E-school  di  Arrigo Amadori

Tutorial di matematica

Funzioni reali notevoli : l'iperbole equilatera (2' parte)


05 - Esercizio.

Consideriamo un'iperbole equilatera definita rispetto al sistema di assi cartesiani ortogonali  0'x'y' (che chiameremo 
per brevità sistema  S' ). La sua equazione è ovviamente :

       

dove  k  è un numero reale qualunque, per esempio positivo. Il suo grafico è :

       

Introduciamo un altro sistema di assi cartesiani ortogonali paralleli ed equiversi (con il verso degli assi concorde 
con il precedente sistema  S' ) al precedente che chiameremo  0xy  o, più brevemente, sistema  S . Graficamente :

       

E' chiaro che l'equazione dell'iperbole rispetto al sistema  S  è diversa da quella rispetto al sistema  S'  scritta 
sopra.

Supponiamo che le coordinate del punto  0'  rispetto al sistema  S  siano  (a,b) , dove  a  e  b  sono numeri reali 
qualunque. Graficamente :

       

Ci chiediamo quale sia l'equazione dell'iperbole rispetto al sistema  S

Per fare questo occorre conoscere le relazioni matematiche che intercorrono fra le coordinate  x, y  del sistema  
S  e le corrispondenti coordinate  x', y'  del sistema  S' . In una più "significativa" espressione, diciamo che ci serve 
conoscere l'equazione della trasformazione delle coordinate da un sistema di riferimento all'altro.

Tale trasformazione è qui una traslazione (parallela) di assi, in quanto gli assi risultano appunto traslati parallelamente 
ma non ruotati. Trasformazioni più generali, quali le rototraslazioni, ovvero combinazioni di traslazioni e rotazioni, 
saranno prese in considerazioni più avanti in questo corso. Le rototraslazioni, di cui portiamo qui un esempio :

       

hanno equazioni più complesse che coinvolgono la trigonometria.

Ma torniamo alla nostra traslazione. Osservando il grafico riassuntivo in cui abbiamo posto un punto  P  qualunque :

       

risulta chiaro che l'equazione della traslazione è (si può dire anche al plurale, "le equazioni della traslazione sono") :

       

ovvero :

        .

Queste semplici relazioni di primo grado esprimono come sono legate matematicamente le coordinate nei due 
sistemi.

Si noti che uno stesso punto  P  ha coordinate diverse a seconda del sistema di riferimento a cui esso è riferito
cioè, nel nostro caso, come indicato nel grafico, rispetto ad  S  si ha :

        P(x,y)

mentre rispetto ad  S'  si ha :

        P(x',y') .

A questo punto, se sostituiamo nell'equazione di partenza dell'iperbole    le espressioni che danno le  x', y'  
in funzione delle  x, y  (il secondo sistema scritto sopra), otteniamo :

       

che rappresenta l'equazione cercata dell'iperbole in funzione delle coordinate del sistema  S , ovvero di  x  e  y .

Semplificando, abbiamo :

       

e (facendo, tramite il minimo comune multiplo dei denominatori, un'unica frazione) :

       

ed infine (calcolando la moltiplicazione ed ordinando) :

        .

Questa è l'equazione cercata definitivamente semplificata. 

Si noti che tale equazione (rispetto ad  x  e  y ) è significativamente diversa dall'equazione di partenza in  x'  e  y'  
ad esprimere che la stessa iperbole, cambiando sistema di riferimento, cambia equazione. Questo è un risultato 
generale che vale per ogni curva

        cambiando il sistema di riferimento, l'equazione di una curva cambia.

Un'iperbole equilatera, vista da un sistema di riferimento traslato, si chiama iperbole omografica

L'equazione dell'iperbole omografica differisce sostanzialmente dall'equazione dell'iperbole equilatera per presentare 
la  x  anche al numeratore. In ogni modo, la  x  è presente solo al primo grado.

06 - Esercizio.

Trovare i punti d'incontro fra l'iperbole equilatera di equazione :

          

e la parabola di equazione :

        .

Il vertice della parabola è    (lasciamo al lettore la facile verifica di questo risultato) e la sua ordinata 
all'origine è  . I vertici dell'iperbole sono  e  . I grafici delle due curve risultano allora :

       
(si vede già dal disegno che due dei tre punti di intersezione cercati probabilmente coincidono con i vertici 
dell'iperbole !!)

Per determinare algebricamente i punti d'incontro fra le due curve basta risolvere il sistema fra le loro 
equazioni. Questo fatto vale in generale per qualunque tipo di curva e non ci stancheremo mai di ripeterlo !!!

Il sistema è allora :

       

che conduce, eguagliando le  y , all'equazione :

        .

Tale equazione può essere semplificata moltiplicando ambo i membri per  x :

        ,

sommando ad ambo i membri  -1 :

         

e moltiplicando ambo i membri per  - 3 :

        .

Questa è un'equazione algebrica (cioè formata da un polinomio uguagliato a 0) di terzo grado che fornisce in 
generale tre soluzioni che però possono non essere tutte reali. Se, per esempio, la parabola avesse il vertice 
sotto l'asse delle  x  (ordinata del vertice negativa) vi sarebbe un solo punto d'incontro con l'iperbole cioè, che 
è la stessa cosa, l'equazione avrebbe una sola soluzione reale e due non reali (complesse) ma sempre in numero 
complessivo di tre così come è il grado dell'equazione.

Per risolvere un'equazione algebrica di terzo grado vi è una formula generale contenente radicali (così come per 
quelle di secondo grado). Tale formula è però molto complicata per cui non la enunceremo né useremo. 

Per la "curiosità" del lettore, occorre sapere che esistono formule risolutive generali per radicali fino al quarto grado 
compreso. Per le equazioni dal quinto grado compreso in su non esistono (non possono esistere !!) formule generali 
per radicali che abbiano un numero finito di termini. 

Risolveremo allora l'equazione    con qualche "artifizio".

La riscriviamo nel seguente modo :

       

ed ancora, raccogliendo, come si dice, a fattor comune il termine (x - 3) :

        .

Orbene, un prodotto è nullo quando è nullo almeno uno dei suoi fattori. Per questo otteniamo le equazioni :

       

e/o :

        .

La prima fornisce :

        x = 3

e la seconda :

        .

Questi tre valori della  x  , -1 , 1 , 3 , costituiscono le tre ascisse dei punti d'incontro fra l'iperbole e la 
parabola. Il calcolo delle relative ordinate è immediato e fornisce nell'ordine -1, 1, 1/3 .

Si noti che questo risultato algebrico corrisponde esattamente a ciò che avevamo "previsto", "intuito", 
geometricamente semplicemente osservando il grafico. L' "anima" della geometria analitica sta proprio
nella doppia possibilità, algebrica e geometrica, di analizzare un problema e tale doppia possibilità 
fornisce sempre la possibilità di una verifica "incrociata" dei risultati. 

07 - Esercizio.

Sia data la funzione :

          con  .

Si tratta di un fascio (si dice anche famiglia) di parabole ovvero di un insieme di parabole determinate dai vari 
valori che il parametro (ovvero un numero non "specificato") reale  t  può assumere da    a    con esclusione 
del valore 0  perché per tale valore si avrebbe la divisione per  0 , cosa non permessa.

Il fatto che siamo in presenza di parabole lo si deduce semplicemente confrontando la suddetta equazione con 
la ben nota equazione della parabola generica :

        .

Facendo questo confronto ricaviamo immediatamente che :

         
         
         

da cui si vede che i coefficienti del nostro fascio di parabole dipendono ovviamente dal parametro  t . 

Si noti anche che tutte le parabole di questo fascio passano per l'origine perché l'ordinata all'origine (il termine  c )
di tutte le suddette parabole è identicamente nullo indipendentemente dalla scelta del parametro  t  (infatti  c = 0 ).

Siamo quindi in presenza di infinte parabole ciascuna determinata da un certo valore del parametro  t . Nel 
grafico seguente abbiano tracciato due di queste parabole per i valori  t = 1  e  t = 2 :

       

Quello che si chiede in questo esercizio è determinare il luogo geometrico (o semplicemente il luogo) del vertice 
delle parabole del fascio, cioè, in altre parole, di individuare la linea, la curva, che il vertice "percorre" al variare 
del parametro  t .

Il vertice, come vedremo fra un attimo, dipende dal parametro  t  perché i coefficienti dell'equazione del fascio di 
parabole dipendono da  t . Per questo motivo, al variare di  t  il vertice varia, si "muove", descrivendo una linea,
il luogo geometrico del vertice appunto. Dobbiamo determinare allora questo "movimento", questa curva 
determinata dal vertice.

Questi tipi di problemi, con fasci di curve e luoghi geometrici, sono molto "belli", oltre che utili, e con essi la matematica, 
in un certo senso, si ... anima.

Le coordinate del vertice di una generica parabola sono :

       

dove con  f(...) , ricordiamolo, intendiamo "sostituire l'ascissa del vertice nella  x  della funzione, fare i calcoli, e 
trovare la  y " (essendo  V  un punto della parabola per cui le sue coordinate ne devono soddisfare l'equazione).

Nel nostro caso abbiamo allora :

       

ovvero :

        .

Le coordinate del vertice delle parabole del fascio dipendono quindi dal parametro  t nel modo appena individuato. 
Abbiamo per esempio :

        t = 1  ==> V(1 , 1)

        t = 2  ==> V(2 , 1/2)

        t = -1 ==> V(-1 , -1)  ecc. ecc. 

Osservando la forma matematica del vertice si intuisce subito che il prodotto delle coordinate è costantemente  1 . 
Questo significa che il luogo geometrico del vertice, la curva cercata, è l'iperbole equilatera :

        .

Più analiticamente, possiamo scrivere le coordinate del vertice  V  nel seguente modo :

        .

Sostituendo nella seconda equazione il termine  t = x , otteniamo appunto  . In questo modo abbiamo 
ricavato, con un procedimento generale che utilizzeremo di regola nel proseguo di questo corso, l'equazione 
cercata.

Riportiamo infine un grafico, ottenuto al computer dando al parametro  t  valori da  - 3  a  3 intervallati da un 
termine pari a  0,4 , in cui il fascio di parabole "prende forma" e se ne può gustare la "dinamicità" e l' "armonia" :

       
(il luogo geometrico del vertice è tracciato in blu)

08 - Esercizio.

Consideriamo il fascio di rette di equazione    dove  m  è un parametro reale positivo. Consideriamo 
anche l'iperbole equilatera di equazione    . Si determini il luogo geometrico del punto medio del segmento 
determinato dall'intersezione delle rette del fascio con l'iperbole.

Il fatto che l'equazione    rappresenti un fascio (insieme, famiglia) di rette è evidente se confrontiamo 
tale equazione con l'equazione di una retta generica  . Avremo allora che il coefficiente angolare delle 
singole rette del fascio vale  m  e l'ordinata all'origine vale  . 

Per ogni dato valore di  m  (positivo) si verrà ad individuare una ben precisa retta del fascio. Nel seguente grafico 
abbiamo mostrato le rette per   m = 1 , m = 2 , ... , m = 10 . Abbiamo indicato anche la retta per  m = 0 , ovvero la 
retta di equazione  y = 0  (cioè l'asse delle  x ), pur avendo posto  m > 0  : 

       

Si noti che al crescere di  m  il coefficiente angolare  m  (stesso) delle rette del fascio cresce (cioè le rette aumentano 
di pendenza) mentre l'ordinata all'origine    cresce negativamente, ma più velocemente (come un quadrato,  -1 , 
-4 , -9 , ... ). Si noti anche che il punto di intersezione fra le rette del fascio e l'asse delle  x  ha coordinate  (m , 0) .
Per vedere questo basta risolvere il sistema :

       

che fornisce l'equazione :

       

ovvero :

       

cioè, dividendo ambo i membri per  m , appunto :

        x = m  .

Si noti allora la "dinamica" (sarebbe meglio dire ... cinematica ...) del fascio per  m  che assume valori da  0  in su 
(da  0  a  ) : 

        si tratta di rette che, a partire dalla retta orizzontale  y = 0 , si "alzano" sempre più e si "allontanano" sempre più 
        verso destra.

Al tendere di  m  all'infinito, la retta del fascio si allontanerà all'infinito (positivo, a destra) e tenderà a diventare verticale. 
Infatti, quando il coefficiente angolare di una retta tende all'infinito, la retta tende a diventare verticale, cioè una retta di 
equazione  x = k . Potremmo allora affermare che nel nostro caso, per  , la retta del fascio tende all'equazione  
  (ovviamente,    non è un numero, per cui questa affermazione è squisitamente "intuitiva"). 

       

    (il simbolismo grafico è chiaro)

Mostriamo, a mo' di esempio, anche il grafico del fascio in cui sono stati scelti valori di  m  più "fini" (per esempio 
da  0  a  10  con passo  0,2 ) si ottiene :

       

Consideriamo ora come le rette del fascio intersecano l'iperbole. Ovviamente per ogni retta del fascio si avranno due 
punti
di intersezione che formeranno un segmento. Chiameremo tali punti  A  e  B  con l'avvertenza di considerare  A  
il punto con ascissa minore (quindi a sinistra di  B ).

Si determinerà perciò per ogni valore di  m  un segmento  AB  in "movimento". Il suo punto medio  M , movendosi 
di conseguenza, traccerà a sua volta una linea, il luogo geometrico del punto medio.

Tutto ciò è rappresentato dal grafico :

       

        (i punti  A , A' , A'' ... ed i punti  B , B' , B'' ... si hanno per  m = 1 , 2 , 3 , ... )

Per determinare l'equazione del luogo geometrico del punto medio basta trovare le coordinate di  A  e  B , calcolare 
le coordinate del punto medio ed infine eliminare il parametro  m  in modo che si ottenga l'equazione del luogo 
nella forma  y = f(x) .

Per trovare  A  e  B  basta risolvere il sistema fra il fascio di rette e l'iperbole, cioè il sistema :

        .

Uguagliando le  y  ricaviamo :

       

da cui, moltiplicando ambo i membri per  x :

       

ovvero, sottraendo  1  ad ambo i membri :

         .

Questa è una equazione di secondo grado in  x  i cui coefficienti sono termini che contengono il parametro  m .

Ricordando ancora una volta che le soluzioni dell'equazione generica di secondo grado :

         

sono :

        ,

ricaviamo nel nostro caso (essendo  ) :

       

che per brevità scriveremo :

       

avendo posto :

        .

Le coordinate di  A  e  B  saranno allora :

          ; .

L'ascissa di  A  presenta il segno  -  perché  A  è a sinistra di  B . Le ordinate sono state determinate immediatamente 
sostituendo le ascisse nella  x  nell'equazione  (basta perciò "capovolgere" le ascisse).

Le coordinate del punto medio  M  del segmento  AB  si determinano facendo le semisomme, cioè :

       

(il simbolismo è evidente).

Sostituendo i valori precedentemente calcolati di  A  e  B  ricaviamo :

        .

Con semplici passaggi otteniamo :

       

       

       

       

       

ed infine, ricordando che  :

       

e quindi :

       

ovvero :

        .

Queste sono le coordinate semplificate ai minimi termini del punto medio  M  del segmento  AB  in funzione del 
parametro  m .

A questo punto siamo in grado di trovare l'equazione del luogo geometrico tracciato dal punto medio  M  nel suo 
movimento al variare del parametro  m . Per fare questo basta eliminare il parametro dal sistema che otteniamo
esplicitando la  x  e la  y  di  M . 

Tale sistema è :

       

e possiamo, per esempio, ricavare  m  dalla prima equazione e sostituirla nella seconda. Troviamo cioè dalla prima :

        m = 2x

per cui, sostituendolo nella seconda, avremo allora :

       

cioè in definitiva :

        .

Questa, che è una parabola rivolta verso il basso, è l'equazione del luogo geometrico cercato.

Si noti che questo procedimento di eliminazione del parametro è il procedimento tipico in questi tipi di problema. 

Si noti (come è giusto che sia) anche la corrispondenza fra il risultato algebrico con il grafico disegnato sopra.

Fine.

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