E-school  di  Arrigo Amadori

Tutorial di matematica

Funzioni reali notevoli : la parabola (2' parte)


03 - Come disegnare una parabola. Esempi.

Conoscendo le coordinate del vertice  V  di una parabola e facendo qualche altra semplice considerazione
siamo in grado di disegnane il grafico. 

Ricordando che il vertice della generica parabola di equazione    è   
(dove i puntini indicano che l'ordinata si calcola di conseguenza alla conoscenza dell'ascissa), consideriamo 
le seguenti parabole :

        - 1 -   

                   Siccome in questo caso abbiamo  b = 0 , l'ascissa del vertice sarà   .

                   Poiché il vertice è un punto della parabola, le sue coordinate soddisfano l'equazione della 
                   stessa. Per questo motivo, sostituendo  0  nella  x  , l'ordinata del vertice risulta . 
                   Il vertice è quindi  . Graficamente :

                       

                   Per disegnare la parabola possiamo individuare il suo punto di ascissa  x = 1 . Sostituendo 
                   nella   x   il suddetto valore  1  otteniamo   per cui individuiamo il punto  :

                       

                   L'asse della parabola è asse di simmetria della medesima per cui possiamo individuare il 
                   punto  :

                       

                   A questo punto siamo in grado di disegnare la parabola sfruttando il vertice ed i due punti 
                   trovati :

                       

        - 2 -   

                   Il vertice è    (il simbolo    significa "coincidente")

                   Un punto della parabola è    (basta sostituire  1  alla  x  e fare i calcoli) ed il suo 
                   simmetrico rispetto all'asse della parabola è  . 

                   Si noti che il coefficiente  a  della    è negativo. Questo significa che la parabola è rivolta 
                   verso il basso. Avremo perciò :

                       

        - 3 -   

                   Il vertice è   .

                   Un punto facilmente determinabile è in questo caso    in quanto, sostituendo  0  alla  x , 
                   si ottiene  1  . In generale, sostituendo  0  alla  x  della equazione generica della parabola
                    si ottiene  y = c  che rappresenta l'ordinata del punto della parabola di ascissa  0 . 

                   Come nel caso della retta, anche per la parabola, il termine noto  c  è detto ordinata all'origine
                   ed è direttamente tracciabile sul grafico. 

                   Graficamente :

                        

                   Per simmetria rispetto all'asse si individua il punto    per cui la parabola è completamente 
                   individuata :

                        

        - 4 -   

                   Il vertice è : 

                        .

                   L'ordinata all'origine è  -1  per cui il grafico della parabola risulta : 

                       

04 - Altri esempi di parabola.

Consideriamo queste parabole :

        - 1 -   

                   Confrontando questa equazione con quella della generica  parabola  ,
                   si deduce che    . Le coordinate del vertice valgono in generale  
                   , dove    significa "sostituire il valore dell'ascissa del 
                   vertice nella  x  e fare i calcoli corrispondenti
".

                   Avremo perciò  .

                   L'ordinata all'origine della parabola è  .

                   Il grafico della parabola sarà allora :

                           

        - 2 -   

                   In questo caso abbiamo  . Poiché il parametro  a  è negativo, la parabola 
                   è rivolta verso il basso. L'ordinata all'origine è  c = 0 per cui la parabola passa per l'origine.

                   Il vertice è   
                   .

                   Il grafico della parabola è allora :

                           

        - 3 -   

                   In questo caso abbiamo    per cui il vertice è  
                   e di conseguenza il grafico risulta :

                            

                   Si noti che la parabola passa per i punti  (2 , 0)  e  (-2 , 0)  in quanto sostituendo nella  x  sia  
                   2  che  -2  il risultato è  0 .

05 - Fuoco e direttrice di una parabola generica.

Consideriamo il fuoco e la direttrice di una parabola qualunque di equazione :

       

il cui grafico è :

       

All'inizio dello studio delle parabole, partimmo con il definire la parabola che ha vertice nell'origine  
(ed asse verticale, come sempre). Il fuoco di una tale parabola aveva, come inizialmente ponemmo, 
ordinata uguale a  d :

       

Sviluppando i calcoli introducemmo ad un certo punto la relazione :

         

che, invertita, fornisce :

        .

Ritornando alla parabola generica (con vertice in qualunque punto del piano) siamo allora in grado di 
definirne le coordinate del fuoco e l'equazione della direttrice. Considerando che il vertice ha coordinate :

       

e notando che il fuoco ha la stessa ascissa del vertice, possiamo scrivere :

         

perché l'ordinata del fuoco è uguale a quella del vertice maggiorata del valore  d  che è esprimibile, 
come detto sopra, in funzione di  a .

L'equazione della direttrice sarà di conseguenza :

        .

Graficamente :

       

06 - Intersezione fra una parabola e l'asse delle  x .

La determinazione dei punti di intersezione di una parabola con l'asse delle  x  è particolarmente 
importante perché conduce alla soluzione di una equazione di secondo grado, equazione che riveste 
in matematica un ruolo di grande rilievo.

Si può addirittura affermare che, visto il parallelismo fra algebra e geometria introdotto dagli assi 
cartesiani, la soluzione di una equazione di secondo grado può essere ricondotta ad un problema 
geometrico che coinvolge le parabole.

Le diverse possibilità di intersezione fra una parabola e l'asse delle  x  sono indicate nel grafico :

       

Nei casi  A  e  D , non si hanno punti di intersezione.

Nei casi  B  e  E  le parabole sono tangenti all'asse delle  x  per cui intersecano il suddetto asse in 
un solo punto oppure (come è meglio dire) in due punti coincidenti (il perché di questa affermazione 
sarà chiaro in seguito). 

Nei casi  C  e  F  le parabole intersecano l'asse delle  x  in due punti distinti

Consideriamo quest'ultimo caso ed indichiamo con   e  le ascisse dei due punti d'incontro :

       

I due punti in questione stanno sulla parabola e per questo le loro coordinate devono soddisfare 
l'equazione della stessa che è :

        .

Inoltre hanno ordinata nulla per cui per essi possiamo scrivere :

        y = 0 .

Riunendo queste due equazioni otteniamo il sistema :

        .

Un sistema di due equazioni significa che esse devono essere soddisfatte "contemporaneamente" dalle 
coordinate dei due punti di intersezione.

Se  y  è uguale sia a    che a  0 , allora sarà anche che :

        .

Questa è una equazione di secondo grado che è soddisfatta da    e   , cioè     e    sono 
le sue soluzioni

Trovare le ascisse dei punti di intersezione fra una parabola e l'asse delle  x  equivale quindi a risolvere  
una equazione di secondo grado e viceversa.

I due valori     e    hanno la proprietà di avere come valore medio l'ascissa del vertice della 
parabola :

       

che vale  . Per questo motivo possiamo scrivere :

       

e :

         

dove    rappresenta la semidistanza (positiva) fra i due punti.

Graficamente :

       

A questo punto sostituiamo i valori di     e    così come scritti sopra in funzione di     nell'equazione  
  limitatamente al caso di  (sostituendo    si perverrebbe allo stesso risultato).

Si ottiene allora :

        .

Svolgiamo il quadrato del binomio ricordando la formula  . Ricaviamo 
perciò :

         

ed, eseguendo i prodotti, eliminiamo le parentesi ottenendo :

        .

Semplificando si ha :

       

ed ancora :

        .

Il terzo termine può essere scritto come  per cui diventa simile al primo termine. In questo 
modo, sommando algebricamente i due termini simili  ( ), otteniamo :

        .

L'espressione che abbiamo trovato non è altro che un' equazione di secondo grado nell'incognita   
(i valori  a , b , c  sono i coefficienti della parabola, quindi si considerano assegnati) particolarmente 
semplice in quanto presenta solo il termine al quadrato  senza il termine di primo grado . 

Separiamo il termine  . Si ottiene :

       

(abbiamo sommato    e  -c  ad ambo i membri) ed ancora :

         

(abbiamo diviso ambo i membri per  a ).

Per ricavare il valore della    basta estrarre la radice quadrata ad ambo i membri (infatti se, per 
esempio, , abbiamo che  A = 10 ma anche che A = -10  (sia  10  che  -10  elevati al 
quadrato danno entrambi  100 !!)). Si ottiene allora :

       

dove il simbolo    significa appunto che abbiamo due valori, uno positivo e l'altro negativo (oppure 
entrambi nulli), che elevati al quadrato danno  .

Possiamo anche scrivere con un "eloquente" simbolismo :

        .

Il radicando  può essere scritto in una forma migliore notando che esso è uguale a   
e quindi a  per cui possiamo scrivere :

       

ovvero (essendo il denominatore un quadrato) :

        .

I due valori di    che abbiamo ottenuto sono quindi uno positivo e l'altro negativo (oppure entrambi 
nulli). I valori delle ascisse    e  sono allora (scritti sinteticamente) :

       

ovvero, scrivendo un unico denominatore :

        .

Questa è la formula che fornisce i valori delle ascisse     e   dei punti d'incontro della parabola  
  con l'asse delle  x  ovvero che risolvono l'equazione di secondo grado  . 
Si tratta di una formula fondamentale per tutta la matematica che useremo molto spesso.

Essa può essere scritta anche come :

       

oppure come :

       

(di solito alla soluzione    si fa corrispondere quella col segno  -  perché geometricamente è posta a 
sinistra di  ).

Il radicando    si chiama discriminante e usualmente si indica con la lettera greca "delta" 
maiuscola, per cui si pone :

         

e di conseguenza :

        .

Il significato del discriminante è molto importante. Siccome la radice quadrata dà come risultato un numero 
reale
solo se il radicando è positivo o nullo, la conoscenza del discriminante "discrimina" i tipi di soluzioni 
possibili. 

Fine.

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