'ingegneria civile (costruzione di case, ponti strade), nella topografia (redazione di carte e mappe), nel determinare l'altezza delle montagne (triangolazioni anche con satelliti), in astronomia (misura della distanza delle stelle dalla Terra tramite la cosiddetta parallasse che consiste nel prendere come base per esempio l'asse maggiore dell'orbita ellittica della Terra attorno al Sole) ecc. ecc. 

       

        (dimensioni e proporzioni casuali))

09 - Coefficiente angolare di una retta.

Consideriamo sul piano cartesiano la retta di equazione  e prendiamo due suoi punti, mettiamo  P  e  Q , di ascissa    e  rispettivamente (supponiamo  ). I punti suddetti avranno coordinate :

        , .

Graficamente :

       

Costruiamo ora il triangolo rettangolo  PQH  :

       

e calcoliamo le lunghezze dei segmenti  PH  e  QH . Abbiamo ovviamente :

        .

Calcoliamo ora il rapporto :

       

Abbiamo allora :

        .

Ma, d'altra parte, per le note regole trigonometriche sui triangoli rettangoli, si ha :

        ,

dove    è l'angolo , per cui, in definitiva, possiamo scrivere :

         .

Graficamente :

       

Si noti l'orientazione dell'angolo indicato dalla freccia !!!

Abbiamo così ricavato la fondamentale proprietà che :

        il coefficiente angolare di una retta è uguale alla tangente trigonometrica dell'angolo che la retta forma con il semiasse positivo delle  x  misurato in senso antiorario (in senso trigonometrico, così come definito nel cerchio trigonometrico).

Ovviamente, il rapporto   è indipendente dalla scelta dei punti  P e  Q .

In questa enunciazione, per esigenza di generalità, abbiamo fatto esplicito riferimento alla necessità di orientare l'angolo in oggetto come si fa nel cerchio trigonometrico. In effetti, è come se vi fosse un cerchio trigonometrico implicito con centro nel punto  P :

       

Se la retta fosse decrescente, avremmo, come ben sappiamo, un coefficiente angolare negativo. Infatti, in questo caso, la tangente di un angolo ottuso (compreso fra un angolo retto ed un angolo piatto) è negativa. Ecco perché si orienta l'angolo    in senso trigonometrico.

Graficamente :

       

La proprietà presentata in questo paragrafo è fra le più importanti in assoluto di tutta la matematica perché, come vedremo, è legata alla pendenza (derivata) di una curva.

10 - Esercizio sulla determinazione dell'angolo fra due rette.

Consideriamo le rette di equazione    e  . Calcolare l'angolo che esse formano incontrandosi. Graficamente :

       

L'angolo fra le due rette è    e vale :

       

essendo    l'angolo che la retta    forma con il semiasse positivo delle  x  in senso antiorario e    l'angolo che la retta    (di maggiore pendenza) forma con il medesimo semiasse.

Ovviamente, gli angoli fra due rette incidenti sono quattro, uguali a due a due (opposti al vertice) e tali da formare un angolo giro. Essendo tali angoli "legati" fra loro, basterà trovarne uno. Noi abbiamo scelto l'angolo    indicato in figura.

A causa della proprietà del coefficiente angolare possiamo scrivere :

        .

Ricaviamo quindi in radianti (approssimando con l'uso di un calcolatore) :

        .

Di conseguenza troviamo :

        

che è l'angolo cercato naturalmente espresso in radianti.

11 - Esercizio di risoluzione di un triangolo sul piano cartesiano.

Dati sul piano cartesiano i punti  A(1 , 1) , B(2 , 3) , C(4 , 2) , determinare le lunghezze dei lati del triangolo  ABC  e le ampiezze dei suoi angoli.

       Risoluzione.

Riportiamo i punti sul piano cartesiano :

       

Calcoliamo direttamente le lunghezze dei lati del triangolo  ABC . Per il teorema di Pitagora abbiamo :

        .

Siccome verifichiamo che  AB = BC , il triangolo  ABC  è isoscele

Si verifica anche che :

        .

Infatti abbiamo :

        .

Ma la formula    (teorema di Pitagora) è verificata solo se il triangolo  ABC  è rettangolo in  B per cui abbiamo dimostrato anche che l'angolo in  B  è retto, cioè :

        .

Di conseguenza, siccome la somma degli angoli interni di un triangolo è  , avremo che :

        .

Il triangolo  ABC  è quindi un triangolo rettangolo isoscele.

La dimostrazione fin qui riportata è alquanto banale data la "semplicità" della figura.

Ridimostriamo i dati appena ricavati con l'uso della trigonometria. Per fare questo, per comodità, scriveremo direttamente sul grafico.

Abbiamo allora :

        

I valori degli angoli indicati in figura li abbiamo ricavati applicando il noto teorema della tangente di un angolo (non retto) di un triangolo rettangolo.

L'angolo    l'abbiamo ricavato ricordando che la somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto. Potevamo però benissimo calcolarlo direttamente come abbiamo fatto per gli altri due.

Inoltre (fatto molto importante !!) abbiamo introdotto ed usato la funzione  arctan  che si legge "arcotangente". Essa è la funzione inversa della tangente.

Il significato di  arctan  è il seguente. Se :

       

allora :

        .

Ovvero, se  y  è la tangente di  x  allora  x  è l'arco (angolo) la cui tangente è  y .

Un esempio numerico. Si sa che :

        .

Allora :

        ,

cioè    è l'arco (angolo) la cui tangente è  1 .

Sul nostro grafico, per esempio, l'angolo indicato come :

       

è l'angolo la cui tangente è  2 . Esso lo abbiamo ricavato facendo, come afferma il noto teorema, il rapporto fra i cateti di cui il primo è quello opposto all'angolo stesso (abbiamo fatto cioè  2  fratto  1 ). Esattamente :

       

dove abbiamo indicato    .

Abbiamo quindi in definitiva :

        .

Ricaviamo ora il valore esplicito in radianti (approssimato o non) di  mentre lasciamo al lettore il compito di ricavare gli altri due angoli del triangolo (con procedimento analogo). Per fare questo utilizziamo anche il cerchio trigonometrico :

       

che ci aiuta a meglio visualizzare l'angolo cercato.

Ricordando che :

        ,

possiamo scrivere :

       

dato che ovviamente :

       

cioè la "tangente dell'arco la cui tangente è  x " è  x .

Abbiamo allora ricavato che :

       

per cui possiamo affermare che :

       

come già ricavato precedentemente per altra via.

Fine.

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