Tutorial di matematica : funzioni reali notevoli - funzione logaritmica (1' parte)

E-school di Arrigo Amadori

Tutorial di matematica

Funzioni reali notevoli : funzione logaritmica (1' parte)

01 - Definizione di funzione logaritmica.

In questo corso abbiamo già incontrato i logaritmi alla pagina :

e ad essa rimandiamo per un ripasso.

In sintesi, la definizione di logaritmo è :

il logaritmo di un numero secondo una certa base è quel numero per cui si deve elevare quella base per ottenere il numero dato.

In queste pagine vogliamo studiare il logaritmo come funzione.

Scriviamo l'espressione :

Essa rappresenta la funzione logaritmica.

Il simbolo si legge "logaritmo in base di " , la variabile è la variabile indipendente e la variabile è la variabile dipendente.

Al variare della , la assume di conseguenza valori via via diversi.

La base del logaritmo va scelta a priori e deve essere positiva e diversa da . Le basi più usate sono :

(in questo caso si dice che il logaritmo è binario)

(in questo caso si dice che il logaritmo è decimale)

(dove è il numero irrazionale di Nepero) (in questo caso si dice che il logaritmo è naturale).

02 - Grafici dei logaritmi in base , , , .

Si noti che, per brevità, abbiamo scritto semplicemente "grafici dei logaritmi ..." invece di "grafici delle funzioni logaritmiche ...". Tali grafici si chiamano anche curve logaritmiche.

- logaritmo in base :

Con tale base si hanno i seguenti valori di riferimento :

		perché :
...	...	...
1/8	-3
1/4	-2
1/2	-1
1	0
2	1
4	2
8	3
...	...	...

Naturalmente, i logaritmi che non forniscono un numero intero, avranno valori irrazionali "intermedi". Per esempio :

che è intermedio fra i logaritmi e .

Graficamente :

- logaritmo in base :

Con tale base si hanno i seguenti valori di riferimento :

		perché :
...	...	...
1/8	3
1/4	2
1/2	1
1	0
2	-1
4	-2
8	-3
...	...	...

Graficamente :

- logaritmo in base :

Con tale base si hanno i seguenti valori di riferimento :

		perché :
...	...	...
1/1000	-3
1/100	-2
1/10	-1
1	0
10	1
100	2
1000	3
...	...	...

Graficamente (per valori ) :

- logaritmo in base :

Quando la base è il numero di Nepero , il logaritmo si dice naturale ed è indicato semplicemente con il simbolo log oppure ln .

Convenzionalmente si ha allora :

Noi useremo indipendentemente l'una o l'altra notazione.

I logaritmi naturali assumono un ruolo fondamentale nell'analisi matematica così come lo assume la funzione esponenziale (di base ) .

Con tale base si hanno i seguenti valori di riferimento :

		perché :
...	...	...
	-3
	-2
	-1
1	0
	1
	2	evidente
	3	evidente
...	...	...

Graficamente :

03 - Considerazioni generali sul grafico della funzione logaritmica.

Osservando i grafici delle funzioni logaritmiche (con diverse basi) tracciati sopra, deduciamo le seguenti importanti considerazioni :

- la funzione logaritmica è definita solo per valori positivi della ( ). Si dice anche che il dominio della funzione logaritmica è l'insieme dei numeri reali positivi.

- il logaritmo di è sempre (per ogni base).

- se la base del logaritmo è maggiore di ( ), allora il grafico è crescente.

- se la base del logaritmo è compresa fra ed ( ), allora il grafico è decrescente.

- la curva logaritmica è asintotica rispetto all'asse delle (delle ordinate). Più esattamente :

se ,

dove il simbolo significa che la tende a (si avvicina a) per valori positivi ( ).

04 - Proprietà algebriche dei logaritmi.

Riportiamo qui alcune importanti formule che riguardano i logaritmi il cui uso è molto frequente.

Applicando direttamente la definizione di logaritmo, possiamo scrivere :

Infatti, poiché il logaritmo (in base ) di è quel numero a cui deve essere elevata la base per avere , la formula è evidente.