E-school  di  Arrigo Amadori

Tutorial di matematica

Funzioni reali notevoli : seno, coseno, tangente (1' parte)


01 - Misura degli angoli in radianti.

Gli angoli possono essere misurati in vari modi. La misura più comune, quella in gradi sessagesimali, di origini 
storiche antichissime, ha lo svantaggio di essere poco "maneggiabile" nei calcoli.

In matematica, allora, si preferisce la misura in radianti, che fornisce numeri reali in rappresentazione decimale

La parola radiante è sinonimo di raggio. In sintesi, per misurare un angolo in radianti si va a "vedere" quante volte 
il raggio è contenuto nell'arco sotteso all'angolo, ovvero si prende una circonferenza qualunque concentrica 
con l'angolo e si fa il rapporto fra l'arco che si ottiene (corrispondente all'angolo che si vuole misurare) ed il raggio 
della circonferenza. Cioè :

        .

Graficamente :

       

Si noti il fatto fondamentale che tale rapporto non cambia se si sceglie un'altra circonferenza !!! Se, per esempio, 
si raddoppia il raggio, anche l'arco raddoppia di conseguenza per cui il rapporto (la misura in radianti dell'angolo), 
non cambia.

       

Un angolo che misura un radiante è quindi quell'angolo che corrisponde ad un arco lungo quanto un raggio :

       

Vediamo alcune misure in radianti di angoli particolari :

       

       

       

02 - Cerchio trigonometrico.

Per rappresentare gli angoli conviene utilizzare il cerchio trigonometrico. Si tratta di un cerchio di raggio unitario 
centrato in un sistema di assi cartesiani ortogonali sul quale vengono disegnati gli angoli con la convenzione di 
fare sempre coincidere un lato dell'angolo con il semiasse positivo delle ascisse. Gli angoli così rappresentatiti 
vengono misurati in radianti dando loro un valore positivo se percorsi in senso antiorario a partire dal semiasse 
positivo delle ascisse o un valore negativo se percorsi in senso orario.

Esempi di angoli positivi :

       

       

       

Esempi di angoli negativi :

        

       

Un angolo, sul cerchio trigonometrico, può superare in senso positivo o negativo un angolo giro. Per esempio :

       

In questo modo abbiamo raggiunto il risultato molto importante di potere rappresentare sul cerchio trigonometrico 
angoli da meno infinito a più infinito, cioè rappresentati da qualsiasi numero reale. Possiamo allora scrivere 
per un qualunque angolo  x :

        .

03 - Seno.

Definiamo il seno di un angolo. Dato l'angolo  x  sul cerchio trigonometrico, il suo seno è l'ordinata del punto 
d'incontro  P  che il lato libero dell'angolo ha con il cerchio trigonometrico. 

Tale valore si indica con il simbolo :

       

(oppure  sen x  ).

Graficamente :

       

E' quindi chiaro che il seno di un angolo è uguale alla lunghezza del segmento verticale  PH  dotata del segno 
positivo se il punto  P  si trova nel  I  o  II  quadrante, dotata del segno negativo se il punto  P  si trova nel  
III  o  IV  quadrante (se   P  giace sull'asse della ascisse il  seno  è nullo).

Per esempio, il seno del seguente angolo è negativo :

       

Al variare dell'angolo  x  il seno cambia di conseguenza. Possiamo affermare allora che    è una funzione della 
variabile indipendente   x  , cioè possiamo scrivere :

        .

Il grafico della funzione  seno  si chiama sinusoide e risulta :

       

Si noti la periodicità della funzione  seno . Dopo un angolo giro  ( ) il seno ricomincia a "fornire" gli stessi 
valori. Si dice allora che la funzione    ha periodicità  .

04 - Coseno.

Definiamo il coseno di un angolo. Dato l'angolo  x  sul cerchio trigonometrico, il suo coseno è l'ascissa del punto 
d'incontro  P  che il lato libero dell'angolo ha con il cerchio trigonometrico. 

Tale valore si indica con il simbolo :

        .

Graficamente :

       

E' quindi chiaro che il coseno di un angolo è uguale alla lunghezza del segmento orizzontale  OH  dotata del segno 
positivo se il punto  P  si trova nel  I  o  IV  quadrante, dotata del segno negativo se il punto  P  si trova nel  
II  o  III  quadrante (se   P  giace sull'asse della ordinate il  coseno  è nullo).

Per esempio, il coseno del seguente angolo è negativo :

       

Al variare dell'angolo  x  il coseno cambia di conseguenza. Possiamo affermare allora che    è una funzione della 
variabile indipendente   x  , cioè possiamo scrivere :

        .

Il grafico della funzione  coseno  si chiama cosinusoide e risulta :

       

Si noti la periodicità della funzione  coseno . Dopo un angolo giro  ( ) il coseno ricomincia a "fornire" gli stessi 
valori. Si dice allora che la funzione    ha periodicità  .

05 - Tangente.

La tangente (trigonometrica) di una angolo è definita come il rapporto fra seno e coseno. Abbiamo perciò :

         

dove il simbolo    indica appunto la tangente di un angolo che, per non generare ambiguità (la stessa parola 
"tangente" indica anche la retta tangente ad una curva), viene detta tangente trigonometrica.

La costruzione della tangente di un angolo sul cerchio trigonometrico avviene tramite la retta tangente (da 
cui il nome) così come indicato nel grafico :

       

La definizione di  tangente  come rapporto di  seno  e  coseno  risulta chiara dal seguente grafico :

       

Siccome i triangoli  OHP  e  OKQ  sono simili (hanno la stessa "forma"), posiamo affermare che :

          

che giustifica appunto la definizione di  tangente trigonometrica.

Gli angoli del  I  e  III  quadrante hanno tangente positiva. Gli angoli del  II  e  IV  quadrante hanno tangente 
negativa (se   P  giace sull'asse della ascisse la  tangente  è nulla). 

Alcuni esempi :

       

La  tangente trigonometrica  gode di una importantissima proprietà. Essa non esiste quando l'angolo è pari a  
  o a  (in generale per tutti gli altri angoli il cui lato libero è coincidente con l'asse delle ordinate). 

Graficamente :

        

Questo dipende dal fatto che per tali angoli il lato libero, coincidente con l'asse delle ordinate, è parallelo alla retta 
tangente al cerchio trigonometrico per cui non si hanno punti d'incontro. E' importante notare il comportamento della 
tangente trigonometrica quando l'angolo si avvicina a     e a  . In questi casi i valori della tangente divergono,
ovvero crescono positivamente o negativamente tendendo all'infinito.

Infatti :

       

       

Al variare dell'angolo  x  la tangente cambia di conseguenza. Possiamo affermare allora che    è una funzione della 
variabile indipendente   x  , cioè possiamo scrivere :

        .

Il grafico della funzione  tangente  si chiama  tangentoide  e risulta :

       

Si noti la periodicità della funzione  tangente . Dopo un angolo piatto ( ) la tangente ricomincia a "fornire" gli stessi 
valori. Si dice allora che la funzione    ha periodicità  .

Si noti anche l'andamento asintotico della tangentoide nella prossimità dei valori dove non esiste (   ,  ecc.),
comportamento che fa sì che la curva diverga positivamente e negativamente come mostrato dal grafico.

Fine.

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