E-school  di  Arrigo Amadori

Tutorial di matematica

Funzioni reali notevoli


Le funzioni numeriche reali rivestono un ruolo fondamentale e centrale in tutto il vasto "edificio"
della matematica. Si tratta delle funzioni :

       

che mettono in corrispondenza i numeri reali che la variabile indipendente  x  può assumere ai 
numeri reali che la variabile dipendente  y  di conseguenza viene ad ottenere.

Il simbolo  f(x)  sta ad indicare, nel caso più semplice e frequente, che alla destra dell'uguale vi è una 
espressione matematica contenente operazioni ed altre funzioni della  x .

Un esempio di funzione (d'ora in poi diremo brevemente "funzione" sottintendendo "numerica reale") 
è :

       

dove sono utilizzate le sole operazioni  +  ,  -  , /  e l'elevamento al quadrato. Un altro esempio è :

       

dove, all'interno della funzione, sono addirittura "richiamate" altre funzioni (in questo caso la funzione 
"esponenziale " (ovvero il numero di Nepero  e  elevato alla ... ) e la funzione "seno" (vedremo più 
avanti le definizioni e le proprietà di queste funzioni)).

Uno degli scopi principali, data una funzione, è di disegnarne il grafico cartesiano. Tramite il grafico
è possibile vedere "immediatamente", a colpo d'occhio, l'andamento della funzione, cosa che non
sarebbe semplice se solo osservassimo l'espressione matematica  f(x)  della funzione stessa.

Per andamento della funzione si intende se essa cresce, cala, dove presenta eventuali punti di massimo,
minimo ecc. ecc. , tutte "preziose "informazioni che "caratterizzano" una funzione.

Uno degli obiettivi di questo corso è quindi, data una funzione, disegnarne il grafico. Tutto ciò va sotto
il nome di studio di funzione.

Data una funzione    ne possiamo quindi visualizzare il grafico semplicemente introducendo
un sistema di assi cartesiani ortogonali  0xy  e su questo disegnando tutte le coppie ordinate  (x,y) 
ottenute dando tutti i possibili valori alla variabile  x  ed associando ad essi, fatti i calcoli indicati 
dall'espressione matematica  f(x) , i corrispondenti valori della  y . Ognuna di queste coppie ordinate 
(x,y)  così ottenuta rappresenta un punto del grafico della funzione. Tali punti, allineati, costituiscono,
nei casi più semplici, una linea :

       

Un numero finito di punti del grafico può essere trovato dando certi valori a caso della  x  e 
calcolando i corrispondenti risultati  y . Può essere utile utilizzare uno schema (tabella) del 
tipo :

       

dove abbiamo scelto per la  x  dei numeri "comodi" ed abbiamo indicato i corrispondenti valori della  
y  scrivendo  f(...) (i puntini stanno per i vari valori della  x ).

Naturalmente non è possibile calcolare tutti gli infiniti valori della  y  in corrispondenza degli infiniti 
valori che la   x  può avere !!! Lo studio di funzione non consiste nel disegnare una funzione per punti 
ma, tramite opportune analisi e considerazioni (che vedremo in seguito), nel determinarne l'andamento 
utilizzando solo pochi punti "salienti". Comunque, con l'avvento dei computers, è possibile calcolare e 
di conseguenza disegnare una gran quantità di punti. Le tecniche di calcolo numerico computerizzato 
ci forniscono quindi un valido aiuto.

Per il suddetto grafico esemplificativo, considerando i punti dello schema, avremo :

       

Riportiamo per "curiosità" il grafico della prima funzione data sopra (   ) :

       

e quello della seconda (  ) :

       

(i grafici sono stati ottenuti utilizzando il programma di calcolo numerico  grafico funzione )

Osservando l' "eleganza" e la "bellezza" di questi grafici, possiamo già da subito avvertire quanto lo 
studio di funzione sia una materia "affascinante" oltre che utile !!
 
Cominciamo ora a studiare un certo numero di funzioni notevoli di particolare importanza che 
costituiscono una sorta di "scatola degli attrezzi" del matematico e che quindi dovremo conoscere 
bene perché le utilizzeremo continuamente.

Fine.

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