E-school  di  Arrigo Amadori

Tutorial di matematica

Funzioni reali notevoli : funzione logaritmica (2' parte)

05 - Pendenza della funzione logaritmica.

Vogliamo ora studiare la pendenza, ovvero la derivata, della funzione logaritmo naturale  , cioè quando la base del logaritmo è il numero di Nepero  ( ).

La generalizzazione a qualunque base sarà mostrata più avanti in questo corso. D'ora in poi, salvo diversamente indicato, per funzione o curva logaritmica si intende quella relativa al logaritmo naturale (in base  ).

Consideriamo sulla curva logaritmica i punto    e  con  . La retta    che li congiunge è la secante  .

Per ricavare la pendenza (la derivata) della curva logaritmica in    basta trovare il coefficiente angolare della retta    tangente alla curva logaritmica in  .

La retta tangente    è ottenibile dalla retta secante    con l'usuale "processo al limite" immaginando di fare avvicinare indefinitamente il punto    al punto  , tenendo quest'ultimo fisso.

Graficamente :

Matematicamente, per ricavare la derivata (la pendenza) della funzione logaritmica    in  (ovvero nel punto ) che si scrive :

        ,

 basta risolvere il limite :

        .

Vediamo ora come tale limite può essere risolto.

Per questo scopo, vediamo di trasformare il termine :

nel modo che segue.

Applicando le note regole a cui obbediscono i logaritmi, abbiamo :

        .

Poniamo ora :

da cui :

        .

Sostituendo, ricaviamo :

          .

Poniamo ora :

da cui :

        .

Sostituendo, ricaviamo :

        .

Ritorniamo ora al limite che vogliamo calcolare :

        .

Tenendo presente che :

e che :

          implica  e implica    ,

avremo :

        .

Il limite :

è ben noto e fornisce il valore  , cioè :

         .

Possiamo allora affermare che :

        .

Abbiamo perciò ricavato l'importante formula :

che esprime il risultato, in qualche modo sorprendente, che la derivata (la pendenza) della funzione logaritmo naturale    è la funzione iperbole equilatera  .

Graficamente :

Come si vede bene, la derivata (la pendenza) della curva logaritmo naturale diminuisce tendendo a    per     tendente all'infinito mentre cresce tendendo all'infinito quando     tende a  .

Cioè :

e :

        .

06 - Esercizio.

Si calcoli l'equazione della retta    tangente alla curva logaritmica nel suo punto  .

Risoluzione.

La generica retta del piano cartesiano (non verticale, ovvero non parallela all'asse delle ordinate  )  che passa per il punto  ha equazione :

        ,

dove    è il coefficiente angolare (uguale alla pendenza ovvero alla derivata) della suddetta retta.

Poiché il coefficiente angolare  della retta tangente alla curva logaritmica in  è uguale alla derivata della funzione logaritmica in , scriveremo :

        ,

dove il simbolo  significa che la derivata della funzione (in questo caso la funzione logaritmica) va calcolata per il valore .

Siccome :

per un qualunque valore (permesso, cioè  ) di  , per    avremo :

        .

L'equazione della retta    risulta, sostituendo, di conseguenza :

cioè :

        .

Essendo  , si deduce che la retta    forma un angolo di    (in radianti  ) con l'asse delle ascisse, cioè è parallela alla bisettrice del   I  e  III  quadrante.

Il punto d'incontro fra la retta    e l'asse delle ordinate    è evidentemente il punto  .

07 - Esercizio.

Si calcoli l'equazione della retta    tangente alla curva logaritmica passante per il punto  assieme alle coordinate del punto di tangenza  .

Risoluzione.

Il punto di tangenza    è ovviamente un punto della curva logaritmica. Per questo, le sue coordinate sono :

        ,

dove    è un punto qualunque del dominio della funzione logaritmica. Graficamente :

Una retta generica (non verticale, ovvero non parallela all'asse delle ordinate  ) passante per il punto  ha equazione :

        ,

dove    è il coefficiente angolare (uguale alla pendenza ovvero alla derivata) della suddetta retta.

Se il punto da cui la generica retta passa è  , allora la sua equazione sarà :

        .

Dovendo la retta in questione essere tangente alla curva logaritmica, il suo (della retta) coefficiente angolare    dovrà uguagliare la derivata (la pendenza) della curva logaritmica nel punto di tangenza. Dovrà cioè essere :

ovvero :

        ,

essendo  .

L'equazione della retta passante per  è quindi :

        .

Ma tale retta deve passare anche per  . Sostituendo, avremo :

da cui si deduce :

cioè :

        .

Il valore di    è quindi :

per cui si ottiene :

e :

da cui :

ed infine :

che è l'equazione della retta    cercata.

Fine.

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