E-school  di  Arrigo Amadori

Tutorial di matematica

Funzioni reali notevoli : funzione esponenziale (7' parte)

15 - La semplice equazione differenziale  .

In matematica vi sono equazioni le cui soluzioni non sono semplici numeri ma funzioni. 

Se una equazione contiene come incognita una funzione assieme alla sua derivata, essa viene chiamata equazione differenziale. Possono essere presenti anche le derivate delle derivate (derivate successive), ma rimaniamo qui al caso più semplice.

L'equazione differenziale più semplice è un'equazione che contiene una funzione come incognita e la sua derivata. 

Se la funzione incognita è :

e la sua derivata è :

oppure, in altra forma :

        ,

allora la più semplice equazione differenziale è quindi esprimibile dalla scrittura :

dove con    intendiamo una qualunque "espressione" matematica contenente le variabili  , .

Per esempio :

        .

Si tratta quindi di trovare la funzione incognita  sapendo che essa e la sua derivata    soddisfano l'equazione differenziale scritta sopra. 

Siccome sia    che    sono "espressioni" matematiche che contengono la variabile   , sostituendo nell'equazione differenziale, si devono perciò ricavare due espressioni identiche, cioè si deve avere :

        .

La risoluzione di un'equazione differenziale è di solito un problema difficile, se non addirittura impossibile in modo esatto. Si ricorre quindi di norma a soluzioni approssimate numericamente al computer. 

Una soluzione approssimata dell'esempio    è la funzione :

In alcuni casi, invece, le equazioni differenziali possono essere risolte in modo esatto come per la semplice equazione differenziale :

che ci proponiamo di studiare in questo paragrafo e che riveste una particolare importanza nelle applicazioni fisiche.

L'equazione differenziale in questione può essere scritta anche nella forma :

        .

Si tratta di trovare una funzione    la cui derivata    uguagli la funzione stessa.

Una tale funzione è, come ben sappiamo, la funzione esponenziale :

         .

Infatti, per questa funzione si ha :

per cui, sostituendo nell'equazione differenziale  , si ottiene l'identità :

        .

Consideriamo ora la funzione :

dove    è un numero reale qualunque.

Se eseguiamo la derivata della suddetta funzione ricaviamo subito :

        .

Deduciamo allora che anche la funzione    è una soluzione dell'equazione differenziale  . Essa è la soluzione generale !!!

Si dimostra (come vedremo più avanti in questo corso) che non esiste nessun'altra funzione diversa da    che sia soluzione dell'equazione differenziale  .

Riassumendo, l'equazione differenziale :

ha come soluzione la funzione :

dove     è un generico numero reale.

Le equazioni differenziali sono fondamentali per la fisica. Le leggi della fisica sono di solito rappresentate da equazioni differenziali che legano fra loro grandezze fisiche e le loro derivate.

I paragrafi che seguono sono interessanti applicazioni fisiche di equazioni differenziali del tipo descritto qui, equazioni differenziali la cui soluzione è data dalla funzione esponenziale.

16 - La scarica di un condensatore.

Un condensatore è un dispositivo elettrico essenzialmente formato da due "corpi" conduttori metallici contrapposti e non in contatto (fra loro isolati), ciascuno con un proprio elettrodo fuoriuscente dal dispositivo e collegabile ad un circuito.

Lo schema del condensatore è :

in cui i suddetti conduttori ed elettrodi sono chiaramente indicati. I conduttori contrapposti possono essere chiamati anche "facce" del condensatore.

Un condensatore ha la caratteristica fisica di potere essere caricato con cariche elettriche di segno contrario e permanere carico per un tempo in teoria illimitato, se non collegato ad alcun circuito. 

Ecco come può essere schematizzato un condensatore carico :

Il modulo (valore assoluto) della quantità totale della carica presente in una faccia eguaglia il modulo della quantità totale della carica presente sull'altra faccia. 

Per esempio :

dove    è la carica presente sulla prima faccia ,    quella presente sulla seconda faccia e la lettera    indica l'unità di misura della carica elettrica, il coulomb.

In realtà i due conduttori contrapposti, che costituiscono il condensatore, non sono perfettamente isolati fra loro, per cui dopo un certo tempo il condensatore, come si dice, si scarica.

Consideriamo ora il circuito :

costituito da un condensatore, un resistore ed un tasto inizialmente aperto. Il condensatore è inizialmente scarico. Nel circuito non è inoltre presente alcun generatore di tensione.

Ora carichiamo il condensatore (non entrando nei particolari di come questa operazione possa essere effettuata) in modo che su una faccia sia presente la carica positiva  e sull'altra la carica negativa    (da quanto abbiamo detto è quindi    ). 

Il circuito diventa :

Poiché il tasto    è aperto, anche se il condensatore è carico, nel circuito non passa corrente.

La presenza sulle facce del condensatore di cariche opposte fa però sì che fra di esse (le facce) si formi una differenza di potenziale elettrico. 

La differenza di potenziale che si genera fra le facce del condensatore è tale per cui il rapporto fra la carica (in valore assoluto) presente su una faccia e la differenza di potenziale (in valore assoluto) suddetta è costante. 

Esattamente si ha :

dove il rapporto costante    è detta capacità del condensatore ed è una grandezza caratteristica di ogni condensatore (la capacità di un condensatore, entro i suoi limiti di funzionamento, è pressoché costante),    è la carica (in valore assoluto) presente su una faccia e    è la differenza di potenziale che si instaura fra le facce.

Se ad un certo istante    premiamo il tasto    , il circuito viene chiuso ed in esso passerà corrente. Le cariche negative (gli elettroni) lasceranno la faccia in cui si trovavano e, percorrendo il circuito dalla parte del resistore (dentro il condensatore, se esso viene fatto funzionare correttamente, non vi è mai transito di cariche, in quanto le facce sono isolate) andranno a "neutralizzare" le cariche positive (gli ioni positivi) che si trovano sull'altra faccia. 

Questo è ciò che avviene a "livello fisico". A "livello convenzionale", la corrente che si genera alla chiusura del circuito va dalla faccia positiva a quella negativa (sempre passando dal resistore) (non dimentichiamo che le convenzioni sul verso della corrente vennero stabilite quando ancora non si conosceva la struttura dell'atomo). 

Graficamente :

La corrente elettrica    che si genera ha la fondamentale proprietà di non essere costante. Quando tutta la carica si sarà spostata da una faccia all'altra, la corrente cesserà. 

La corrente    è quindi una corrente variabile nel tempo.

Proponiamoci ora di ricavare la legge oraria di come tale corrente varia col tempo. Ricaviamo quindi la forma matematica della funzione :

        .

Occorre subito dire che la tensione (differenza di potenziale) ai capi del condensatore è uguale in ogni istante alla tensione ai capi del resistore in quanto i conduttori che li collegano (condensatore e resistore) si suppone abbiano resistenza praticamente nulla.

Se :

di conseguenza è :

        ,

dove le grandezze carica e tensione sono prese in valore assoluto.

Durante la scarica del condensatore, quando cioè, chiuso il circuito, la carica passa da una faccia all'altra del condensatore passando attraverso il resistore, assieme al passaggio della corrente si ha una progressiva diminuzione della tensione ai capi di condensatore e resistore.

Siccome la capacità    è costante, la variazione infinitesima della tensione    ai capi del condensatore (e quindi del resistore) è :

dove la lettera  "d"  indica appunto "variazione infinitesima".

La variazione infinitesima di tensione è quindi proporzionale alla variazione infinitesima di carica, cioè è proporzionale alla carica infinitesima che passa istante per istante per il resistore.

Il segno "meno" presente nell'espressione appena scritta è fondamentale. Esso significa che al passaggio di carica     positiva (ovvero ad una diminuzione della carica in valore assoluto presente in una faccia del condensatore), corrisponde una diminuzione  della tensione (quindi, se  , allora  ).

D'altra parte, la tensione ai capi del resistore è :

per cui, essendo la resistenza    costante (per un conduttore ohmico), la variazione infinitesima della tensione ai capi del resistore è :

dove con    si indica la variazione infinitesima della corrente.

Se la tensione ai capi del condensatore è uguale alla tensione ai capi del resistore, si avrà che la variazione infinitesima di tensione ai capi del condensatore uguaglia la variazione infinitesima della tensione ai capi del resistore.

Si avrà allora :

        .

La corrente elettrica è definita come il rapporto fra la carica che passa per la sezione di un conduttore fratto il tempo impiegato da questa carica a passare. Naturalmente, se la corrente è costante nel tempo, basterà considerare la carica che passa per una sezione del conduttore in un intervallo di tempo qualunque. Se, invece, la corrente è variabile nel tempo, occorrerà considerare un intervallo di tempo infinitesimo  e la corrispondente carica infinitesima  che passa in quel tempo.

La definizione di corrente che tenga conto che essa può essere variabile è allora :

        .

La corrente è quindi la derivata della carica rispetto al tempo, essendo la carica una funzione del tempo.

Possiamo allora scrivere anche :

        .

La relazione    diventa allora :

ovvero, con semplici passaggi :

          .

Questa espressione indica che la derivata della corrente rispetto al tempo è direttamente proporzionale alla corrente stessa.

Si tratta di una equazione differenziale che lega appunto la corrente e la sua derivata rispetto al tempo.

Vediamo come questa semplice equazione differenziale possa essere risolta alla luce delle nostre conoscenze fin qui accumulate.

Sfruttando il già noto fatto che :

possiamo azzardare che la soluzione dell'equazione differenziale è :

dove    è una costante reale qualunque.

Intatti, essendo :

          ,

sostituendo in     si ricava :

che è appunto una identità.

La corrente variabile nel tempo che passa nel circuito (specificatamente nel resistore) quando il condensatore si scarica è quindi :

        .

Si tratta di un'esponenziale decrescente la cui decrescita dipende dal fattore  .

Presentiamo alcuni esempi grafici con valore  e valori di    indicati nel grafico :

Si noti che la costante    rappresenta la corrente iniziale, cioè la corrente all'istante  , cioè la corrente "appena" il circuito viene chiuso. Ritorneremo fra breve a questa costante e ne determineremo il valore.

La caratteristica fondamentale di queste curve è che la loro pendenza dipende, come già detto, dal fattore  . 

Si vede bene che, quando    cresce a parità di  , la pendenza della curva diminuisce, per cui ci vuole più tempo perché il condensatore si scarichi. Questo è un risultato verosimile perché se la resistenza è maggiore, a parità di tensione, la corrente è minore. Ciò sarà ulteriormente chiarito a breve.

Si noti anche il fatto che "teoricamente" la corrente non si annulla mai per cui il condensatore continua a scaricarsi indefinitamente (nel tempo) generando nel resistore una corrente tendente a zero.

Calcoliamo ora la costante    che, come detto sopra, rappresenta la corrente iniziale, al tempo .

La carica infinitesima  che passa nel circuito in un tempo infinitesimo  , come affermato sopra, è data dalla formula :

        .

La carica infinitesima    proviene dal condensatore ed è parte della carica iniziale  .

E' chiaro quindi che se sommiamo tutte le cariche infinitesime che provengono dal condensatore (e che passano per il circuito) otterremo la carica totale iniziale. Possiamo allora scrivere :

in cui gli estremi di integrazione sono    ,  (in teoria, il tempo di scarica del condensatore è infinito).

Abbiamo ricavato l'importante risultato che l'integrale (somma di infiniti infinitesimi) della corrente rispetto al tempo da     a    eguaglia la carica iniziale  .

Facciamo ora i calcoli ricordando, come dimostrato in un esercizio precedente, che :

        .

Si ha :

        .

Facciamo il cambiamento di variabile :

dove    ("tau") è una nuova variabile di comodo.

Siccome la derivata di    rispetto a  vale (il fattore    è una costante) :

possiamo scrivere :

da cui :

        .

Sostituiamo ora quanto ricavato nell'integrale. Avremo :

        .

Si noti che, pur avendo cambiato variabile di integrazione, gli estremi di integrazione sono rimasti gli stessi. Questo perché :

        .

Il fattore costante    sotto il segno di integrazione può essere portato fuori (un integrale è una sommatoria, ed un fattore comune può essere "raccolto", come appunto si dice, a "fattore comune").

Avremo allora (ricordando che  ) :

cioè, sintetizzando :

        .

Da questa formula si ricava immediatamente  . Si avrà :

        .

Sostituendo nella formula che dà la corrente, si ha infine :

        .

Riportiamo il grafico della corrente nel tempo in alcuni casi particolari :

E' chiaro che, a parità di carica iniziale e capacità del condensatore, si ha una corrente iniziale maggiore quando la resistenza è minore. 

Quando la resistenza è "piccola", una inizialmente "alta" e "rapidamente" decrescente corrente scarica il condensatore. 

Quando la resistenza è "grande", una inizialmente "bassa" e "lentamente" decrescente corrente scarica il condensatore.. 

Questo è esattamente ciò che ci si doveva aspettare.

17 - Il decadimento radioattivo

Consideriamo un certo numero di atomi radioattivi di un certo tipo, per esempio carbonio-14 (in simbolo  ). Il nucleo del carbonio-14 contiene    protoni e    neutroni, infatti  . Il carbonio-14 è presente nella biosfera terrestre in basse concentrazioni perché la maggioranza del carbonio riscontrabile è del tipo carbonio-12, il cui nucleo è formato da    protoni e    neutroni.

Il carbonio-12 è stabile, cioè il suo nucleo non decade, mentre il carbonio-14 è instabile ed il suo nucleo decade spontaneamente producendo azoto-14 (ed altre particelle). Si dice allora che il carbonio-14 è radioattivo.

Il carbonio-14 ha un tempo di dimezzamento (o emivita) di    anni. Questo significa che dopo un tale periodo di tempo il carbonio-14 che rimane è la metà di quello presente all'inizio. Per esempio, se prendiamo in considerazione un chilogrammo di carbonio-14 adesso, fra    anni se ne troverà solo mezzo chilogrammo, il rimanente mezzo chilogrammo si sarà nel frattempo trasformato, decadendo radioattivamente, in azoto-14.

Il "meccanismo" esatto con cui il carbonio-14 decade non ci interessa in quello che diremo qui. Sottolineiamo solo l'importanza fondamentale che ha il carbonio-14 nella datazione dei fossili, senza entrare nei particolari di come queste datazioni vengano effettuate. Questo spiega il perché abbiamo scelto come esempio proprio il carbonio-14.

Qui ci interessa solo ricavare una funzione oraria (funzione del tempo) che descriva come gli atomi di una specie radioattiva, per esempio appunto il carbonio-14, decadono.

Vogliamo perciò ricavare una funzione :

che descriva come varia nel tempo    il numero    di atomi radioattivi di un certo tipo (per esempio, appunto, carbonio-14) contenuti in una certa quantità di materia. 

Quello che diremo varrà anche per ogni altro tipo di atomo radioattivo.

Consideriamo al tempo    un certo numero molto grande    di radionuclidi (un altro modo per dire nuclei radioattivi) per esempio di carbonio-14.

Ogni tipo di radionuclide ha il proprio particolare "modo" di decadere. Non si può prevedere in che istante preciso un radionuclide decadrà, questo evento è completamente casuale. Si può però sapere che in un certo tempo, caratteristico per ogni tipo di radionuclide, un certo numero di essi sicuramente decadrà.

Associamo ad ogni tipo di radionuclide un coefficiente    (positivo) che esprime proprio questo fatto. Ogni tipo di radionuclide avrà il proprio  .

Il coefficiente    può essere inteso come la "percentuale" di radionuclidi (di un dato tipo) che decadono nell'unità di tempo. Per esempio, se per un certo radionuclide si avesse    , potremmo affermare che su    nuclei (di quel tipo), in  secondo, si avrebbe  decadimento, per cui i nuclei rimanenti, dopo    secondo, sarebbero  .

Vediamo di esprimere in formule questi concetti.

Supponiamo che in un tempo molto piccolo (infinitesimo)    decada un certo numero (anch'esso infinitesimo, cioè molto piccolo) di nuclei radioattivi. Siccome il numero dei radionuclidi, a causa del decadimento di alcuni di loro, diminuirà, si avrà precisamente che la variazione del numero di radionuclidi sarà  , con :

(in matematica, una variazione di una grandezza è definita come  valore finale - valore iniziale , quindi in questa caso deve essere appunto  ).

Il numero  , essendo in valore assoluto (cioè reso positivo) molto piccolo, sarà una grandezza infinitesima.

Si noti che  è un numero naturale per cui, in linea di principio, non si potrebbe definire una sua variazione infinitesima (cioè tendente a zero)  . Però, poiché un numero naturale molto grande, questo "errore" può essere fatto.

A causa del significato del coefficiente  , possiamo scrivere :

dove il segno "meno" indica, come detto sopra, che il numero    dei radionuclidi diminuisce a causa del decadimento.

Dividendo ambo i membri, otteniamo :

        .

Questa è una equazione differenziale molto semplice simile ad altre fin qui viste.

La soluzione di tale equazione, per quello che abbiamo già visto nei casi analoghi, è l'esponenziale decrescente :

dove    è il numero iniziale di radionuclidi al tempo  . Infatti, per  , abbiamo :

        .

La verifica dell'esattezza della soluzione    è immediata. Partendo dalla funzione :

        , 

si ricava immediatamente :

e :

        ,

per cui si vede bene che l'equazione differenziale :

è soddisfatta.

Mostriamo un esempio grafico della soluzione trovata :

Consideriamo ora l'istante  e poniamo :

        .

Il valore    esprime il numero di radionuclidi presenti (non ancora disintegrati) al tempo    (quando al tempo    essi erano  ).

Graficamente abbiamo :

Consideriamo ora l'istante    corrispondente all'istante in cui il numero dei radionuclidi presenti (non ancora disintegrati) è :

        .

Graficamente :

Sostituendo    in  , si ottiene :

da cui si ricava :

        .

Ma  , per cui :

e, dividendo ambo i membri per  :

        .

Questa formula afferma che il tempo  , che chiamiamo tempo di dimezzamento, non dipende dall'istante  .

Questo significa che, da qualunque istante di tempo si fa partire un ipotetico cronometro, dopo un tempo    pari al tempo di dimezzamento del radionuclide (che è una caratteristica specifica del medesimo), è rimasto un numero dimezzato di radionuclidi. 

Il tempo di dimezzamento del carbonio-14 è    anni. Vi sono radionuclidi che hanno tempi di dimezzamento di milioni di anni !!! e questo fa capire l'importanza strategica per l'ambiente del trattamento delle scorie radioattive.

Fine.

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