E-school  di  Arrigo Amadori

Tutorial di matematica

Funzioni reali notevoli : la parabola (4' parte)


14 - Pendenza della parabola.

La pendenza di una parabola cambia punto per punto : 

       

La pendenza della parabola (dell'esempio grafico) nel punto  A  è negativa, nel punto  B  è nulla e nel 
punto  C  è positiva.

La pendenza della parabola in un punto è data dalla pendenza della retta tangente alla parabola in 
quel punto :

       

Ricordando che la pendenza di una retta, come indicato nel grafico :

        ,

è data dal rapporto  (cateto verticale / cateto orizzontale), siamo in grado di calcolare la pendenza 
di una parabola in un suo punto. Per questo, consideriamo come esempio la parabola : 

       

nel suo punto  :

        

Poiché non conosciamo l'equazione della retta tangente alla parabola in  A  , consideriamo una qualunque 
retta passante per  A  e secante la parabola :

       

Tale retta secante passerà quindi per  A  e per  B e la indicheremo per comodità  AB . 

Come possiamo ottenere la retta tangente in  A  a partire alla retta secante  AB ? 

Con un processo al limite.

Immaginiamo di muovere la retta secante  AB  tenendo sempre fisso il passaggio della suddetta secante per  
A , ma facendo in modo che il punto  B  si avvicini sempre di più ad  A . Quando il punto  B  coinciderà 
col punto  A  , avremo ottenuto la tangente. 

Visualizziamo questo processo in un grafico dove abbiamo "enfatizzato", per descrivere meglio il concetto, 
la "curvatura" della parabola :

       

Si ottiene la retta tangente quando, in questo processo al limite, i punti  B  ed  A  vengono a coincidere. 
Si dice perciò che la retta tangente ha con una curva due punti coincidenti in comune (ovvero uno 
stesso punto). Si preferisce dire "due punti coincidenti in comune" invece che "un solo punto in comune" 
per "sottolineare" il fatto che abbiamo ottenuto la retta tangente con un processo al limite a partire da una 
retta secante passante per  A  che ha, vicino al punto  A , un altro punto in comune con la curva. 

Ora calcoliamo la pendenza della retta secante  AB  ed otteniamo la pendenza della retta tangente con il 
processo al limite (si dice anche facendo il limite).

       

Abbiamo indicato con  h  la misura del segmento  AH  . Per questo motivo, le coordinate del punto  B  
saranno :

       

(il valore dell'ordinata lo abbiamo trovato semplicemente sostituendo nell'equazione della parabola    
al posto della  x  il valore  ). 

La pendenza (che indichiamo con la sigla "pend") della secante  AB  sarà allora :

        

che si semplifica in :

       

(abbiamo eseguito il quadrato del binomio  1 + h , eliminato i termini con somma algebrica nulla, raccolto  
h  a fattore comune e semplificato). 

La pendenza della retta secante  AB  è allora  2 + h . Quale sarà la pendenza della retta tangente in  A  ? 
Basterà notare che nel processo al limite di avvicinamento del punto  B  verso il punto  A  , il valore  h  
diventa sempre più piccolo (in valore assoluto), tende cioè a  0 . Nel processo al limite di    
intenderemo quindi che : 

        .

La pendenza della secante  AB  , che vale  2 + h , se  , diventerà allora  2 . Possiamo scrivere 
quindi :

       

ed affermare che la pendenza della retta tangente alla parabola nel punto   è  2 . Graficamente  :

       

La pendenza di una curva in un punto si chiama anche derivata della curva in quel punto.

15 - Altro esempio di pendenza della parabola.

Consideriamo la semplice parabola di equazione    e vogliamo trovarne la pendenza (derivata
nel suo punto  P  di ascissa    ovvero nel punto  . Si tratta, come ben sappiamo, di calcolare 
la pendenza della retta tangente alla parabola in  P  :

       

Per fare questo prendiamo sulla parabola un punto  Q  di ascissa  , dove    è un numero positivo 
qualunque. Il punto  Q  avrà allora coordinate :

       

(l'ordinata l'abbiamo ottenuta sostituendo semplicemente l'ascissa    nella  x  dell'equazione della 
parabola  ). Abbiano così ottenuto la secante che passa per  P  e per  Q :

       

Per calcolare la pendenza della secante  PQ  basta considerare il triangolo rettangolo  PQH  e fare il 
rapporto fra cateto verticale e cateto orizzontale come indicato in figura :

       

Essendo :

       

e :

         

abbiamo che la pendenza della retta  PQ  è :

        .

Sviluppando i calcoli e semplificando otteniamo :

       

cioè la pendenza di  PQ  è :

         .

Per ricavare la pendenza della tangente in  P  (ovvero la pendenza della parabola in  P ) immaginiamo di 
"spostare" la secante (sempre passando per  P ) in modo da che diventi tangente :

       

In questo processo al limite il punto  Q  , movendosi verso  P , tende a sovrapporsi al punto  P  e si 
ha la perfetta sovrapposizione quando la secante diventa tangente.

Il valore    del segmento  PH , in questo processo al limite tenderà a  0 :

       

La pendenza della tangente alla parabola in  P  sarà allora  1  perché :

       

che si legge "uno più epsilon tende ad uno al tendere di epsilon a zero".

La pendenza della parabola in  P  è la pendenza della retta tangente alla parabola in  P  ovvero la derivata 
della funzione che rappresenta la parabola in    e, valendo essa  1 , si scrive :  

       

oppure :

        .

Il fatto che la pendenza appena calcolata sia  1  significa che :

       

i cateti  PH  e  QH  sono uguali e l'angolo in  P  è di  45° . Una tale pendenza, in un cartello stradale, 
sarebbe indicata con  100 % , in quanto 100 % = 100 / 100 =  1 .

16 - Pendenza della parabola    in un punto qualunque.

Vogliamo ora ricavare una formula generale per la pendenza (derivata) della parabola  che 
valga per ogni suo punto. 

Consideriamo allora il punto  P  della parabola     di coordinate :

         

(se l'ascissa dei  P  è  x , la sua ordinata sarà ovviamente  ). 

La pendenza (derivata) della parabola    nel punto  P  di ascissa  x  è la pendenza della retta tangente 
alla parabola in  P :

       

Per calcolare tale pendenza rifacciamoci alla pendenza di una secante passante  P  (così come mostrato 
in precedenza) :

       

Qui consideriamo il punto  Q  di coordinate    ed i segmenti :

       

e :
        .

La pendenza di  PQ  sarà allora :

        .

Procedendo con i calcoli e le semplificazioni si ottiene :

       

e facendo il limite  (epsilon tendente a zero), che equivale al passare dalla secante alla tangente, 
si ottiene :

        .

La pendenza della parabola    nel punto  P  di ascissa  x  , ovvero la derivata della funzione   
in  x , è allora :

         

(l'apice indica simbolicamente la derivata).

Questa è una formula generale che ci permette di calcolare la pendenza (derivata ) della parabola in ogni 
suo punto. 

Per esempio, se  x = 1  allora la pendenza è  2 , se  x = 1/2  allora la pendenza è  1  (come visto negli 
esempi precedenti).

Nel punto  x = 0  (il vertice della parabola) la pendenza è  0 , ovvero, come già è evidente dal grafico, 
la tangente è orizzontale (coincide con l'asse delle  x ).

17 - Pendenza della generica parabola  .

Vogliamo qui ricavare una formula generale per la pendenza di una qualunque parabola (con asse 
verticale).

Consideriamo la generica parabola di equazione    il cui grafico è :

       

Prendiamo su di essa il punto  P  di ascissa  x . Le coordinate di  P  saranno allora :

        .

Prendiamo sulla parabola anche il punto  Q  di ascissa  . Le coordinate di  Q  saranno allora :

        .

Per ricavare l'ordinata di  Q  abbiamo come sempre sostituito la sua ascissa (che è  ) nell'equazione 
della parabola al posto della  x .

Abbiamo così ottenuto la secante  PQ  alla parabola a partire dal punto  P . 

Come al solito, calcoliamo ora la pendenza della retta  PQ  che è definita dal rapporto :

         

così come indicato nel grafico :

       

Abbiamo cioè :

        .

Procedendo con le usuali semplificazioni otteniamo :

          .

La pendenza di  PQ  è allora :

         

e, poiché per ottenere la retta tangente (a partire dalla secante) si esegue il limite  , ricaviamo 
che la pendenza della retta tangente alla parabola in  P , ovvero la pendenza della parabola in  P  , 
ovvero la derivata dalla funzione che rappresenta la parabola nel punto di ascissa  x  , vale :

         

(la derivata si indica simbolicamente con l'accento) in quanto .

Graficamente :

       

(se il cateto orizzontale vale  1  ed il cateto verticale vale  , allora la pendenza della tangente è 
esattamente  ).

18 - Esempio.

Come esempio di immediato calcolo della pendenza di una parabola in alcuni suoi punti consideriamo la 
parabola    il cui grafico è :

       

dove il vertice è  , il punto  A  ha coordinate (-2 , 3)  ed il punto  B  ha coordinate 
(0 , 3) (ordinata all'origine).

Calcoliamo le pendenze (le derivate) della parabola nei suddetti punti  V , A  e  B .

Innanzi tutto calcoliamo la derivata    della parabola in questione. Applicando la formula ricavata sopra 
otteniamo immediatamente :

        .

Nel vertice  V  si ha allora :

       

ovvero la pendenza della parabola nel vertice è, come deve essere, nulla. Graficamente :

       

Nel punto  A  si ha :

       

e nel punto  B  si ha :

         

cioè, graficamente :

       

Si noti che nei punti  A  e  B , per evidenti ragioni di simmetria (l'asse della parabola è asse di simmetria), 
le pendenze sono opposte di segno ed uguali in valore assoluto. 

Intuitivamente notiamo che il punto  A  è un punto di decrescenza, il punto  V  è un punto di minimo 
relativo ed il punto  B  è un punto di crescenza. In essi la derivata è rispettivamente negativa, nulla 
e positiva. Questa considerazione introduce un grande capitolo della matematica, lo studio di funzione
che si basa fondamentalmente sullo studio del segno della derivata :

       

Fine.

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