E-school  di  Arrigo Amadori

Tutorial di matematica

Funzioni reali notevoli : l'iperbole equilatera (4' parte)


12 - Esercizio.

Consideriamo l'iperbole equilatera di equazione     ed il punto  . Si determinino le rette tangenti 
condotte per  P all'iperbole.

Graficamente :

       

Come risulta evidente, tali rette tangenti sono due e le indicheremo con  , . Indicheremo inoltre con  ,   i 
punti di tangenza.

Per ricavare le due tangenti all'iperbole passanti per  P  possiamo immaginare di "esplorare" l'iperbole con una retta 
tangente facendola "muovere" punto per punto lungo l'iperbole. Facendo così, succederà, per qualche tangente 
particolare (in questo caso due), che passino anche per il punto  P . 

Graficamente :

       

Consideriamo una di queste tangenti, che chiameremo  t  , ed indichiamo con  Q  il punto di tangenza supponendo 
che la sua ascissa sia    ("tau"). Ovviamente, essendo  Q  un punto dell'iperbole, la sua ordinata sarà  . 

Scriviamo allora :

        .

Graficamente :

       

Determiniamo ora l'equazione della retta  t . 

La generica retta passante per  Q  è :

       

avendo utilizzato la ben nota formula delle rette passanti per un punto dato. Ovviamente tali rette sono infinite e si 
distinguono per il coefficiente angolare  m  (la loro pendenza) che può avere valori qualunque. 

Graficamente :

       

Naturalmente, delle infinite rette passanti per  Q , una sola sarà la retta tangente all'iperbole in quel punto (cioè la retta  
t ).

Che coefficiente angolare  m  avrà la retta tangente  t ? Sarà il valore della pendenza dell'iperbole in  Q .

La pendenza dell'iperbole equilatera generica    è, per un suo qualsiasi punto di ascissa  x  , . 

Nel nostro caso abbiamo  k = 1  e  . Avremo allora :

        .

Sostituendo nell'equazione della retta per  Q scritta sopra, ricaviamo :

        .

Questa è l'equazione della retta tangente  t  all'iperbole nel suo punto  Q .

Tale retta passa per  Q  ma non passa in generale per  P . Perché passi anche per  P  occorre che le coordinate di  
  ne soddisfino l'equazione, cioè, sostituendo, si deve avere : 

        .

Questa è un'equazione in  che, risolta, fornisce le ascisse dei punti di tangenza   , .

Moltiplicando ambo i membri per    otteniamo : 

       

e, eliminando le parentesi al secondo membro :

        .

Portando i termini del secondo membro nel primo e semplificando abbiamo :

       

che costituisce una semplice equazione di secondo grado in  .

Applicando al formula risolutiva ricaviamo infine :

        .

I due valori trovati rappresentano le ascisse dei punti di tangenza   ,   .

Lasciamo al lettore il compito di ricavare esplicitamente le equazioni delle rette tangenti   ,   

13 - Esercizio.

Sia data la parabola di equazione  e l'iperbole equilatera di equazione   .

Si determini la retta tangente  ad entrambe le curve (evidentemente, tale retta è unica).

Graficamente :

       

Per risolvere questo esercizio, troviamo l'equazione della retta    tangente alla parabola in un suo punto qualunque 
  , e l'equazione della retta    tangente all'iperbole in un suo punto qualunque

Graficamente :

       

Trovate le rette tangenti  (alla parabola) e  (all'iperbole), imponiamo che esse siano coincidenti, cioè che siano 
una stessa retta, quindi contemporaneamente tangenti alle due curve.

Sia    l'ascissa di    e sia  l'ascissa di  . Ovviamente  e    sono due numeri qualsiasi.

Graficamente :

       

Le coordinate di    e  , essendo punti rispettivamente della parabola e dell'iperbole, dovranno soddisfarne le 
equazioni. Avremo allora :

       

e :

        .

L'equazioni della generica retta  passante per    è :

       

mentre l'equazioni della generica retta  passante per    è :

       

dove    e    sono generici coefficienti angolari.

Graficamente :

       

Ma una retta tangente ad una curva in un suo punto ha il coefficiente angolare uguale alla pendenza (la derivata
della curva in quel punto. 

La pendenza della parabola    in un suo punto di ascissa  x  è, come ben sappiamo :

       

e la pendenza dell'iperbole    in un suo punto di ascissa  x  è :

        .

Le equazioni delle rette tangenti    e    si ottengono infine eguagliando i loro coefficienti angolari alle pendenze 
scritte sopra e calcolate nei punti di tangenza. 

Abbiamo perciò per  :

       

cioè :

       

e :

       

ovvero infine :

        .

Abbiamo per  :

         

cioè :

       

e :

         

e :

        

ovvero infine :

        .

Abbiamo ottenuto le equazioni delle rette tangenti nella forma    (forma esplicita).

A questo punto imponiamo alle due rette tangenti di essere coincidenti (uguali). Per fare questo basta imporre 
che i due coefficienti angolari siano uguali ed allo stesso tempo che le due ordinate all'origine siano uguali
Così da due rette diverse otteniamo una stessa retta.

Poniamo perciò alle equazioni di     e  , che riscriviamo per comodità :

       
        ,

le condizioni :

         

in quanto :

        il coefficiente angolare di    è  ,  il coefficiente angolare di    è  , 

        l'ordinata all'origine di  è    , l'ordinata all'origine di    è  .

Abbiamo quindi ricavato un sistema di due equazioni e due incognite risolvendo il quale determiniamo le incognite  
che poi, sostituite nelle equazioni di    e  , determinano definitivamente l'equazione della tangente    
cercata.  

Risolviamo il sistema.

Ricaviamo per questo dalla prima equazione l'incognita  . Essa risulta :  

        .

Sostituendo questo valore nella seconda equazione otteniamo :

       

ovvero :

        .

Questa è una equazione nell'incognita    che risolviamo moltiplicando ambo i membri per  . Otteniamo perciò :

       

ovvero, semplificando :

       

cioè :

          .

Questa equazione di terzo grado fornisce la sola soluzione :

        .

Sostituendo in    otteniamo anche l'incognita  .

Essa vale :

       

ovvero :

        .

Lasciamo al lettore la determinazione finale dell'equazione della retta tangente  .

Lasciamo al lettore anche l'interessante discussione di una possibile tangente "impropria" nell'origine  .

Fine.

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