E-school  di  Arrigo Amadori

Tutorial di matematica

Funzioni reali notevoli : la parabola (3' parte)


07 - Discriminante    dell'equazione di secondo grado.

Data la parabola di equazione  , le ascisse dei sui punti di intersezione con l'asse 
delle  x 
, per esempio   e  nella figura :

        ,

si calcolano risolvendo l'equazione di secondo grado  (le ordinate dei punti 
d'incontro fra la parabola e l'asse delle  x  sono nulle per cui, ponendo  y = 0 nell'equazione della 
parabola, si ottiene ) .

Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono :

       

ovvero :

       

dove l'espressione   è detto il discriminante dell'equazione  .

Le coordinate dei punti di intersezione fra parabola ed asse delle  x  sono quindi (scritte in funzione 
di  ) :

         

(il valore col segno meno davanti alla radice si usa associarlo ad  ).

In base ai valori dei parametri della parabola  a, b, c , il discriminante  può assumere valore positivo
negativo o nullo.

Si hanno perciò i seguenti casi :

        - 1 -    Se  , il termine  assume un valore reale per cui si hanno due soluzioni reali 
                    distinte ( ):

                            .

                   Geometricamente ciò significa che la parabola incontra l'asse delle  x  in due punti distinti :

                           

                   oppure :

                           

        - 2 -    Se   , il termine  assume valore nullo per cui si hanno due soluzioni reali 
                   coincidenti () :

                             

                   Geometricamente ciò significa che la parabola incontra l'asse delle  x  in due punti 
                   coincidenti (in un solo punto) ovvero si dice che la parabola è tangente nel vertice 
                   all'asse delle  x :

                           

                   oppure :

                           

                   Si noti che anche in questo caso si afferma che le soluzioni sono due, anche se esse sono 
                   coincidenti (uguali).

        - 3 -    Se   , il termine  assume un valore non reale (immaginario) per cui si hanno due 
                   soluzioni non reali (immaginarie) distinte ( ) che per il momento non rappresentiamo 
                   algebricamente.

                   Geometricamente ciò significa che la parabola non incontra l'asse delle  x :

                           

                   oppure :

                           

Quanto qui sopra mostrato giustifica pienamente il perché del nome "discriminante". Il    di un'equazione 
di secondo grado "discrimina" i vari tipi di soluzione.

08 - Esempi di intersezione fra parabola e asse delle  x .

Seguono alcuni esempi di calcolo di intersezioni fra parabola e asse delle  x :

        - 1 -   

                   L'equazione di secondo grado  , che si ottiene uguagliando la  y  a  0 , 
                   fornisce le soluzioni reali distinte ( ) :

                            .

                   Graficamente, i punti d'incontro con l'asse delle  x  sono due (distinti) :

                           

        - 2 -   

                   L'equazione di secondo grado  , che si ottiene uguagliando la  y  a  0 , 
                   fornisce le soluzioni reali coincidenti ( ) :

                            .

                   Graficamente, i punti d'incontro con l'asse delle  x  sono due coincidenti (tangenza) :

                           

        - 3 -   

                   L'equazione di secondo grado  , che si ottiene uguagliando la  y  a  0 , non 
                   fornisce soluzioni reali perché il  è negativo. Infatti :

                            .

                   Le soluzioni sarebbero allora :

                             

                   che non solo reali perché la radice    non è possibile nel campo reale (nessun numero 
                   reale elevato al quadrato fornisce come risultato  -4 ). Geometricamente, questo significa che 
                   la parabola non incontra l'asse delle  x :

                           

09 - Intersezione fra parabola e retta.

Sia la parabola    e sia la retta  . Si determinino le coordinate dei loro 
punti d'incontro.

I punti d'incontro fra due curve in generale sono tali per cui le loro coordinate soddisfano le equazioni 
delle due curve. Questo concetto, come più volte ribadito, è alla base della geometria analitica.

Questo significa che le coordinate dei punti d'incontro fra la retta e la parabola suddetta devono soddisfare 
le loro equazioni, cioè devono essere soluzioni del sistema :

        .

La risoluzione di un tale sistema è molto semplice in quanto basta uguagliare le due  y . Si ottiene perciò :

       

che è una equazione di secondo grado nell'incognita  x . Essa può essere semplificata sommando ad 
ambo i membri il termine ed ottenendo perciò :  

       

da cui si ricava :

        .

La soluzione di questa equazione è immediata (non serve utilizzare la formula risolutiva generale delle 
equazioni di secondo grado) e fornisce :

        .

I due punti d'incontro fra la parabola e la retta hanno quindi ascissa    e    rispettivamente. Li 
possiamo indicare come :

       

e :

       

(i "puntini" indicano che ancora non abbiamo calcolato le ordinate).

Per calcolare le ordinate dei punti d'incontro  A  e  B  basta sostituire i valori appena trovati (delle ascisse) 
nella  x  di una delle due equazioni (per comodità scegliamo quella della retta perché è più semplice) e 
fare i calcoli. Otteniamo perciò :

         

e :

         .

Graficamente :

       

10 - Intersezione fra due parabole.

Siano le parabole    e  . Si determinino le coordinate dei loro punti 
d'incontro
.

Tali coordinate devono soddisfare entrambe le equazioni delle parabole, ovvero sono soluzioni del 
sistema :

        .

Uguagliando le  y  otteniamo :

       

che rappresenta una equazione di secondo grado nell'incognita  x . Per semplificarla portiamo tutti i termini 
al primo membro. Per fare questo sommiamo ambo i membri a  ottenendo :

       

che fornisce :

        .

Si tratta di una equazione di secondo grado ridotta in forma semplice. Le sue soluzioni sono :

        .

Queste sono le ascisse dei due punti d'incontro  A  e  B  fra le due parabole. Per trovare le rispettive 
ordinate basta sostituire questi valori nella  x  di una delle due equazioni. Lasciamo al lettore interessato 
lo sviluppo di questi calcoli. Graficamente le due parabole risultano : 

       

(il punto  A  è stato posto sul grafico senza verificare se si trova sopra o sotto l'asse delle  x ).

11 - La parabola in fisica.

Rispetto ad un sistema di riferimento cartesiano ortogonale  0xy , l'equazione di una generica 
parabola con asse parallelo all'asse delle  y  è :

        .

In fisica, molte formule hanno forma analoga e quindi corrispondono a delle parabole. 

Per esempio, la formula che dà lo spazio in funzione del tempo in un moto uniformemente 
accelerato è :

       

dove    è lo spazio iniziale, ovvero lo spazio al tempo  t =  0 ,   è la velocità iniziale
ovvero la velocità al tempo  t = 0 , ed  a  è l'accelerazione costante a cui è soggetto il corpo. 

Dal punto di vista matematico, la formula scritta sopra rappresenta una parabola (dove la 
variabile indipendente (la  x  della formula generale della parabola) è  t  e la variabile dipendente 
(la  y  della formula generale della parabola) è  s ). Graficamente :

       

Un altro esempio di formula fisica riconducibile alla parabola è :

       

dove  T  è l'energia cinetica,  m  la massa e  v  la velocità. Naturalmente questa formula 
rappresenta una parabola se come variabile indipendente si considera  v .  

Un altro esempio è :

       

dove   è la forza centripeta,  m  la massa,  v  la velocità e  r  il raggio della traiettoria.

Vediamo ora alcuni esempi di applicazione della parabola in fisica.

12 - Moto uniformemente accelerato : partenza da fermo.

Immaginiamo che un corpo parta fa fermo con accelerazione  a  costante. Immaginiamo, per 
comodità, di fare partire il cronometro ( t = 0 ) quando il corpo si trova nella posizione  s = 0 .

Il moto in questione è uniformemente accelerato e la sua equazione oraria è allora semplicemente :

       

(essendo    e    entrambi nulli).

L'equazione oraria appena scritta è l'equazione di una parabola (considerando  t  la variabile 
indipendente).

Facciamo il caso concreto di  a = 4 m/s² .

L'equazione diventa :

        .

Si tratta di una parabola con vertice nell'origine e concavità rivolta verso l'alto (essendo il 
coefficiente del termine di secondo grado  t²  positivo). Disegnamone il grafico partendo dalla 
tabella oraria :

        

ottenuta dando valori di comodo al tempo  t .

Il grafico orario è quindi :

       

13 - Moto uniformemente accelerato : frenata.

Consideriamo un corpo dotato di velocità  che all'istante  t = 0  inizia a 
frenare con accelerazione costante negativa  a = -5 m/s² . Supponiamo che al tempo  t = 0  
lo spazio sia anch'esso nullo ( = 0 ).

L'equazione oraria del moto sarà allora :

        .

Si tratta di una parabola con concavità rivolta verso il basso che passa per l'origine ed ha 
vertice  V(6,90)  (l'abbiamo calcolato usando la nota formula del vertice  ). 
Per disegnarla ricaviamo la seguente tabella oraria :

       

Il grafico è quindi :

       

Fine.

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