Tutorial di matematica
Funzioni reali notevoli : la retta
La funzione polinomiale di primo grado è di estrema importanza per tutta la matematica. Il suo
studio è quindi basilare.
La caratteristica principale della funzione polinomiale di primo grado è che il suo grafico, in un
sistema di coordinate cartesiane ortogonali, è una retta.
01 - La funzione polinomio di primo grado rappresenta una retta.
La funzione più semplice (fra quelle esprimibili con formule matematiche) è sicuramente il polinomio
di primo grado nella variabile indipendente x :
dove m e p sono due numeri reali (detti anche parametri) dati a priori e non variabili.
Per esempio, se m = 2 e p = 1 , avremo :
y = 2x + 1 .
Proviamo ora a disegnare il grafico di questa funzione per punti usufruendo dello schema :
in cui i valori della y sono ottenuti sostituendo alla x i valori di comodo indicati a sinistra.
Se poniamo i punti così ottenuti sul piano cartesiano otteniamo una retta :
(anche i punti intermedi ai punti individuati dallo schema appartengono alla retta !!).
E' semplice intuire che ogni funzione polinomio di primo grado ha per grafico una retta.
Si dice allora che la funzione
,
il cui grafico è una retta, è l'equazione della retta stessa.Vediamo ora il significato geometrico dei parametri m e p .
Consideriamo la retta "generica" (di equazione)
dove, come al solito, m e p sono parametri prefissati. Proveremo a disegnarla in maniera altrettanto generica, senza dare valori
particolari ai parametri m e p . Per fare questo, siccome una retta è individuata da soli due
punti, diamo alla x i due valori "semplici" 0 ed 1 e li sostituiamo per ricavare la y . Otteniamo
allora le coppie ordinate indicate nello schema :
che, riportate su piano, ci forniscono :
dove abbiamo indicato con A il punto (0 , p) e con B il punto (1 , m + p) .
Abbiamo, cosa molto importante, anche tracciato la perpendicolare da A (così come indicato in figura)
ottenendo il punto H e di conseguenza il triangolo AHB rettangolo in H .
La prima cosa che si nota osservando il grafico è che il parametro p rappresenta l'ordinata del punto
della retta di ascissa 0 . Per questo motivo il parametro p viene detto ordinata all'origine della retta.
Il significato di m è un po' meno immediato ma di grande importanza. Se consideriamo il rapporto
fra il cateto BH ed il cateto AH , notiamo che esso vale m (essendo BH = m ed AH = 1 ). Tale
rapporto rappresenta la pendenza della retta (la pendenza indicata nei cartelli stradali è calcolata nello
stesso modo !!). Maggiore è il valore di m , maggiore è la pendenza della retta. Nell'esempio la pendenza
è positiva e corrisponde ad un m positivo.
Il parametro m è legato quindi all'angolo α indicato in figura :
per questo motivo, esso è chiamato coefficiente angolare della retta.
Il procedimento qui indicato per mostrare il significato geometrico di m e p , può essere utilizzato
per disegnare "velocemente" una retta. Data l'equazione di una retta, si pone subito sul grafico
l'ordinata all'origine, quindi si "avanza" di 1 a destra e si "sale" di un valore pari ad m . Così
si sono determinati due punti per cui tracciare la retta.
Occorre subito notare che se m fosse negativo, invece di "salire" si dovrà "scendere" ed in questo
caso la pendenza sarebbe negativa. Per esempio :
Se m vale 0 la pendenza è nulla e la retta è parallela all'asse delle x . In questo caso l'equazione
della retta si riduce a :
y = p .
Graficamente :
Cosa succede se l'angolo α è un angolo retto ? In questo caso la pendenza è infinita ed m ,
dato dal rapporto fra il cateto verticale e quello orizzontale (non essendoci più nessun cateto) non
può essere fatto, non assume alcun valore reale.
La cosa potrebbe essere vista come passaggio al limite partendo da una certa pendenza ed
aumentandola progressivamente. Si vede così che il parametro m tende all'infinito. Per questo
motivo si dice che la pendenza è infinita :
Il rapporto fra i cateti BH , B'H , B''H ecc. ed il cateto AH , che vale 1 , tende quindi all'infinito.
Abbiamo così scoperto che non tutte le rette del piano sono rappresentabili da una funzione del tipo
. Le rette di
equazione x = k :
dove k è un numero reale qualunque, sono rette parallele all'asse delle y . Queste rette sono
formate dai soli punti di ascissa x = k . Queste rette non rappresentano neppure una funzione
perché una funzione, per essere tale, deve avere una sola immagine per ogni valore di x . In questo
caso, per il solo valore x = k corrispondono infiniti valori di y !!
Riassumendo, al variare di m si hanno tutte le rette del piano :
eccetto quelle parallele all'asse delle y di equazione x = k .
02 - Esempi di rette.
La funzione :
rappresenta tutte le rette del piano con eccezione delle rette verticali (parallele all'asse
delle y ). Tali rette verticali non possono essere il grafico di alcuna funzione e sono descritte
dall'equazione :
x = k
dove k è un numero reale qualunque.
Diamo qui alcuni esempi di rette del piano :
- 1 -
L'ordinata all'origine è p = -1 ed il coefficiente angolare è m = 2 per cui :
Si noti che la pendenza della retta è positiva.
- 2 -
L'ordinata all'origine è p = 1 ed il coefficiente angolare è m = -1/3 per cui :
Si noti che la pendenza della retta è negativa.
- 3 -
L'ordinata all'origine è p = 0 (infatti è come fosse scritto
) ed il coefficiente angolare è m = -1/4 per cui :
La pendenza della retta in questo caso è negativa. Si noti anche il fatto molto importante
che se una retta è priva di ordinata all'origine, ovvero si ha p = 0 , essa passa per
l'origine.
- 4 - y = x
L'ordinata all'origine è p = 0 ed il coefficiente angolare è m = 1 (è come fosse scritto
y = 1·x + 0) per cui :
Si noti che la retta ha pendenza positiva, passa per l'origine ed è bisettrice del I e III
quadrante (i quadranti si contano in senso antiorario a partire da quello corrispondente
ai semiassi positivi del sistema di assi cartesiani).
- 5 - y = -x
L'ordinata all'origine è p = 0 ed il coefficiente angolare è m = -1 per cui :
Si noti che la retta ha pendenza negativa, passa per l'origine ed è bisettrice del II e IV
quadrante.
- 6 - rette y = 2 ; y = -1 ; y = 0
Si tratta di rette con coefficiente angolare nullo ( m = 0 , perché sarebbe come scrivere
y = 0·x + 2 ; y = 0·x - 1 ; y = 0·x + 0 ) ed ordinata all'origine p = 2 ; p = -1 ; p = 0
rispettivamente per cui (in un solo grafico) :
Si noti che sono tutte rette con pendenza nulla e perciò parallele all'asse delle x . Si
noti anche che la funzione y = 0 corrisponde all'asse delle x .
Le rette di equazione y = k (dove k è un numero reale qualunque) sono tutte rette
parallele all'asse delle x . Tali rette possono essere viste anche come quegli insiemi
di punti del piano che hanno tutti la stessa ordinata k .
- 7 - rette x = -2 ; x = 0 ; x = 3
Si tratta di rette non rappresentabili dall'equazione
ma che, data la loro importanza, trattiamo ugualmente come rette di equazione x = k (dove k è un numero
reale qualunque). I loro grafici sono :
Si noti che sono tutte rette con pendenza infinita e perciò parallele all'asse delle y . Si
noti anche che l'equazione x = 0 corrisponde all'asse delle y .
Le rette di equazione x = k (dove k è un numero reale qualunque) sono tutte rette
parallele all'asse delle y . Tali rette possono essere viste anche come quegli insiemi di
punti che hanno tutti la stessa ascissa k .
03 - Rette passanti per un punto.
Consideriamo il punto Q del piano cartesiano le cui coordinate sono
e chiediamoci quante rette passano per esso. La risposta è (ovviamente) : infinite.
Quale sarà allora l'equazione di una generica retta passante per il punto
? Proponiamoci di trovare una formula che valga per tutte le rette passanti per Q .
Partiamo dalla nota equazione di una qualsiasi retta del piano (con esclusione delle rette verticali) :
dove m è il coefficiente angolare e p l'ordinata all'origine della retta (le rette verticali, non
descritte dalla suddetta equazione, verranno trattate a parte).
Una tale retta del piano può passare o non dal punto Q :
Per esempio, le rette r ed s non passano per Q mentre la retta t vi passa.
Quand'è (algebricamente parlando) che una generica retta del piano
passa per il punto
? La
risposta è molto semplice e di fondamentale importanza :una retta passa per un punto o, che è la stessa cosa, un punto giace su una retta, se
le coordinate di quel punto soddisfano l'equazione della retta (e viceversa).
L'importanza di questa affermazione è capitale perché essa è estendibile a qualunque tipo di
curva (non solo alle rette) per cui ritorneremo moltissime volte su questo concetto.
Sostituendo i valori
nell'equazione della retta generica
otteniamo allora :
.D'altra parte, se il punto Q non stesse sulla retta, sostituendo nella equazione della retta x con
non potremmo ottenere
:
Nell'esempio grafico, sostituendo nella x dell'equazione della retta r il valore
otteniamo 
,mentre per la retta s otteniamo
(che qui sono diversi da
).Dalla relazione
trovata sopra imponendo il passaggio della retta generica per il punto Q possiamo ricavare la p :
che possiamo poi sostituire nell'equazione
(poniamo 
al posto della p ) ottenendo :
.Portando entrambe le y a sinistra dell'uguale si ottiene :
ed, infine, raccogliendo la m , si perviene a :
.Questa è l'equazione cercata. Essa rappresenta l'equazione di una retta qualunque passante per il
punto
(con l'eccezione della retta verticale).Che dire della (unica) retta verticale passante per Q ?
Essa avrà equazione :
.Facciamo ora un esempio.
Consideriamo il punto
. L'equazione di una generica retta passante per Q sarà allora :
ovvero, semplificando l'espressione :
.Graficamente :
dove abbiamo tracciato una retta a caso passante per Q .
Occorre sottolineare che nell'equazione
della generica retta passante per un punto, oltre alle coordinate del punto stesso è presente il coefficiente angolare m della retta in
maniera non definita. Questo sta a significare che, fissato un punto, le rette che vi passano si
distinguono per la pendenza, ovvero per il coefficiente angolare (legato all'angolo che la retta
compie con l'asse delle x ).
04 - Verifica dell'esattezza dell'equazione di una retta passante per un dato punto.
L'equazione della retta generica passante per il punto
è :
.Una verifica diretta dell'esattezza di questa equazione la possiamo ottenere applicando il principio
generale sopra esposto secondo il quale una retta passa per un punto se le sue coordinate soddisfano
l'equazione della retta.
Perché la retta
passi per il punto
deve succedere che le coordinate di Q , sostituite nell'equazione della retta, la soddisfino. Soddisfare una equazione significa che ciò
che è scritto alla sinistra dell'uguale è esattamente uguale a ciò che è scritto alla destra dell'uguale.
Proviamo allora a sostituire
nella x ed
nella y . Otterremo allora :
ovvero :
cioè :
0 = 0 .
Ecco che allora l'equazione è soddisfatta. Ciò significa che la retta
passa per il punto
.05 - Retta passante per due punti.
Dati due punti distinti dello spazio (ed in particolare del piano) per essi passa una sola retta.
Questa è una nota ed importante affermazione della geometria euclidea. Proponiamoci di trovane
l'equazione di questa retta.
Siano dati allora i punti
e 
del
piano cartesiano :
e sia r la retta (unica) passante per essi :
Per trovare l'equazione della retta r si può procedere nel seguente modo :
- 1 - si prende l'equazione della retta generica che passa per P :
e che vale :
.- 2 - si obbliga tale retta a passare anche per Q . Per fare questo basta imporre che le
coordinate di Q soddisfino l'equazione della retta scritta sopra. Basta cioè che sia :
(abbiamo utilizzato il fondamentale principio, estendibile a qualunque tipo di curva,
secondo il quale un punto sta su di una retta se le sue coordinante soddisfano
l'equazione della retta) .
- 3 - si ricava il coefficiente angolare m ottenendo :
(per fare questo abbiamo diviso ambo i membri dell'uguaglianza per
).- 4 - si sostituisce il valore di m così trovato nell'equazione
ottenendo :
.- 5 - per scrivere la formula in un modo più consono si dividono ambo i membri per
prevenendo così alla formula :
.Questa è l'equazione cercata : l'equazione della retta passante per due punti.
Essa, come è giusto che sia essendo la retta da essa rappresentata unica, non contiene nessun
parametro indeterminato (altra lettera che rappresenta un numero che può variare), ma è
funzione delle sole coordinate dei punti P e Q , punti che sono dati a priori come conosciuti.
Si noti la simmetria e l' "eleganza" di questa formula che converrà imparare a memoria (data la sua
semplicità) perché la useremo moltissime volte così come useremo continuamente l'equazione della
retta generica e quella della retta passante per un punto.
Riassumendo, l'equazione della retta generica del piano (escludendo le rette verticali) è :
,l'equazione della retta generica passante per il punto
è : 
,l'equazione della retta passante per i due punti
e 
è :
.Come esempio di applicazione di quest'ultima formula ci riferiamo ad un problema molto comune
di fisica (specificatamente di cinematica).
06 - Esempio di retta passante per due punti in fisica.
Consideriamo un corpo in moto rettilineo uniforme. Supponiamo che al tempo t = 1 il corpo
si trovi nello spazio s = 2 e poi al tempo t = 3 si trovi nello spazio s = 7 (i tempi siano misurati
come al solito in secondi e gli spazi in metri). Graficamente :
Possiamo riportare questi dati in un diagramma tempo-spazio :
Siccome il diagramma orario di un moto rettilineo uniforme è una retta (essendo la velocità del corpo,
ovvero la pendenza del diagramma orario, costante in ogni punto) e siccome questa retta deve passare
per i punti A e B :
potremo scrivere (avendo sostituito (nella formula di riferimento della retta per due punti) s al posto
di y e t al posto di x ) :
e, sostituendo i valori numerici :
.Facendo i calcoli si ottiene :
.Moltiplichiamo ora ambo i membri per 5 e per 2 :
e semplifichiamo :
.Dividiamo ambo i membri per 2 :
e semplifichiamo :
.Sommiamo 2 ad entrambi i membri :
e semplifichiamo :
.Moltiplichiamo, distribuendo, a destra dell'uguale :
e semplifichiamo :
.Questa è l'equazione della retta e ridotta ai minimi termini.
Come verifica del risultato trovato notiamo che il coefficiente angolare è
e l'ordinata
all'origine è
e
questo corrisponde abbastanza bene col grafico (l'imprecisione sull'ordinata
all'origine dipende dal fatto che il grafico è stato disegnato a mano libera) :
07 - Esercizi sulle rette per un punto e per due punti.
- 1 - sia dato sul piano cartesiano il punto
. Trovare
l'equazione della generica rettapassante per esso.
Partendo dalla formula generale di una retta passante per un punto :
e sostituendo le coordinate di P otteniamo :
che, eseguita la moltiplicazione, diventa :
ovvero, sommando ambo i membri per -2 :
.Questa è l'equazione cercata. Essa esprime tutte le rette che passano per P eccetto,
come ben sappiamo, la retta verticale x = -1 che va considerata a parte (vedi più
avanti).
Prendiamo ora fra queste infinite rette quella che ha coefficiente angolare uguale ad 1 .
Siccome il coefficiente angolare della generica retta trovata sopra è m , la sua equazione,
sostituendo m = 1 , sarà :
con il suo grafico :
Prendiamo ora fra le infinite rette passanti per P quella con ordinata all'origine uguale a 2 .
Siccome l'ordinata all'origine della generica retta trovata sopra è p = m - 2 , scriveremo :
m - 2 = 2
da cui troviamo m = 4 . Sostituendo nell'equazione della retta generica che passa per P
avremo :
ovvero :
il cui grafico è :.
Infine si trovino la retta orizzontale passante per P e quella verticale (sempre passante per P ).
Le loro equazioni sono rispettivamente y = -2 ed x = -1 ed i loro grafici sono :
- 2 - trovare la retta passante per i punti
e 
.L'equazione della retta che passa per due punti è :
.Sostituendo in essa le coordinate di P e Q si trova direttamente :
cioè :
che si riduce, moltiplicando ambo i membri per -3 , a :
da cui si ricava (sommando 2 ad ambo i membri) :
.Questa è l'equazione della retta cercata ed il suo grafico è :
08 - Rette parallele.
Consideriamo due rette parallele sul piano cartesiano. Le loro equazioni siano :
e :
ed i loro grafici siano :
Perché queste due rette siano parallele occorre che abbiano la stessa pendenza e quindi lo stesso
coefficiente angolare :
Scriveremo allora che, se due rette sono parallele, vale la semplice uguaglianza :
.Questa affermazione vale anche all'incontrario. Se vale la relazione su scritta, allora le rette sono
parallele.
Se le rette fossero verticali, esse non sarebbero rappresentate da equazioni del tipo
, ma da equazioni del tipo :
dove k è un numero reale qualunque. Graficamente :
( k e k' sono due numeri qualunque)
In questo caso è ovvio che le rette sono sempre parallele.
Esempi di rette parallele :
e 
,
e 
.Come ulteriore esempio, consideriamo il punto
e la retta r di equazione 
. Si trovi la retta passante per il punto P e parallela alla retta r .
La generica retta passante per P ha equazione :
(abbiamo utilizzato la nota formula
della retta generica passante per un punto).Perché questa retta sia parallela alla retta data r essa deve avere il suo stesso coefficiente angolare,
cioè deve essere :
.Avremo quindi :
che è l'equazione della retta cercata (lasciamo al lettore la semplificazione della formula).
Graficamente :
09 - Rette perpendicolari.
Il caso di rette perpendicolari è molto importante ed anche esso porta ad una semplice relazione
fra i coefficienti angolari.
Fra tutte le rette perpendicolari del piano cartesiano :
ne consideriamo due , r ed s (perpendicolari fra loro), che si incontrano nel centro degli assi 0 . Le
considerazioni che faremo su queste due rette perpendicolari particolari e la formula che ricaveremo
sono estendibili a qualsiasi altra coppia di rette perpendicolari del piano cartesiano. Per comodità
consideriamo anche una circonferenza anch'essa con centro in 0 e di raggio qualsiasi :
Consideriamo ora le proiezioni ortogonali delle intersezioni delle due rette con la circonferenza come
indicato in figura :
Da grafico si vede bene che i punti P e Q hanno rispettivamente le coordinate
e 
.Le equazioni delle due rette r ed s saranno allora :
per r ed :
per s essendo i due coefficienti angolari rispettivamente
e 
e le
ordinate all'origine entrambe nulle (le rette passano per il centro 0 ).
Osservando i due coefficienti angolari notiamo che il loro prodotto è sempre uguale a -1 :
qualunque siano i valori di a e b .
Abbiamo allora trovato la regola a cui soddisfano i coefficienti angolari di due rette perpendicolari :
essi, moltiplicati fra loro, devono dare come risultato il numero -1 .
Due rette generiche del piano,
e ,
quindi, sono perpendicolari se e solo se vale la relazione :
.(l'allocuzione "se e solo se" significa che l'affermazione è valida nei due sensi, cioè, se le rette
sono perpendicolari allora vale la relazione, viceversa, se vale la relazione allora le rette sono
perpendicolari).
Nel caso in cui una delle due rette sia verticale, allora una sua perpendicolare è sicuramente
orizzontale. Nel primo caso, l'equazione della retta è
nel secondo caso è 
:
dove k e k' sono numeri reali qualsiasi.
Esempi di rette perpendicolari sono :
e 
e 
e 
.10 - Punto di intersezione fra due rette.
Consideriamo due rette distinte sul piano cartesiano. Esse, se non sono parallele, si incontrano
in un punto, detto punto di intersezione. Proponiamoci di trovare le coordinate di quel punto a
partire dalle equazioni delle due rette.
Per fare questo utilizziamo una delle proprietà fondamentali dell'analisi matematica :
un punto sta su una curva se e solo se le sue coordinate soddisfano l'equazione
della curva.
Il principio qui esposto è valido per una curva qualunque. Nel nostro caso abbiamo due rette di
equazione :
e :
che si incontrano nel punto P :
Le coordinate del punto P dovranno allora soddisfare entrambe le equazioni delle rette.
Questo significa che le coordinate
del punto P , sostituite nelle equazioni e
, devono far sì che le
uguaglianze siano verificate. Altri punti del piano, se sostituiti nelle due equazioni, non le soddisfano contemporaneamente.
Quanto affermato si esprime matematicamente col fare il sistema fra le due equazioni :
.Fare il sistema fra due equazioni in due incognite (la x e la y ) significa, in generale, trovare le
coppie di numeri
che soddisfano
entrambe le equazioni. Nel nostro caso si tratta di un sistema di primo grado (in quanto le incognite x ed y sono elevate all'esponente 1 , anche
se esso non viene scritto) per cui la soluzione
, se c'è, è una sola.Per risolvere questo sistema di primo grado si procede in maniera molto semplice. Basta uguagliare
le y , ovvero le due espressioni contenti la x . Fatto questo, di ottiene una equazione nella sola x ,
risolta la quale si trova il valore della medesima. Per ottenere la y basta sostituire il valore della x
precedentemente trovato in una delle due equazioni che formano il sistema e fare i calcoli.
Mostriamo tutto questo con un esempio.
Siano date nel piano cartesiano le due rette :
e :
.I loro grafici sono :
Per trovare le coordinate del punto di intersezione P basta risolvere il sistema :
.Per fare questo uguagliamo le y :
ottenendo così una semplice equazione di primo grado nella sola incognita x .
Portiamo ora i termini in x a sinistra dell'uguale ed i termini noti a destra. Per fare questo sommiamo
ad ambo i membri il temine 3x ed il numero 1 :
da cui, semplificando, si ottiene :
.Per ricavare la x basta dividere ambo i membri per 5 ottenendo così :
.Abbiamo in questo modo ricavato la x , cioè l'ascissa del punto di intersezione P .
Per ricavare l'ordinata y basta sostituire il valore appena trovato in una delle due equazioni, per
esempio la prima. Abbiamo allora :
.Le coordinate del punto P sono allora :
.Si noti che questo risultato è coerente con il grafico disegnato sopra. E' sempre conveniente
verificare i risultati ottenuti matematicamente con i grafici disegnati. Ciò costituisce una verifica
empirica ma efficace. Se avessimo ottenuto risultati non corrispondenti al grafico, potremmo
affermare con sicurezza che o abbiamo commesso errori nel procedimento matematico o
errori nel disegnare il grafico e quindi regolarci di conseguenza.
11 - Distanza da un punto ad una retta.
Invece di impostare il problema della determinazione della distanza da un punto ad una retta
in modo generale, così da ricavarne una formula da applicare ogni volta, riproponiamoci di
mostrarne la soluzione con un esempio particolare.
Siano dati sul piano cartesiano il punto
e la retta r di equazione
. Si trovi la distanza fra il punto P e la suddetta retta r .
La distanza dal punto P alla retta r è uguale alla lunghezza del segmento PH ottenuto tracciando
la retta s passante per P e perpendicolare alla retta r .
Il problema allora si riduce nel trovare il punto H perché, una volta conosciute le coordinate di H ,
siamo in grado di calcolare la lunghezza del segmento PH utilizzando il teorema di Pitagora
applicandolo al triangolo rettangolo PHK indicato in figura :
Per individuare il punto H basta fare l'intersezione fra la retta data r e la retta s perpendicolare
ad essa passante per P .
Della retta r già conosciamo l'equazione. Come ricavare l'equazione della retta perpendicolare s ?
Per fare questo partiamo dall'equazione della generica retta t passante per P :
che, essendo la formula della retta passante per un punto
, sostituendo le coordinate di P , risulta essere :
.La generica retta t passante per P non è in generale perpendicolare alla retta data s . Perché
la retta r e la retta t siano perpendicolari occorre che il prodotto dei loro coefficienti angolari
sia -1 . Essendo il coefficiente angolare di r pari a 2 , il coefficiente angolare di s sarà allora
(la retta generica t
quando è perpendicolare alla retta r coincide con la retta s
). Possiamo allora affermare che l'equazione della retta s è :
.Per determinare le coordinate del punto H basta fare il sistema fra l'equazione della retta r e
l'equazione della retta s . Dovremo cioè risolvere il sistema :
.Per fare questo basta sostituire semplicemente l'espressione corrispondente alla y della prima
equazione nella y della seconda.
Avremo quindi :
che rappresenta una equazione di primo grado in x risolta la quale otterremo l'ascissa del punto H .
Per risolvere l'equazione apportiamo le seguenti semplificazioni :
(abbiamo sommato ad ambo i membri 2 )
(abbiamo sommato ad ambo i membri 
)
(abbiamo moltiplicato ambo i membri per 2 )
(abbiamo diviso ambo i membri per 5 )
.Questo valore della x rappresenta l'ascissa del punto H . Per trovare l'ordinata y basta sostituire
questo valore per esempio nella prima equazione del sistema. Avremo perciò :
ovvero :
.Le coordinate di H sono quindi :
.Abbiamo ora tutti i dati per potere calcolare la lunghezza del segmento PH che rappresenta la
distanza del punto P dalla retta r .
Consideriamo per questo il triangolo rettangolo PHK (rettangolo in K ) :
Il teorema di Pitagora afferma che :
per cui, estraendo la radice quadrata, si ottiene :
.Siccome
e 
, sostituendo, possiamo scrivere :
.Eseguendo semplici calcoli otteniamo infine :
.La distanza fra il punto P e la retta r è quindi :
.Fine.
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