E-school  di  Arrigo Amadori

Tutorial di matematica

Funzioni reali notevoli : funzione esponenziale (6' parte)

13 - Esercizio.

Si consideri la funzione esponenziale  . Siano    ,    i punti della curva esponenziale (rappresentata dalla funzione esponenziale) di ascissa  ,    (anche negativi) con    . Si calcoli la lunghezza  del segmento curvilineo (arco di curva) indicato nel grafico :

Risoluzione.

Per calcolare la lunghezza di un arco di curva si può procedere osservando il grafico :

L'arco    della curva rappresentata dalla funzione generica  può essere suddivisa in infiniti "elementi" infinitesimi ciascuno di lunghezza  .

E' chiaro quindi che la lunghezza    dell'arco    sarà dato dalla somma di quegli elementi infinitesimi per cui potremo scrivere :

dove, come sempre, il simbolo    indica la sommatoria.

La sommatoria di infiniti infinitesimi si chiama integrale. La formula quindi diventa più precisamente :

dove gli estremi di integrazione sono evidentemente   ,    .

D'altra parte, applicando il teorema di Pitagora, si ha :

dove  ,   sono i cateti e    è l'ipotenusa.

Raccogliendo opportunamente possiamo scrivere :

dove il fattore    è  fuori dalla radice quadrata.

L'integrale che fornisce    diventa allora :

cioè :

dove , come sempre, i simboli :

indicano indifferentemente la derivata della funzione    rispetto ad  .

Nel nostro caso, la funzione    è l'esponenziale  , cioè :

per cui possiamo agevolmente calcolare la derivata . Abbiamo cioè, come ben sappiamo :

        .

L'integrale diventa allora :

cioè la lunghezza    dell'arco è dato in definitiva dall'integrale :

        .

Il calcolo dell'integrale appena scritto è fuori dalla nostre attuali conoscenze circa il calcolo integrale, per cui ci accontenteremo di valutazioni qualitative.

Consideriamo la funzione integranda (scritta dopo il segno di integrale) :

        .

Si tratta di una funzione non "elementare", costituita essenzialmente della composizione di una radice quadrata con un'esponenziale.

Studiamo il comportamento della funzione  per  .

Quando    cresce positivamente, il termine    dentro la radice diventa sempre più trascurabile rispetto al termine  .

Possiamo allora scrivere :

        , quando  ,

per cui, per    grandi, la funzione integranda coincide praticamente con la funzione esponenziale  .

Studiamo il comportamento della funzione  per  .

Quando    cresce negativamente, il termine    dentro la radice diventa sempre più trascurabile.

Possiamo allora scrivere :

        , quando  ,

per cui, per    grandi negativamente, la funzione integranda coincide praticamente con la retta  .

Graficamente :

L'integrale da  a   della funzione    è, come ben sappiamo, l'area della figura indicata nel grafico :

La rappresentazione grafica dell'integrale in questione è ciò a cui ci limitiamo in quest'esercizio.

Lasciamo al lettore interessato la valutazione approssimata dell'integrale quando   ,     sono entrambi grandi positivamente e negativamente.

14- Esercizio.

Si trasformi, se possibile, la funzione esponenziale  in un  polinomio.

Risoluzione.

I polinomi sono sicuramente le funzioni matematiche più "semplici" e "facili" da utilizzare con cui abbiamo familiarità fin dalle scuole medie inferiori.

E' quindi lecito chiederci se una data funzione non polinomiale sia esprimibile da un polinomio, ovvero se sia uguale ad un polinomio.

Nel nostro caso, dovremmo dimostrare che :

        ,

dove    sono numeri reali,    è un numero intero non negativo chiamato il grado del polinomio ed ovviamente si ha :

        . 

A causa di queste due ultime formule possiamo semplicemente scrivere :

        .

Dobbiamo quindi riuscire a dimostrare che esiste un numero intero non negativo    ed    numeri reali per cui la funzione esponenziale    sia uguale in tutti i punti (cioè per ogni valore reale di  ), alla funzione polinomiale di grado  :

        .

Per fare questo sfruttiamo il fatto che, come già ben sappiamo, la derivata della funzione esponenziale è uguale alla funzione esponenziale stessa, cioè che :

        .

Se deve essere :

        ,

allora, poiché due funzioni uguali hanno anche derivate uguali, dovrà essere :

che, per quanto appena detto, vale :

        .

Possiamo allora iterare la derivazione ed ottenere :

da cui :

ed ancora :

        .

Abbiamo così costruito la successione (omettiamo le parentesi perché inutili) :

        .

Il problema è quindi calcolare le derivate successive del polinomio  .

Poiché il polinomio è una somma, possiamo subito affermare che (come visto in un precedente esercizio) la derivata del polinomio è uguale alla somma delle derivate dei singoli monomi che lo compongono, cioè :

        .

Applicando la formula della derivata del prodotto di funzioni, possiamo ulteriormente semplificare in :

e, ricordando che la derivata di una costante è nulla, in :

        .

Il problema si è ridotto quindi al calcolo della derivata di una potenza. Noi sappiamo già che :

ma quanto vale la derivata nel caso di una potenza di grado qualsiasi ? 

Dobbiamo allora calcolare la derivata della generica potenza :

con     intero non negativo. 

Per fare questo ci serviremo del triangolo di Tartaglia.

Applicando la definizione di derivata scriviamo :

        .

Il temine    si chiama potenza del binomio ed è calcolabile con l'ausilio del triangolo di Tartaglia :

        (ogni numero è somma dei due numeri che lo precedono come indicato nel grafico)

Si ha :

       
        ...

dove i coefficienti sono ottenibili dal triangolo di Tartaglia.

Per un esponente    qualunque possiamo allora scrivere :

dove gli esponenti delle    decrescono e quelli delle    crescono.

Si noti che il secondo termine di ciascuna potenza è nella forma :

        .

Poiché siamo in grado di calcolare la potenza del binomio per un valore di    qualunque, sostituendo nella definizione di derivata della potenza  , otteniamo :

        .

I termini dell'ultima espressione   , indicati dopo  , contengono tutti potenze di    come fattori e quindi sono termini che diventano nulli quando  . 

Il termine  , invece, non contiene  come fattore. 

Per questi motivi possiamo affermare che :

        .

Questa formula è di fondamentale importanza ed è usata molto di frequente.

Ritorniamo ora alla derivata del polinomio :

        .

Calcolando le singole derivate con la formula appena ricavata otteniamo :

che è un polinomio di grado  . Il fatto che facendo la derivata di un polinomio di grado    si ottenga un altro polinomio di grado    è di grande importanza. 

Questo significa che se si prosegue con l'eseguire derivate successive di un polinomio ad un certo momento si cominciano ad ottenere derivate nulle !!! 

Per esempio :

        .

Proseguiamo allora ad eseguire derivate successive sul polinomio    indicando, per comodità e per una migliore comprensione, più termini.

Si ottiene :

dove, naturalmente, quando l'ultimo esponente a destra diventa  , si è ottenuto una costante per cui si procede derivando ricavando sempre identicamente  . Evidentemente questo avviene quando si è derivato esattamente    volte.

Ora abbiamo tutti gli "strumenti" necessari per "indagare" meglio la formula :

che esprime la possibilità di trasformare l'esponenziale in un polinomio di grado  .

Eseguendo successive derivate di ambo i membri della formula, a sinistra, come ben sappiamo, ricaviamo sempre  , mentre a destra, dopo un certo numero (finito !!!) di derivazioni, ricaviamo sempre  .

Avremo quindi, ad un certo punto :

        .

Questa uguaglianza è impossibile in quanto la funzione esponenziale    è sempre positiva per ogni valore di  .

Abbiamo così dimostrato che :

        la funzione esponenziale non può essere rappresentata da un polinomio di grado  , qualunque valore finito il numero intero non negativo    possa assumere.

Cosa succede invece se si prende un polinomio di grado infinito ?

Un polinomio di grado infinito (altrimenti detto serie di potenze) è una sommatoria di infiniti termini così definita :

dove i punti indicano che la somma non ha fine.

Proviamo allora a verificare se l'uguaglianza :

ovvero :

è possibile.

Facciamo ora le derivate successive di ambo i membri (ricordando sempre che  ) :

(per convenienza, siamo partiti indicando i termini fino al quinto grado).

Le derivazioni, utilizzando un polinomio di grado infinito, non portano mai ad un risultato identicamente nullo e le derivazioni procedono all'infinito.

Siccome le uguaglianze scritte sopra devono valere per ogni valore di  , poniamo per comodità :

e sostituiamo. 

Poiché  e poiché a destra degli uguali, sostituendo  , ricaviamo i soli termini noti, otteniamo :

        .

Da queste formule ricaviamo direttamente :

        .

Abbiamo cioè ricavato i coefficienti del polinomio di grado infinito . Possiamo quindi porre la funzione esponenziale  in forma polinomiale (di grado infinito).

Avremo quindi :

        .

Si noti che il coefficiente del termine di grado    è :

ovvero l'inverso moltiplicativo (il reciproco) del prodotto dei primi  numeri interi positivi.

Il prodotto dei primi  numeri interi positivi si chiama fattoriale di    e si indica col simbolo  (   seguito da un punto esclamativo).

Si pone cioè :

        .

Si pone anche, per convenienza :

        .

L'elenco dei fattoriali è quindi :

        .

Lo sviluppo (è il modo "veloce" di chiamare il polinomio di grado infinito ricavato sopra) di    diventa quindi (in forma maggiormente "simmetrica") :

(si notino i punti dopo il termine di grado    ad indicare che la somma ha infiniti termini).

Abbreviando, possiamo scrivere :

        .

Questa serie (infinita) si chiama sviluppo in serie di Taylor (matematico inglese, 1685 - 1731) ed è un risultato fondamentale per tutta la matematica.

Il procedimento qui mostrato per sviluppare in serie di Taylor la funzione esponenziale è valido (sotto opportune condizioni) per qualunque altro tipo di funzione. Si tratta quindi di un metodo generale di fondamentale importanza.

L'importanza dello sviluppo in serie di Taylor dipende appunto dal fatto che con esso è possibile (in linea di principio) trasformare ogni funzione, "complicata" quanto si vuole, in un polinomio di grado infinito. 

Naturalmente, trattare polinomi di grado infinito non è cosa "semplice". Ci si "accontenta" allora di "troncare" detti polinomi ad un grado (finito) prescelto. Si ottiene così una approssimazione della funzione di cui si è fatto lo sviluppo in serie di Taylor troncato.

Riportiamo come esempio alcuni troncamenti dello sviluppo della funzione esponenziale in questione.

Le curve in rosso sono i polinomi troncati dello sviluppo.

          ===>  :

          ===>  :

          ===> 

Come risulta evidente osservando grafici, maggiore è il grado del troncamento, migliore è l'approssimazione della funzione esponenziale. Questo fatto avviene per ogni altro tipo di funzione.

Infine, mostriamo come la formula dello sviluppo in serie di Taylor di    possa servire per calcolare il valore del numero di Nepero    con la precisione desiderata ed in alternativa alla formula :

più volte usata in questo corso.

Facendo la sostituzione     nella formula dello sviluppo :

si ottiene :

        .

Troncando la serie per un dato    si ottiene una approssimazione di  .

Per esempio :

        .

Fine.

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