E-school  di  Arrigo Amadori

Tutorial di matematica

Funzioni reali notevoli : l'iperbole equilatera (3' parte)


09 - Esercizio.

Siano date la retta    e l'iperbole equilatera  che si incontrano nei punti  A  e  B  (l'ascissa di  A  
sia minore di quella di  B ). Si prenda una retta verticale    dove il parametro  t  è un numero reale qualsiasi 
compreso fra l'ascissa di  A  e l'ascissa di  B  (comprendendo le stesse). Siano  C  e  D  rispettivamente i punti 
d'incontro della retta     con la retta data e con l'iperbole. Si determini il valore del parametro  t  per cui l'area 
del triangolo OCD  sia massima, ovvero, in simboli, per cui sia : 

        ,  

dove  S( ... )  indica l'area della  superficie,  O  è il vertice del sistema di assi cartesiani  Oxy  a cui si riferiscono le 
curve, e  max  indica simbolicamente il valore massimo.

Graficamente :

       

E' chiaro che al variare di  t  la retta verticale incontra le curve in punti diversi per cui l'area del triangolo  OCD  
cambia di conseguenza in funzione di  t . L'area del triangolo  OCD  è allora una funzione di  t , cioè :

        . 

Graficamente :

       

Questo problema appartiene alla categoria dei problemi di massimo e minimo, problemi che in matematica 
rivestono grande importanza. In questi problemi vi è di solito un parametro che varia ed una grandezza (una 
lunghezza, un'area, un volume ecc.) che varia di conseguenza e si chiede di individuare se e quando questa 
grandezza assume valori minimi o massimi. 

E' chiaro che quando la retta    passa per  A  o per  B  l'area del triangolo  OCD  si annulla.

Troviamo innanzi tutto le coordinate dei punti  A  e  B  risolvendo il sistema :

        .

Esso fornisce l'equazione :

       

che si semplifica moltiplicando ambo i membri per  x  (che è diverso da  0 in quanto in  0  l'iperbole non esiste) :

        ,

sottraendo ad ambo i membri  1 :

       

e moltiplicando ambo i membri per  -1 :

        .

Questa equazione di secondo grado si risolve con la nota formula ottenendo :

        .

I punti cercati sono allora :

        ,  .

Si noti che per l'ascissa di  A  abbiamo preso il segno meno e che abbiamo calcolato le ordinate semplicemente 
ricordando che  ( 1  fratto una frazione equivale alla frazione "invertita").

Siccome la retta verticale    non deve sorpassare  A  a sinistra e  B  a destra, avremo la limitazione per la scelta 
del parametro  t :

         

dove    , ..

Per calcolare l'area del triangolo  OCD  basta conoscere la base  CD  e l'altezza  OH  indicata nel grafico :

       

Si noti che un triangolo ha tre basi e tre altezze relative e che un'altezza può essere anche esterna al triangolo. La 
opportunità della scelta della base  CD  e della relativa altezza  OH  è qui evidente. 

Le coordinate dei punti  C e  D  sono determinabili immediatamente. Si ha :

        , .

Si deduce allora che :

         

e che :

        OH = t .

L'area cercata sarà allora :

       

(base per altezza diviso due).

Semplificando, si ottiene :

        .

Questa funzione è evidentemente una parabola con concavità rivolta verso il basso (rispetto al sistema di assi cartesiani  
0tS ). Il suo vertice è :

          (l'ordinata non ci interessa) . 

L'ordinata all'origine è    e le ascisse dei punti di intersezioni con l'asse delle  t  sono dati dall'equazione : 

       

ovvero, moltiplicando ambo i membri per  -2 , da  :

       

che fornisce (come già abbiamo visto sopra in  x ) :

        .

Il grafico della parabola è allora :

       

La parabola descrive l'andamento dell'area del triangolo  OCD  al variare di  t  che, come sappiamo, deve essere 
preso in modo che :

          .

D'altra parte i valori     ,    sono esattamente le ascisse dei punti d'incontro fra la parabola e l'asse 
delle  t  per cui in questi punti l'area si annulla, come sappiamo già che deve essere. 

La ricerca del massimo dell'area  S  va quindi limitata a quell'intervallo. Risulta quindi evidente che il punto  V  
(il vertice della parabola, qui il punto della parabola al quale corrisponde il massimo valore dell'ordinata) soddisfa 
tale requisito, per cui possiamo affermare che il valore massimo dell'area del triangolo  OCD  è raggiunto quando :

          ,

appunto l'ascissa del vertice  V .

Si noti che il valore di  t  che "massimizza" l'area corrisponde alla posizione intermedia fra i punti  A  e  B (questo 
risultato è del tutto casuale e non costituisce ovviamente alcuna regola).

10 - Esercizio.

Siano date la parabola    e l'iperbole equilatera   . Si prenda una retta orizzontale    dove il 
parametro  t  è un numero reale qualunque  > 1 . Tale retta incontra la parabola nei punti  A  e  B  (l'ascissa di  
A  sia minore di quella di  B ) e l'iperbole nel punto  C . Si determini per quale valore del parametro  t  si ha 
che il segmento  AC  è doppio del segmento  CB , ovvero che :

        .

Graficamente :

       

Si noti che, dovendo essere  t > 1 , la retta    si trova sempre al di sopra della retta  y = 1 .

Le coordinate dei punti  A , B , C  sono ricavabili direttamente e valgono :

        , ,  

in quanto per  A  e  B  si ha :

          

mentre per  C  si ha :

           .

Si ottiene allora che :

         

e :

         

ed, evidentemente, entrambe sono lunghezze dipendenti dal parametro  t .

Affinché si abbia, come richiesto,  , basta porre :

       

ovvero :

       

da cui, sommando ad ambo i membri  , si ricava :

       

e, sommando il primo termine col terzo ed il secondo col quarto :

         

cioè, moltiplicando ambo i membri per  -1 :

        .

Si tratta di un'equazione irrazionale (perché contiene l'incognita  t  sotto radice) e fratta (perché contiene l'incognita 
al denominatore). Per tali equazioni non esiste una formula generale di risoluzione per cui bisogna valutare caso per caso 
una possibile strategia risolutiva. In questo caso molto semplice, conviene separare i due termini ottenendo :

       

(abbiamo sommato ad ambo i membri  ).

Se moltiplichiamo ambo i membri per  t  (che è diverso da  0 ) otteniamo una forma ancora più semplice :

        .

A questo punto, tenendo sempre presente che  t  è per noi positivo ( > 1 ), eleviamo al quadrato ambo i membri :

       

(se due numeri positivi sono uguali lo saranno anche i loro quadrati) che fornisce :

        .

Abbiamo così ottenuto una semplice equazione algebrica di terzo grado che si risolve immediatamente facendo la radice 
cubica di ambo i membri. Otteniamo allora :

        .

Questo è il valore cercato per cui si ha  . Esso vale approssimativamente  2,08 .

11 - Pendenza dell'iperbole equilatera.

La pendenza dell'iperbole equilatera    in un suo punto  P , così come per ogni altra curva, è data dalla 
pendenza della retta tangente ad essa in  P . Indichiamo con  t  tale retta tangente.

Per esempio, nel caso di  k > 0 (tutto ciò che segue vale anche, "mutatis mutandis", per  k < 0 ) :

       

La retta tangente nel punto  P  all'iperbole equilatera (così come per ogni altro tipo di curva, lo ribadiamo) è ottenibile 
come passaggio al limite di una retta secante, sempre passante per  P , così come illustrato nel grafico : 

       

Nel grafico, la secante  s  passante per  P  e  Q  viene fatta spostare via via in modo che il punto  Q  tenda a 
sovrapporsi al punto  P . In questo modo la retta secante  s  diventa la retta tangente  t  all'iperbole in  P .

Calcoliamo ora la pendenza della retta secante  s  considerando che l'ascissa di  P  sia    e quella di  Q  sia  
.

Nel grafico :

       

Il numero  h  è detto incremento della  x  .

E' immediato affermare che l'ordinata di  P  è    e quella di  Q  è  . Graficamente abbiamo :

       

Notando che  HQ = h  , possiamo sicuramente affermare che la pendenza della retta  s  è : 

        ,

essendo il numeratore    pari alla la lunghezza del segmento  HP  dotata, in questo caso, del segno meno, 
dato che la pendenza di  s  è qui negativa (infatti, se  k > 0  e  h > 0 ,   ) .

L'espressione della pendenza di  s  scritta sopra può essere semplificata nel seguente modo :

        .

Per ricavare la pendenza della retta tangente  t  all'iperbole in  P  , ovvero la pendenza dell'iperbole in  P , basta 
eseguire il limite per    dell'espressione che rappresenta la pendenza della secante calcolata sopra. Il perché di 
questo risulta chiaro osservando il grafico :

       

E' chiaro che, quando la retta secante tende a diventare tangente, il valore dell'incremento  h  tende a  0 .

Scriveremo allora che la pendenza della retta tangente  t  all'iperbole nel suo punto  P , ovvero la pendenza della 
curva stessa in  P , vale :

        .

Tale limite è di immediata intuitiva soluzione (basta sostituire ad  h  il valore  0 ). Esso fornisce :

        .

Un altro modo universalmente conosciuto di denominare ed indicare più proficuamente la pendenza dell'iperbole 
(ed in generale di ogni altra curva) è tramite il concetto di derivata. Possiamo scrivere :

         

dove  f  indica la funzione in oggetto (l'iperbole equilatera) e l'apice indica la derivata (ovvero la pendenza).

Se consideriamo l'ascissa di  P  pari a  x , la pendenza dell'iperbole sarà in  P :

        .

E' chiaro che al variare di  x  la pendenza dell'iperbole equilatera cambia. Per esempio, sempre nel caso di  k > 0 :

       

Possiamo facilmente renderci conto che :

        se  k > 0  la pendenza è sempre negativa e si ha :

                per  x  tendente a    la pendenza tende a  0 

                per  x  tendente a  0  per valori positivi la pendenza tende a   

                per  x  tendente a  0  per valori negativi la pendenza tende a 

                per  x  tendente a    la pendenza tende a  0 

Riassumendo graficamente (dove il valore della pendenza  y'  punto per punto è dato dalla funzione in rosso) :

       

        se  k < 0  la pendenza è sempre positiva e si ha :

                per  x  tendente a    la pendenza tende a  0 

                per  x  tendente a  0  per valori positivi la pendenza tende a   

                per  x  tendente a  0  per valori negativi la pendenza tende a 

                per  x  tendente a    la pendenza tende a  0 

Riassumendo graficamente (dove il valore della pendenza  y'  punto per punto è dato dalla funzione in rosso) :

       

Fine.

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