E-school  di  Arrigo Amadori

Tutorial di matematica

Funzioni reali notevoli : l'iperbole equilatera (1' parte)


01 - Equazione dell'iperbole equilatera e principali proprietà.

Consideriamo la funzione :

       

dove  k è un numero reale diverso da  0  dato a priori ed  x  può assumere valori reali diversi da  0  (cioè deve 
essere    perché non si può dividere per  0  !!!).

Una tale funzione è atta a rappresentare grandezze inversamente proporzionali che si caratterizzano dall'avere 
prodotto costante. Infatti, moltiplicando ambo i membri della funzione per  x  si ottiene la formula :

         

che rappresenta appunto un prodotto costante  ( k )  fra le grandezze variabili  x  e  y .

Grandezze per cui il rapporto è costante, ovvero grandezze per cui :

         

sono dette invece grandezze direttamente proporzionali e sono rappresentate nel piano cartesiano, come è ovvio 
che sia, da rette passanti per l'origine (lasciamo al lettore volenteroso la dimostrazione di questo fatto).

La curva che rappresenta il grafico della funzione    si chiama iperbole equilatera

Disegniamola ora per il semplice caso  k = 1 , cioè disegniamo la funzione :

         

ottenendola per punti dando alla variabile indipendente  x  opportuni valori :

       

Osservando il grafico notiamo che l'iperbole equilatera possiede molte simmetrie. Innanzitutto essa è costituita 
da due rami che sono simmetrici rispetto all'origine, ovvero ogni retta che passa per l'origine intercetta sui due 
rami segmenti uguali :

       

Si ha cioè :

        OA = OB

e la dimostrazione analitica di ciò è ottenibile facilmente ricavando le coordinate dei punti A  e  B  tramite il sistema 
fra l'iperbole (si può per brevità omettere l'aggettivo equilatera) e la generica retta passante per l'origine. Naturalmente
questa simmetria vale anche per qualunque altro valore di  k .

Un altro fatto molto interessante è che i rettangoli che si ottengono per qualunque valore di  x  hanno tutti la stessa 
area  xy = 1 :

       

In una generica iperbole    queste aree saranno ovviamente pari a  k .

Disegniamo ora l'iperbole per  k = 2 , ovvero la funzione  :

       

(confrontata con l'iperbole  ). Si vede bene dal grafico che aumentando il valore di  k  si ottengono iperboli 
che si "allontanano" sempre più dall'origine. 

Ecco qui i grafici di iperboli con diversi valori di  k ( da  1  a  10 ) :

       

Tutte le iperboli equilatere hanno la fondamentale proprietà di avvicinarsi sempre di più ai due assi coordinati
Consideriamo la generica iperbole con  k  positivo (ogni considerazione che faremo varrà anche con  k  negativo 
con le dovute inversioni dei rami dell'iperbole):

       

il cui grafico è :

       

Quando la  x  va a    , l'iperbole si avvicina sempre più all'asse delle  x  decrescendo, mentre quando la  x  
si avvicina a  0  da destra (per valori maggiori di  0 ) l'iperbole si avvicina sempre più all'asse delle  y  crescendo. 
Analogamente quando la  x  va a    ed a  0  da sinistra (per valori minori di  0 ). Possiamo riassumere tutto 
ciò utilizzando il concetto di limite :

       

(i simboli  0+  e  0-  significano rispettivamente che la  x  si avvicina a  0  da destra, cioè per valori maggiori di  0 ,
e che la  x  si avvicina a  0  da sinistra, cioè per valori minori di  0 )

L'asse delle  x , di equazione  y = 0 ,  si chiama asintoto orizzontale mentre l'asse delle  y  , di equazione  x = 0 , 
si chiama asintoto verticale :

       

Un'altra fondamentale proprietà dell'iperbole equilatera è di essere simmetrica rispetto alla retta bisettrice del  
I  e  III  quadrante, cioè la retta di equazione  y = x :

       

Questa simmetria fornisce il fatto che :

        AH = HB

dove i punti  A  e  B  sono individuati da una generica retta perpendicolare alla retta bisettrice  y = x  (lasciamo al 
lettore interessato l'interessante esercizio di dimostrare questo asserto).

Vi è anche una simmetria rispetto alla bisettrice del  II  e  IV  quadrante, la retta  y = -x , che qui non prendiamo in 
considerazione.

I punti di incontro fra l'iperbole equilatera e la bisettrice  y = x  si chiamano vertici dell'iperbole :

       

essi si individuano risolvendo il sistema :

       

che, uguagliando, fornisce la semplice equazione :

       

ovvero :

       

che è una equazione di secondo grado le cui soluzioni sono :

       

(ricordiamo che, come abbiamo posto sopra,  k  è qui positivo).

Le coordinate dei vertici sono allora :

          e  .

Lasciamo ancora una volta al lettore volenteroso di vedere come cambiano le cose nel caso della iperbole con  k  
negativo.

02 - Iperbole equilatera con  k < 0  e  k = 0 .

Facciamo qui alcune precisazioni su come cambia il grafico di una iperbole equilatera di equazione :

       

al variare del segno del parametro  k  ed anche quando esso è nullo.

Se  k  è positivo, i due rami dell'iperbole, come ben sappiamo, sono situati nel  I  e  III  quadrante :

       

Se  k  è negativo, invece, come è immediato verificare dando valori a caso alla  x  (per esempio  1  e  -1 ), i 
due rami cadono nel  II e  IV  quadrante :

       

(se  k  è negativo esso è posizionato nella parte negativa dell'asse delle  y  e  -k  in quella positiva)

E' interessante notare quanto valgono in questo caso le coordinate dei vertici dell'iperbole. Per ricavarle si 
dovrà fare l'intersezione fra l'iperbole e la bisettrice del  II  e  IV  quadrante, cioè la retta di equazione  y = -x . 
Si dovrà risolvere quindi il sistema :

          

dove, ribadiamolo,  k  è negativo.

A conti fatti (lasciamo al lettore il loro sviluppo), si ottiene :

          e 

come è giusto che sia in analogia con il caso di  k > 0 (si noti che se  k  è negativo , -k  è positivo, per cui i radicali 
hanno senso).

Graficamente :

       

Le considerazioni sulle importanti simmetrie fatte per le iperboli con  k  positivo, valgono anche per le iperboli 
con  k negativo. 

Se  k  è nullo, l'iperbole    degenera nella (diventa la) retta

         

che rappresenta l'asse delle  x (si noti l'uso del "significativo" verbo "degenerare").

In verità questo caso è un po' più complicato e lo si può discutere in due modi, uno algebrico ed uno geometrico.

Algebricamente, consideriamo l'equazione dell'iperbole scritta nella forma :

        .

che si ottiene dalla    moltiplicando ambo i membri per  k .

Se vale  k = 0 , l'equazione dell'iperbole diventa :

         

che fornisce :

          ed anche    

(un prodotto è nullo quando uno dei suoi fattori è nullo).

Abbiamo ottenuto così le equazioni degli assi coordinati per cui, se  k = 0 , l'iperbole degenera nei due 
assi coordinati :

       

L'altro modo, quello geometrico, è molto più interessante ed "espressivo". Immaginiamo che  k  tenda a  0  (per 
esempio per valori positivi). Le iperboli, allora, tenderanno ad avvicinarsi sempre più agli assi coordinati fino  
a coincidere con essi quando  k  diventa nullo. Ciò è evidente ed è espresso dal fatto che i due vertici, 
  e    , al tendere di  k  a  0  , tendono a diventare  (0 , 0)  e quindi a coincidere 
con l'origine degli assi cartesiani appunto di coordinate  (0 , 0) :

       
       
       

03 - Verifica simmetria iperbole equilatera rispetto all'origine.

Abbiamo in precedenza affermato che una iperbole è simmetrica rispetto all'origine  0  del sistema di assi 
cartesiani in cui è definita. Questo significa che ogni retta passante per l'origine (eccetto gli assi cartesiani 
stessi che costituiscono gli asintoti dell'iperbole) intercetta sull'iperbole stessa segmenti uguali. Graficamente :

       

L'affermazione è geometricamente "plausibile" ma, come ogni affermazione matematica, deve essere esattamente 
dimostrata. 

Per fare questo consideriamo l'iperbole    con  k  positivo (per  k  negativi valgono analoghi ragionamenti)  
e prendiamo il fascio (l'insieme) delle rette passanti per l'origine  0 . Tali rette hanno equazione  , dove il 
coefficiente angolare  m  assume valori reali positivi (tali rette hanno pendenza positiva), ed incontrano l'iperbole 
data, per un certo valore di  m  , nei due punti  A  e  B :

       

Orbene, se la simmetria con l'origine  0  è vera, deve essere :

        0A = 0B 

per qualunque valore di  m .

Per calcolare le coordinate di  A  e  B  basta fare il sistema fra l'equazione dell'iperbole e l'equazione della generica 
retta passante per  0 :

       

che, uguagliando le  y , fornisce l'equazione :

        .

Per risolverla, basta moltiplicare ambo i membri per  x  :

        ,

dividere ambo i membri per  m :

       

ed estrarre la radice quadrata : 

       

(assegnandole valore positivo e negativo e notando che    è sicuramente positivo).

Il valore    sarà l'ascissa di  B  mentre il valore    sarà l'ascissa di  A .

Per trovare le ordinate  y  , basterà per esempio sostituire i due valori della  x  trovati in una delle equazioni del 
sistema, per esempio nell'equazione  . Otteniamo perciò (in forma sintetica) :

        .

Il valore    può essere scritto meglio portando  m  dentro radice, ottenendo cioè  , per 
cui abbiamo, in modo semplificato :

        .

Il valore    sarà l'ordinata di  B  mentre il valore    sarà l'ordinata di  A . Riassumendo, le coordinate 
di  A  e B sono :

          e  .

A questo punto, la dimostrazione che  0A = 0B  è immediata. Senza effettuare nessun calcolo basta osservare 
che le coordinate di  A  e  B  sono opposte di segno ma uguali in valore assoluto.

04 Verifica simmetria iperbole equilatera rispetto all'asse (dei vertici).

Un'altra importante simmetria dell'iperbole è quella rispetto al suo asse, ovvero alla retta che congiunge i suoi 
vertici. Graficamente :

       

La suddetta simmetria consiste nel fatto che per qualunque retta perpendicolare all'asse (che incontri l'iperbole) 
si determinano segmenti uguali (come indicato in figura), cioè si deve avere :

        AH = HB .

Per dimostrare la verità di questa simmetria, consideriamo l'iperbole    con  k  positivo (per  k  negativi 
valgono analoghi ragionamenti), il suo asse (la retta che congiunge i vertici) che coincide con la retta bisettrice 
del  I  e  III  quadrante di equazione  y = x  ed una qualunque retta perpendicolare al suddetto asse. Tale retta 
perpendicolare ha equazione :

       

dovendo i due coefficienti angolari (dell'asse e della sua perpendicolare) essere antireciproci (cioè avere prodotto  
-1 ) ed essendo  p , l'ordinata all'origine, un numero qualsiasi. Graficamente :


       

Per determinare le coordinate di  A  e  B  basta risolvere il sistema :

       

che fornisce, uguagliando le  y , l'equazione :

        .

Moltiplicando ambo i membri per  x  otteniamo :

       

da cui, sottraendo ad ambo i membri  k :

       

e, cambiando segno moltiplicando ambo i membri per  - 1 :

        .

Si tratta di una semplice equazione di secondo grado in  x  che  fornisce le soluzioni :

       

(abbiamo usato la nota formula risolutrice    dove  a, b , c  sono i coefficienti della generica 
equazione di secondo grado ).

Questi due valori di  x  sono le ascisse dei punti cercati  A  e  B . Per trovare le ordinate basta sostituirli in una 
delle due equazioni del sistema, per esempio in  .

Sostituendo entrambe le  x , otteniamo :

       

da cui, facendo il minimo comune multiplo e stando molto "attenti" al segno  -  davanti alla linea di frazione :

       

e quindi :

        .

Si noti l'utilizzo del simbolo    "meno-più". Quando la  x  assume il segno  + , la corrispondente  y  assume il segno  
-  e viceversa.

I punti  A  e  B  avranno allora le coordinate :

       

e :

         

(si noti la simmetria delle formule !!).

Per determinare le coordinate del punto  H  basta risolvere il sistema :

        .

Si ottiene con calcoli elementari (che lasciamo come esercizio al lettore) :

         

che è un risultato facilmente verificabile geometricamente dati i quadrati e le loro metà che si individuano nel grafico.

A questo punto si possono calcolare le lunghezze dei segmento  AH  e  HB  e verificare che sono uguali. Lasciamo 
al lettore lo sviluppo dei calcoli accontentandoci qui della seguente "prova" geometrica :

       

in quanto i punti  A  e  B , come è immediato osservare, si "scambiano" le coordinate.

Fine.

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