E-school  di  Arrigo Amadori

Tutorial di matematica

Funzioni reali notevoli : funzione esponenziale (5' parte)

11 - Esercizio.

Si consideri la funzione  (esponenziale decrescente). Dato un generico punto  sulla curva rappresentata dalla suddetta funzione, si calcoli la lunghezza    del segmento    , dove    è l'origine degli assi cartesiani, e si determini il valore di    per cui    risulta minimo. Graficamente :

Risoluzione.

Applicando il teorema di Pitagora, si ricava immediatamente :

        .

Si tratta quindi di studiare la funzione :

e vedere dove essa assume il valore minimo.

Dal punto di vista dei "calcoli" che dovremo fare, la presenza della radice quadrata costituisce una "complicazione". Siccome dobbiamo ricavare il valore di    per cui    risulta minimo, possiamo considerare che, dove è minimo    , è minimo anche  , cioè il quadrato di  .

Poniamo allora :

e studiamo la funzione :

che si ottiene elevando al quadrato la radice quadrata e che risulta più "semplice" della originale.

Il valore di    che rende minimo    renderà minimo anche  .

Al "muoversi" di    sulla curva esponenziale, il valore di  , e di conseguenza di  , varia. Ci sarà un certa "particolare posizione" di  , e quindi un certo valore di  , per cui  (ed anche  ) assumerà il valore minimo.

Graficamente :

Più il punto    sia allontana da quella particolare posizione di distanza minima da  , più crescerà il valore di  , e di conseguenza di  . 

Potremo perciò affermare che :

          .

Per calcolare l' "andamento" della funzione    occorre calcolarne la derivata  . Conoscendo la derivata  , dove essa è positiva,   è crescente, dove è negativa,    è decrescente, dove è nulla, avremo il minimo cercato.

Dobbiamo allora calcolare la derivata :

        .

Come è facile dimostrare (applicando la definizione di derivata), la derivata della somma di due funzioni è uguale alla somma delle derivate delle due funzioni (lasciamo al lettore la dimostrazione di questo fatto).

Abbiamo allora :

        .

Si tratta quindi di calcolare due derivate a noi già note. Avremo :

        .

Il minimo di    si verifica quando    , ovvero quando :

cioè, dividendo entrambi i membri per  , quando :

        .

Come risolvere questa equazione e così trovare il valore di    per cui    è minimo ?

Questa equazione può essere risolta graficamente o con metodi numerici ed in modo approssimato (una soluzione esatta non è possibile per questo tipo di equazioni "miste", in cui sono presenti polinomi e funzioni esponenziali !!!).

Procediamo nel seguente modo. Separiamo i due termini :

e scriviamo :

        .

Il sistema qui introdotto è equivalente all'equazione (se uguagliamo le  otteniamo l'equazione da cui siamo partiti).

La soluzione grafica consiste allora nell'intersecare le due funzioni note  ,  . 

Otteniamo allora :

L'ascissa    del punto d'incontro    delle due curve è il valore della     cercato, valore per cui  e quindi    è minimo.

Valutiamo meglio, con una scala più fine, il valore approssimato di  :

Una buona stima di    è quindi :

        .

Il grafico della funzione    è di conseguenza :

Allontanandoci dal punto di minimo    , sia a destra che a sinistra, il valore di    cresce tendendo all'infinito, come affermato in precedenza.

Si tenga presente che la curva ottenuta non è una parabola e nemmeno è simmetrica rispetto all'asse verticale passante per il punto di minimo. 

A sinistra, allontanandoci sempre più da , la funzione    ha un andamento "quasi" esponenziale mentre a destra, allontanandoci sempre più da , essa ha un andamento parabolico avvicinandosi sempre più alla curva    (che è appunto una parabola). Lasciamo al lettore interessato la dimostrazione di queste affermazioni.

12- Esercizio.

Si consideri la funzione esponenziale  . Siano  ,    due numeri reali qualunque (anche negativi) con    e si consideri l'arco    di curva esponenziale indicato nel grafico :

Supponiamo ora di ruotare "rigidamente" (cioè senza deformarlo) di un giro completo l'arco  attorno all'asse delle ascisse  . Quello che si ottiene è una superficie di rotazione che chiameremo  .

Graficamente :

Con altra prospettiva :             

Si calcoli il volume    determinato dalla superficie  (il volume    è delimitato dalla superficie    e dai due cerchi di diametro  e  ).

Risoluzione.

Il problema può essere risolto immaginando di tagliare il volume in infiniti cilindri di altezza infinitesima, cioè tendente a zero. Il numero di tali cilindri, lo ribadiamo, essendo la loro altezza infinitesima, cioè tendente a zero, sarà infinito. !!! 

Sommando i volumi di tutti questi cilindri di altezza infinitesima si otterrà il volume    cercato.

Per potere eseguire in modo corretto quanto affermato, si procede con il "passaggio al limite". Si prendono (come indicato graficamente in seguito) cilindri di altezza finita (e piccola) in numero finito, si sommano i volumi dei suddetti cilindri ricavando una approssimazione del volume cercato. Si procede infine imponendo che le altezze dei cilindri tendano a zero. La somma tenderà al volume cercato.

Nel seguente grafico mostriamo uno di tali cilindri in sezione :

Il cilindro in questione è stato costruito in corrispondenza del valore    , ha per base il cerchio di diametro  , e per altezza il valore (col quale simbolo intendiamo un valore molto piccolo, infinitesimo, tendente a zero).

Il volume    (con questo simbolo intendiamo affermare che anche il volume è infinitesimo !!!) di tale cilindro sarà :

ovvero area di base (il cerchio, la cui area è p-greco per raggio, , al quadrato) per altezza. 

Sarà allora :

        .

Terminando la suddivisione (per esempio in    parti) del volume    otteniamo (in sezione) :

Il volume cercato    potrà essere ricavato facendo la somma di tutti i volumetti    dei vari cilindri di altezza infinitesima ottenuti tagliando il volume originale. Avremo allora :

dove il simbolo  ("sigma") indica appunto la somma e dove si sottintende il "passaggio al limite", cioè  .

Poiché    è a fattore comune, possiamo scrivere :

        .

La sommatoria di "infiniti termini infinitesimi" in matematica si chiama 'integrale. La formula che dà il volume   diventa allora :

        .

Noi sappiamo che (dagli esercizi precedenti) :

        .

L'integrale che dobbiamo risolvere adesso :

è "lievemente" diverso. Proviamo, con una opportuna sostituzione, a riferirci alla situazione nota e così risolvere l'integrale ignoto.

Poniamo :

        .

L'integrale diventerà allora :

        .

Abbiamo però che la variabile di integrazione è rimasta    e non la nuova variabile  !!! Come fare ?

Se facciamo la derivata della funzione    rispetto ad  , otteniamo :

perché la pendenza della retta    (il suo coefficiente angolare) è esattamente  .

Avremo allora :

e quindi :

        .

Ecco che abbiamo ricavato il temine    in funzione del nuovo    e possiamo sostituire nell'integrale !!!

Però occorre notare che gli estremi di integrazione   ,     sono riferiti alla vecchia variabile  . Dobbiamo riferire gli estremi di integrazione alla nuova variabile    !!!

Se    scriviamo :

e trasformiamo definitivamente l'integrale ottenendo :

        .

Si noti che che il fattore    è stato posto fuori dall'integrale perché un integrale è una sommatoria e quindi i fattori comuni possono essere raccolti a moltiplicare esternamente la rimanente somma.

Se :

per analogia avremo :

        .

Il volume    è in definitiva (riassumendo tutti i passaggi) :

cioè :

        .

Fine.

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