E-school  di  Arrigo Amadori

Tutorial di matematica

Funzioni reali notevoli : seno, coseno, tangente (2' parte)

06 - Formule trigonometriche.

La trigonometria è il capitolo della matematica che studia le relazioni algebriche fra le funzioni circolari (seno, coseno e tangente) con particolare riferimento al cerchio trigonometrico ed ai triangoli.

Iniziamo a presentare qui le principali formule trigonometriche.

        - 1 -    la relazione fra seno, coseno e tangente

Si tratta della già nota formula :

       

che definisce la tangente.

        - 2 -    la "relazione pitagorica"   

La prima fondamentale relazione trigonometrica si ricava direttamente applicando il teorema di Pitagora.

Osservando il cerchio trigonometrico :

        , 

dalle definizioni di seno e coseno, applicando il teorema di Pitagora, possiamo scrivere :

        

da cui :

         

dove la scrittura    significa "il quadrato del seno di alfa"  ovvero "il seno di alfa al quadrato" , cioè  , così come la scrittura    significa "il quadrato del coseno di alfa"  ovvero "il coseno di alfa al quadrato" , cioè  .

La relazione così trovata, che discende direttamente dal teorema di Pitagora, è di fondamentale importanza perché "lega" i valori di seno e coseno di uno stesso angolo.

Per esempio, se sappiamo che il seno di un angolo è     , siamo in grado di ricavare direttamente il valore del coseno di quell'angolo. 

Se cioè abbiamo :

          

possiamo scrivere :

       

da cui si ricava :

       

ovvero :

        .

Si noti che si ottengono due valori del coseno. Infatti, graficamente :

       

Gli angoli del "primo giro", cioè compresi fra  0  e  , che hanno il seno uguale a    sono in effetti due , l'angolo    e l'angolo  indicati nel grafico, per cui abbiamo due valori del coseno uguali in modulo ma contrari di segno.

        - 3 -    seno, coseno, tangente dell'angolo   

Dal cerchio trigonometrico :

       

si nota facilmente che il triangolo  OHP  è rettangolo isoscele per cui il seno ed il coseno di    sono uguali. Per il teorema di Pitagora, possiamo allora scrivere :

       

dove con  x  abbiamo indicato sia il seno che il coseno di  .

Abbiamo allora :

       

cioè :

       

ovvero :

        .

Dei due valori scegliamo il positivo perché seno e coseno di  sono entrambi positivi. Poniamo anche :

        .

Otteniamo allora :

       

essendo la tangente il rapporto fra seno e coseno (qui valori uguali).

Il fatto che la tangente di     sia  1  risulta evidente dalla semplice osservazione del cerchio trigonometrico.

       - 4 -    seno, coseno, tangente dell'angolo   

Dal cerchio trigonometrico :

        ,

su cui abbiamo costruito per comodità il triangolo equilatero  OPP'  , si nota facilmente che :

          . 

Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo  OHP  si ricava che :

        .

Si ottiene allora immediatamente che :

        .

Il risultato ottenuto per la tangente dipende dal fatto che :

        .

        - 5 -     seno, coseno, tangente dell'angolo   

Dal cerchio trigonometrico :

        ,

su cui abbiamo costruito per comodità il triangolo equilatero  OPP'  , si nota facilmente che :

       

e quindi (applicando il teorema di Pitagora come nel caso precedente) :

        .

Abbiamo perciò :

       

Si noti che i valori di seno e coseno sono "invertiti" rispetto al caso precedente.

        - 6 -    somma e sottrazione.

                   Siano    e    due angoli. Si vuole ricavare il seno, il coseno e la tangente dell'angolo somma  e dell'angolo sottrazione    in funzione di seno, coseno e tangente degli angoli dati. 

                   Esempio di somma :

                           

                   e di sottrazione :

                           

                    (si presti sempre molta attenzione all'orientazione degli angoli (indicata della frecce) : orientazione in senso antioraria, angoli positivi, orientazione in senso orario, angoli negativi)

                   Le formule del seno, coseno e tangente degli angoli    e    in funzione di seno, coseno e tangente degli angoli dati     e    le riportiamo senza dimostrazione. Esse sono :

                            .

                   Si noti l'uso dei simboli    e  .

                   Occorre subito notare che il seno della somma di due angoli non è, come si potrebbe erroneamente pensare, uguale alla somma dei seni dei due angoli (la stessa cosa per il coseno e la tangente). Per esempio :

                           

                   infatti :

                           

                   mentre :

                           

                   e ovviamente :

                            .

                   Questo fatto è di grande importanza e si esprime dicendo che le funzioni trigonometriche non sono lineari

                   Un esempio di applicazione delle formule di somma e sottrazione :

                            .

                   Infatti, come verifica, abbiamo :

                            .

                   Un altro esempio :

                              .

                   Lasciamo al lettore la visualizzazione grafica di questi risultati sul cerchio trigonometrico.

        - 7 -    Duplicazione.

                   Le formule trigonometriche che esprimono seno, coseno e tangente dell'angolo doppio di un angolo dato sono di immediata derivazione dalle formule per la somma. Abbiamo :

                           

                   dove il simbolo    significa    significa    e     significa  .

                   Le formule appena scritte si ricavano dalle formule trigonometriche della somma semplicemente ponendo    . Infatti :

                             

                   ed analogamente per coseno e tangente.

        - 8 -    Triangoli rettangoli.

                   La trigonometria applicata ai triangoli rettangoli assume un ruolo molto importante. Consideriamo il triangolo rettangolo :

                            

                   Si noti che, per comodità d'uso, abbiamo indicato con    l'angolo in  A  , con    l'angolo in  B (che è qui l'angolo retto) e con  l'angolo in  C . Inoltre, il cateto  a  è quello opposto all'angolo  , il cateto  c  è quello opposto all'angolo  e l'ipotenusa  b  è opposta all'angolo retto 

                   Consideriamo ora il triangolo  A'B'C'  costruito sul cerchio trigonometrico ed avente gli stessi angoli del il triangolo  ABC  disegnato sopra. 

                           

                   I due triangoli  ABC  e  A'B'C'  sono simili (stessi angoli, quindi stessa "forma") per cui hanno i lati in proporzione. Possiamo perciò scrivere :

                             .

                   La spiegazione di queste formule è immediata. Basta considerare la proporzione :

                            AB : A'B' = BC : B'C' = AC : A'C'

                   tenendo presente che  A'C' = 1.

                   Le formule relative alle tangenti si ricavano direttamente dividendo seno e coseno.

                   Queste formule sono di grande importanza. Esse possono essere riassunte "a parole" nel seguente modo :

                            -    un cateto è uguale all'ipotenusa moltiplicata per il seno dell'angolo opposto o per il coseno dell'angolo adiacente (al cateto stesso, non considerando l'angolo retto)

                            -    il rapporto fra due cateti è uguale alla tangente dell'angolo opposto al primo

                   Fra le varie applicazioni di queste formule, ricordiamo che esse possono essere utilizzate per risolvere un triangolo rettangolo, cioè per ricavare lati ed angoli partendo da alcuni dati noti. 

                   Per esempio, consideriamo il triangolo rettangolo di cui conosciamo  a = 2  e  c = 3 :

                           

                            (proporzioni grafiche fra cateti non rispettate)

                   L'ipotenusa  b  è ricavabile direttamente con il teorema di Pitagora. Si ha quindi :

                              .

                   Per ricavare gli angoli     e    possiamo scrivere :

                           

                   da cui :

                            .

                   Si tratta di due equazioni trigonometriche (le incognite sono angoli "dentro" funzioni trigonometriche !!!) la cui soluzione esatta è possibile solo in pochissimi casi. Si ricorre allora all'uso di metodi di approssimazione grafica o numerica, questi ultimi tramite calcolatrici o computers. 

                   Nel nostro caso ricaviamo :

                            .

                   Come verifica del risultato possiamo notare che    come è giusto che sia (la somma degli angoli interni di un triangolo vale un angolo piatto e    è retto).

                   Un esempio di equazione trigonometrica risolubile esattamente è    che fornisce evidentemente  (come soluzione compresa fra    0  e  ).

Fine.

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