E-school  di  Arrigo Amadori

Tutorial di matematica

Funzioni reali notevoli : la parabola (5' parte)


19 - Esercizio su tangenza parabola - retta.

Il seguente esercizio viene risolto in due modi alternativi.

Sia la parabola di equazione    ed il punto  . Si trovino le equazioni delle tangenti 
alla parabola passanti per  P .

Soluzione 1 :

Si tratta di trovare le due rette tangenti    e    indicate nel grafico :

       

Per disegnare la parabola abbiamo ricavato il suo vertice con la nota formula    per cui 
si ricava    (ricordiamo che la scrittura    indica che dopo avere trovato  , in questo 
caso  -1 , lo si sostituisce nella  x  dell'equazione della parabola e si eseguono i calcoli, ottenendo qui  - 2).
Abbiamo ricavato anche l'ordinata all'origine  , che è il punto della parabola di ascissa  0 , ed i punti  
A  e  B  in cui la parabola interseca l'asse delle  x  che ha equazione  y = 0. Tali punti si trovano quindi 
risolvendo l'equazione  che fornisce :

       

che sono appunto le ascisse rispettivamente di  A  e  B . Per fare questo abbiamo usato la formula risolutiva 
dell'equazione generica di secondo grado :

          

che, come ben sappiamo, è :

        .

Il fatto che da punto  P  si possano mandare due rette tangenti alla parabola e non una sola o tre sarà chiaro 
più avanti.

Ricordiamo qui che una retta è secante di una curva se la incontra in due punti mentre è tangente se la 
incontra in un solo punto (si preferisce dire in due punti coincidenti). Graficamente :

       

Il perché si preferisce dire che una retta tangente incontra la curva in due punti coincidenti è illustrato dal 
seguente grafico :

       

Immaginando di muovere, ruotando, la retta secante tenendo fisso il punto  P  come indicato, si ottiene che 
l'altro punto di intersezione (in sequenza  Q', Q'', Q''', ...) tende a coincidere con  P  quando la secante diventa 
tangente. Abbiamo quindi due punti distinti che diventano due punti coincidenti (un solo punto).

Per ricavare le equazioni delle due rette tangenti, consideriamo il fascio di rette passanti per  P (fascio è 
sinonimo di insieme) : 

       

Ricordando che l'equazione di un fascio di rette passanti per un generico punto    è :

        ,

essendo  m  il coefficiente angolare (ovvero la pendenza) di una retta qualunque del fascio, otteniamo :

       

essendo le coordinate di  P  nel nostro caso  1  e  1 .

L'equazione appena trovata può essere semplificata sommando ad ambo i membri  +1 :

       

ed ottenendo perciò :

       

da cui, moltiplicando, abbiamo in fine :

        .

Questa è l'equazione di una generica retta  r  passante per  . Tale retta incontrerà la parabola in 
generale in due punti  C  e  D . La retta  r  può in particolare non incontrare per nulla la parabola o esserle 
tangente (individuare le rette tangenti è lo scopo di questo esercizio). Al variare del coefficiente angolare  m  
si hanno i vari casi appena descritti.

In generale, in geometria analitica, per ricavare le coordinate dei punti di incontro fra due curve (in questo 
caso retta e parabola) basta fare il sistema fra le loro equazioni. Scriviamo allora :

       

che risolveremo semplicemente uguagliando le  y :

       

ed ottenendo così una equazione di secondo grado in  x  contenente il parametro  m  (la lettera  m ).

L'equazione può essere resa in forma semplice portando a sinistra i termini alla destra dell'uguale. Per fare 
questo basta sommare ad ambo i membri  -mx , + m , -1 . Si ha perciò :

       

da cui :

       

cioè, raccogliendo :

         

(l'ultima coppia di parentesi è per comodità).

Risolvendo questa equazione troviamo le ascisse di  C  e  D  (i punti di incontro fra la retta generica passante 
per  P  e la parabola). Trattandosi di un'equazione di secondo grado avremo un generale due valori di  x 
(corrispondenti alle ascisse dei due punti d'incontro). Tali valori possono però non esistere (essere non reali) 
e quindi la retta non incontra la parabola o essere coincidenti (identici). E' questo il caso della tangenza !!

Basterà allora porre che le due soluzioni dell'equazione suddetta siano coincidenti, cioè, porre  ,
ovvero :

        , 

essendo    ed in questo caso     ,  ,   .

Ricordiamo che le soluzioni    dell'equazione di secondo grado  , 
introducendo il discriminante  , diventano  e quindi esse sono coincidenti se  ,
infatti,  in questo caso, si ha   che è appunto un'unica soluzione..

Semplificando    si ottiene :

       

(abbiamo elevato al quadrato il binomio usando la formula   ) e quindi :

        .

Risolvendo si ottiene infine :

        .

Per  m = 2  e per  m = 6 , allora, le rette passanti per  P  sono tangenti alla parabola. 

Abbiamo trovato "esattamente" due rette passanti per  P  tangenti alla parabola e l'abbiamo fatto usando metodi 
algebrici applicati alla geometria. Osservando il grafico, quindi col solo approccio geometrico, la deduzione di 
quante siano tali rette tangenti non è chiara, in quanto il punto  P  è vicino alla parabola e la stessa è rapidamente 
crescente. Cogliamo qui l'occasione per sottolineare la "potenza" della geometria analitica !!! 

Lasciamo al lettore la verifica grafica del risultato. Ci limitiamo a ricordare che  m  indica il coefficiente angolare 
di tali rette.

Soluzione 2 :

Si tratta di trovare le due rette tangenti    e    indicate nel grafico :

       

Per fare questo immaginiamo di disegnare le rette tangenti alla parabola nei suoi punti :

       

e di imporne il passaggio per  :

       

Si vengono così ad individuare le due rette tangenti     e    .

Dal punto di vista analitico, indichiamo con  Q  un generico punto della parabola e determiniamo la retta 
tangente alla parabola passante per esso. Imponiamo poi che tale retta passi per  P .

Se chiamiamo con    l'ascissa di  Q , la sua ordinata sarà  perché  Q  appartiene alla parabola 
e quindi le sue coordinate devono soddisfare l'equazione della parabola. Il punto  Q  sarà allora :

       

ovvero, geometricamente, chiamando con  t  la retta tangente alla parabola in  Q :

       

L'equazione di una generica retta  r  passante per  Q :

       

è :

       

dove    è l'ordinata di  Q  e  m  è il coefficiente angolare della retta  r . Siccome  l'ordinata    di  Q  vale  
  possiamo sostituire e scrivere :

        .

D'altra parte, il coefficiente angolare  m  della retta tangente alla parabola in  Q  eguaglia la pendenza (derivata) 
della parabola in  Q . 

La pendenza (derivata) di una parabola generica    è, come sappiamo, .  

Nel nostro caso avremo allora che la pendenza della parabola in  Q  vale :

         

(essendo per noi  a = 1 , b = 2 , x = ).

Ponendo il coefficiente angolare  m  uguale alla pendenza della parabola in  Q  abbiamo    da 
cui ricaviamo (sostituendo in  m  nella precedente equazione ) :

        .

Questa è l'equazione (non semplificata !!) della retta tangente alla parabola in  Q  e, se la "costringiamo" a passare 
per il punto   , avremo trovato le rette tangenti     e    cercate.

Per costringerla a passare per  P  basta sostituire nella  x  e nella  y  della suddetta equazione le coordinate di  
P  che sono x = 1  e  y = 1 . Otteniamo perciò :

       

che è una equazione di secondo grado in    (l'ascissa di  Q ). Calcolando il prodotto a destra, otteniamo :

       

e, semplificando :

       

da cui :

        .

Tale equazione di secondo grado può essere risolta semplicemente raccogliendo la  :

       

da cui si ricava direttamente (un prodotto è nullo quando è nullo un suo fattore):

        e   

che rappresentano le ascisse dei punti due di tangenza  ,   cosi come si può verificare nel grafico :

       

Le pendenze delle rette tangenti      e    saranno allora :

       

e :

         

(abbiamo sostituiti  0  e  2  nella formula    che dà il coefficiente angolare (= pendenza) della 
retta tangente alla parabola nel punto  Q  ).

I valori     e    (uguali a quelli trovati con il precedente procedimento) rappresentano quindi i 
coefficienti angolari delle rette tangenti     e     alla parabola passanti per  P :

       

Questo procedimento, rispetto al precedente, è molto più "elegante" ed "intelligente" perché utilizza il concetto 
di pendenza (derivata), concetto alla base del calcolo infinitesimale differenziale.

Si noti infine che, per valori di  m  compresi fra  2  e  6 , cioè per    , le rette passanti per  P  non 
incontrano la parabola :

       

Fine.

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