E-school  di  Arrigo Amadori

Tutorial di matematica

Funzioni reali notevoli : funzione logaritmica (1' parte)

01 - Definizione di funzione logaritmica.

In questo corso abbiamo già incontrato i logaritmi alla pagina :

        ../PotenzeRadiciLogaritmi/PotRadLog.htm 

e ad essa rimandiamo per un ripasso.

In sintesi, la definizione di logaritmo è :

        il logaritmo di un numero secondo una certa base è quel numero per cui si deve elevare quella base per ottenere il numero dato.

In queste pagine vogliamo studiare il logaritmo come funzione.

Scriviamo l'espressione :

        .

Essa rappresenta la funzione logaritmica.

Il simbolo    si legge "logaritmo in base    di  " , la variabile    è la variabile indipendente e la variabile    è la variabile dipendente.

Al variare della   , la    assume di conseguenza valori via via diversi.

La base    del logaritmo va scelta a priori e deve essere positiva e diversa da  . Le basi più usate sono :

          (in questo caso si dice che il logaritmo è binario)

        (in questo caso si dice che il logaritmo è decimale)

        (dove    è il numero irrazionale di Nepero)  (in questo caso si dice che il logaritmo è naturale).

02 - Grafici dei logaritmi in base  , .

Si noti che, per brevità, abbiamo scritto semplicemente "grafici dei logaritmi ..." invece di "grafici delle funzioni logaritmiche ...". Tali grafici si chiamano anche curve logaritmiche.

        -    logaritmo in base  :

Con tale base si hanno i seguenti valori di riferimento :

        perché :
 ...  ...  ...
 1/8   -3   
 1/4   -2   
 1/2   -1   
 1   0    
 2   1    
 4   2    
 8   3    
 ...  ...   ...

Naturalmente, i logaritmi che non forniscono un numero intero, avranno valori irrazionali "intermedi". Per esempio :

         

che è intermedio fra i logaritmi  .

Graficamente :

       

        -    logaritmo in base  :

Con tale base si hanno i seguenti valori di riferimento :

        perché :
 ...  ...  ...
 1/8   3   
 1/4   2   
 1/2   1   
 1   0    
 2   -1    
 4   -2    
 8   -3    
 ...  ...   ...

Graficamente :

       

        -    logaritmo in base  :

Con tale base si hanno i seguenti valori di riferimento :

        perché :
 ...  ...  ...
 1/1000   -3   
 1/100   -2   
 1/10   -1   
 1   0    
 10   1    
 100   2    
 1000   3    
 ...  ...   ...

Graficamente (per valori  ) :

       

        -    logaritmo in base  :

Quando la base è il numero di Nepero   , il logaritmo si dice naturale ed è indicato semplicemente con il simbolo  log  oppure  ln .

Convenzionalmente si ha allora :

        .

Noi useremo indipendentemente l'una o l'altra notazione.

I logaritmi naturali assumono un ruolo fondamentale nell'analisi matematica così come lo assume la funzione esponenziale (di base  ) .

Con tale base si hanno i seguenti valori di riferimento :

        perché :
 ...  ...  ...
    -3   
    -2   
    -1   
 1   0     
    1    
     2   evidente 
     3   evidente 
 ...  ...   ...

Graficamente :

       

03 - Considerazioni generali sul grafico della funzione logaritmica.

Osservando i grafici delle funzioni logaritmiche (con diverse basi) tracciati sopra, deduciamo le seguenti importanti considerazioni :

        -    la funzione logaritmica è definita solo per valori positivi della    ( ). Si dice anche che il dominio della funzione logaritmica è l'insieme dei numeri reali positivi.

        -    il logaritmo di    è sempre    (per ogni base).

        -    se la base   del logaritmo è maggiore di  ( ), allora il grafico è crescente.

        -    se la base   del logaritmo è compresa fra    ed  ( ), allora il grafico è decrescente.

        -    la curva logaritmica è asintotica rispetto all'asse delle    (delle ordinate). Più esattamente :

                      se  ,

                      se  ,

              dove il simbolo    significa che la     tende a (si avvicina a)    per valori positivi ( ).

04 - Proprietà algebriche dei logaritmi.

Riportiamo qui alcune importanti formule che riguardano i logaritmi il cui uso è molto frequente.

Applicando direttamente la definizione di logaritmo, possiamo scrivere :

        .

Infatti, poiché il logaritmo (in base   ) di    è quel numero a cui deve essere elevata la base    per avere  , la formula è evidente.

Le altre formule che riportiamo qui sono (si dimostrano applicando direttamente la definizione di logaritmo):

       

       

        .

Riportiamo anche la formula del cambiamento di base :

        .

Ci limitiamo a dimostrare quest'ultima.

Abbiamo :

        

da cui :

       

       

       

ed infine :

         

per cui la formula è dimostrata.

Esempio.

Applichiamo le precedenti formule alla seguente espressione :

        .

Avremo :

          .

Fine.

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