E-school  di  Arrigo Amadori

Tutorial di matematica

Funzioni reali notevoli : la parabola (1' parte)

La parabola è una curva molto importante e dalle molteplici proprietà. Essa era conosciuta dai 
Greci (Apollonio ed Archimede II e  III secolo a.C.). Apollonio per primo, in un famoso trattato, 
scoprì che la parabola fa parte di una classe più generale di curve : le coniche.

Le coniche si ottengono intersecando la superficie di un cono con un piano. Dal modo con cui si 
sceglie il piano, si ottengono i vari tipi di coniche (fra cui la parabole). Diamo qui una semplice
e sintetica illustrazione grafica dei vari tipi di coniche, partendo da un cono generico di cui è 
indicata anche la "nomenclatura" relativa :

       

       

       

       

       

Come risulta evidente dai grafici, il caso della parabola si ottiene quando il piano che taglia il cono è 
parallelo ad una generatrice del cono.

La parabola, come dicevamo sopra, gode di importanti proprietà. Una di queste, per esempio, è 
utilizzata nella tecnologia radiotelevisiva per costruire le cosiddette antenne paraboliche.

Ogni parabola possiede un punto particolare, detto fuoco, che ha la proprietà per cui ogni raggio 
parallelo all'asse della parabola, "riflettendo" su essa,  vi si congiunge :

       

In questo modo, le onde elettromagnetiche (anche la luce) riflettendo all'interno di un'antenna parabolica 
vengono tutte concentrate nel fuoco della parabola in cui è posizionata la vera antenna (la parabola funge 
da semplice riflettore-concentratore) che si tratta di solito di un tratto di filo conduttore.

Al contrario, se poniamo un sorgente di radiazione elettromagnetica (per esempio una lampadina) nel 
fuoco di uno specchio parabolico otteniamo che i raggi diretti verso la superficie dello specchio vengono
riflessi paralleli all'asse.

Un'altra importante proprietà della parabola può essere usata per determinarne l'equazione nel 
piano cartesiano.

01 - Equazione della parabola.

In un sistema di assi cartesiani ortogonali  0xy  consideriamo il punto    detto fuoco e la retta di 
equazione  detta direttrice, essendo  d  è un numero reale positivo ( ) :

       

Orbene, una parabola è una curva i cui punti sono tali per cui le distanze fra essi ed il fuoco 
eguagliano le rispettive distanze con la direttrice : 

       

Avremo cioè :

        AF = AH , A'F = A'H' , A''F = A''H''  ecc. ecc.

Naturalmente la curva che si ottiene non è una linea retta ed ha la proprietà di essere simmetrica 
rispetto all'asse delle  y . Inoltre il punto  0 , origine degli assi cartesiani, appartiene alla parabola e, 
data la sua posizione (intersezione fra la parabola ed il suo asse), è detto vertice della parabola. 

       

Consideriamo ora un punto generico  della parabola che, per quanto detto sopra, equidista  
dal fuoco e dalla direttrice :

       

Per un tale punto  P possiamo scrivere allora l'eguaglianza :

        .

Scritto questo, siamo anche in grado di determinare le lunghezze dei due segmenti. Osservando il 
grafico :

        

è facile rendersi conto che :

       

(per il teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo   FPQ ) e :

        .

Se uguagliamo i due segmenti otteniamo infine :

        .

I punti  P  della parabola hanno coordinate  x  e  y  tali da soddisfare l'equazione appena scritta : 

        essa è allora l'equazione di una generica parabola con vertice nell'origine e asse 
        coincidente con l'asse delle  y .

Procediamo ora ad una semplificazione algebrica che ci permette di scrivere la precedente equazione
in una forma più semplice.

Eleviamo al quadrato entrambi i membri :

        .

Il quadrato di una radice quadrata dà il radicando (es. ) per cui la radice viene eliminata :

        .

Nella formula così ottenuta compaiono due quadrati di binomi. Il quadrato di un binomio può essere
calcolato velocemente utilizzando le formule :

       

di cui la prima può essere giustificata geometricamente nel seguente modo considerando un quadrato 
di lato  a + b :

       

da cui si deduce immediatamente la presenza del "doppio prodotto"  2ab  (nella seconda formula, invece,
 è  presente il segno meno nel doppio prodotto per ovvi motivi).

Applicando le formule del quadrato del binomio all'equazione della parabola al punto in cui l'abbiamo 
lasciata, otteniamo :

        .

I termini    e  , essendo presenti in entrambi i membri, possono essere eliminati per cui si ha :

       

da cui, portando i termini in  y da una stessa parte, si ottiene : 

       

ovvero :

       

cioè, ribaltando l'eguaglianza :

        .

Siamo ora in grado di ricavare la  y  semplicemente dividendo ambo i membri per  4d  ottenendo 
infine :

        .

Come si vede bene, abbiamo ricavato una equazione molto semplice caratterizzata dal fatto che la  x  
è presente al quadrato.

Questa è l'equazione di una parabola che ha vertice nell'origine ed asse verticale (coincidente 
con l'asse delle  y ) :

       

Ribadiamo il concetto che l'equazione appena trovata  corrisponde ad una parabola  
con le caratteristiche sopra dichiarate : 

        vertice nell'origine ed asse verticale. 

Le parabole che non possiedono queste caratteristiche hanno un'equazione diversa, più complicata 
(vedi più avanti).

Facciamo ora alcune considerazioni sul parametro  d  che rappresenta l'ordinata del fuoco  F . Siamo 
partiti definendolo positivo ed abbiamo di conseguenza disegnato la direttrice e la parabola :

       

Cosa succede se facciamo crescere  d  ? Il fuoco  F  si "alza" , la direttrice si "abbassa" e di conseguenza 
(come si vede bene dal grafico) la parabola si "allarga" : 

       

Quando  d  tende all'infinito, la parabola tende a diventare la retta  y = 0  (asse delle  x ) :

       

Quando invece  d  cala (sempre con valori positivi) e tende a  0  , il fuoco si avvicina sempre di più al 
vertice  0 così come la direttrice. La parabola, in questo caso, si "stringe" sempre più fino a diventare  
la semiretta  x = 0  con  :

       

       

Cosa succede se, infine, il parametro  d  assume valori negativi ? La situazione si "ribalta" letteralmente :

       

Questo risultato è molto importante e porta alla seguente considerazione : 

        se il parametro  d  , ovvero il coefficiente della    nell'equazione della parabola, è positivo, 
        la parabola è rivolta verso l'alto.

        se il parametro  d  , ovvero il coefficiente della    nell'equazione della parabola, è negativo, 
        la parabola è rivolta verso il basso.

Graficamente :

       

Sottolineiamo il fatto che nell'equazione della parabola  , se  d > 0 , il coefficiente   
di    è positivo mentre se  d < 0 , il coefficiente di  è negativo.

Affrontiamo infine il problema della determinazione dell'equazione della parabola generica del piano 
che abbia vertice non necessariamente nell'origine  0  degli assi ed asse verticale (parallelo all'asse 
delle  y ). Una siffatta parabola è per esempio la seguente :

       

Per ricavare l'equazione di una tale generica parabola conviene considerare anche il sistema di assi 
cartesiani che ha vertice in  V  (vertice della parabola) ed asse delle ordinate coincidente con l'asse 
della parabola. Indicheremo con    il vertice di questo nuovo sistema di assi (coincidente con  V ), 
con    l' asse delle ascisse di questo nuovo sistema di riferimento e con    l'asse delle ordinate :   

       

I due sistemi di assi cartesiani    e    si dicono traslati uno rispetto all'altro e la trasformazione 
per passare da uno all'altro, traslazione.

Scriviamo ora le formule matematiche della traslazione, le formule cioè che legano i due sistemi di 
assi cartesiani. Per fare questo supponiamo che le coordinate del nuovo vertice     rispetto al vecchio
sistema di assi    siano  , cioè graficamente :

       

In questo modo, un punto  P  della parabola che ha coordinate    rispetto al nuovo sistema di 
riferimento e  rispetto al vecchio :

       

è tale per cui le suddette coordinate sono legate dalle relazioni :

         

e :

       

che sono dette equazioni della traslazione. 

Circa la parabola, noi possiamo dire che la sua equazione è ben nota rispetto al nuovo sistema  e 
vale :

        .

D'altra parte conosciamo come le variabili    e    si possono esprimere in funzione delle variabili  
x  e  y . Sostituendo otteniamo allora :

        .

Questa è l'equazione della parabola generica con asse verticale rispetto al sistema di coordinante 
cartesiane  . Si noti che la stessa curva ha due differenti equazioni rispetto a due sistemi di 
riferimento diversi. 

Scriviamola in una forma migliore.

Svolgendo il quadrato del binomio al secondo membro abbiamo : 

        .

Eseguendo la moltiplicazione al secondo membro otteniamo (distribuendo rispetto alla somma) :

        .

Ora semplifichiamo ed isoliamo la  y  a sinistra dell'uguale portando il termine    a destra :  

        .

L'equazione che abbiano ottenuto presenta una certa "regolarità". Ha la  y  al primo grado a sinistra 
mentre a destra abbiamo un polinomio di secondo grado in  x  (che, per criteri di "ordine" ed 
"eleganza", scriviamo a partire dal grado massimo).

Se poniamo :

       

l'equazione è ulteriormente semplificabile  e diventa :

        .

Questa è l'equazione generale della generica parabola con asse verticale ed origine in un punto 
qualunque del piano.

02 - Vertice della parabola.

Ora esprimiamo le coordinate del vertice  V  della parabola in funzione dei parametri  a, b, c  della 
medesima. Come si vede bene dal grafico cartesiano, le coordinate del vertice rispetto al sistema 
sono :

        .

Ricaviamo allora    dalla relazione    scritta sopra. Risulta ovviamente :

        .

Ricaviamo  d  dalla relazione  . Otteniamo :

         

che sostituiamo nella precedente ricavando :

       

da cui :

        .

Abbiamo così trovato l'espressione dell'ascissa del vertice  V  della parabola in funzione dei soli 
parametri della medesima.

Possiamo allora scrivere che il vertice  V  ha coordinate :

       

dove per il momento lasciamo indicata coi i puntini l'ordinata.

Supponiamo ora di conoscere l'equazione di una certa parabola e di volerne individuare il vertice.

Sia data, per esempio, la parabola di equazione :

        .

Il vertice risulta allora :

       

per cui, non conoscendone ancora l'ordinata, possiamo affermare che esso si trova in un punto 
qualsiasi della retta verticale (l'asse della parabola) di equazione   :

       

Come fare per trovare l'ordinata del vertice e così "fissarlo" sul piano cartesiano ? Siccome il vertice  
V  è un punto appartenente alla parabola, le sue coordinate devono soddisfare l'equazione della 
stessa. Questo significa che per trovare l'ordinata del vertice basta sostituire alla  x  dell'equazione 
della parabola l'ascissa precedentemente trovata. Avremo quindi :

         

e quindi potremo scrivere :

         

per cui il vertice  V  è perfettamente individuato sul piano cartesiano :

       

Fine.

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