E-school  di  Arrigo Amadori

Tutorial di matematica

Funzioni reali notevoli : funzione esponenziale (4' parte)

09 - Esercizio.

Generalizziamo l'esercizio precedente.

Si calcoli l'area    della figura indicata nel grafico :

       

dove      sono due numeri reali qualunque (anche negativi) e vale    .

Risoluzione.

Tutto quello che abbiamo mostrato nel precedente esercizio resta valido. L'unica cosa che cambia, sono gli estremi d'integrazione che prima erano     ed    , ed ora sono      e   . 

Possiamo allora scrivere :

       

dove    è la somma degli    rettangoli con cui approssimiamo l'area cercata e dove per noi vale  .

Il grafico che mostra contemporaneamente    ed  , nel caso di    , quindi di  , è :  

        

Le formule che legano    ed  , per  , sono :

        .

Le medesime per un    qualunque sono :

        .

Sommando in colonna ambo i membri si ottiene :

         

ovvero :

         

perché  .

Per le stesse considerazioni fatte nell'esercizio precedente (ricordandoci che si deve considerare  ), vale :

       

per cui l'area cercata risulta essere :

        .

Tale area, se si pone  , diventa :

       

che è il risultato ottenuto nel precedente esercizio

La formula     ci permette di calcolare anche l' "interessante" area mostrata nel grafico :

        

        (immaginiamo che l'area si estenda a sinistra indefinitamente)

dove consideriamo :

       

        .

L'area    è data quindi dall'integrale :

           ,

dove al posto di    abbiamo scritto direttamente il simbolo  , cioè abbiamo posto  .

Siccome il termine  , con    , tende a  , l'area sarà :

       

cioè :

        .

L'area in questione risulta quindi avere valore finito, nonostante si "sviluppi" su una "base" infinita (immaginandola come area di un "triangoloide" di base infinita) !!! Questo non è un risultato "banale" !!!

10 - Esercizio.

Si consideri la funzione  (esponenziale decrescente). Dato un generico punto  sulla curva rappresentata dalla suddetta funzione e posto    , si calcoli l'area  del rettangolo rappresentato nel seguente grafico e se ne studi l'andamento. In particolare si calcoli il valore di    per  e per  . Si determini anche il valore di    per cui l'area risulta massima.

       

Risoluzione.

L'area cercata è evidentemente :

       

e si tratta di un valore positivo perché abbiamo posto (geometricamente, questo significa che il punto    può stare solo sulla parte della curva che è situata nel primo quadrante).

Immaginiamo ora che    si muova verso sinistra in modo da avvicinarsi sempre più all'asse delle ordinate. Si verranno a formare rettangoli via via diversi le cui aree tenderanno  in quanto tali rettangoli avranno una base che tende a  mentre l'altezza tende ad 

Graficamente :

        

Possiamo allora scrivere :

       

e considerare questo risultato come banale.

Come verifica "algebrica" del suddetto limite, possiamo notare che :

       

perché :

       

        .

Il comportamento dell'area    quando  , invece, non è banale !

Graficamente si ha :

       

Come è facile rendersi conto, il rettangolo in questione tende ad avere una base infinita ed un'altezza nulla.

L'area    tenderà, per    , a  , o a qualche altro valore ?

Possiamo subito notare che :

        .

Questo lo si capisce facilmente perché nel precedente esercizio abbiamo dimostrato che l'area del triangolo curvilineo (chiamiamolo così) sotteso fra la curva, l'asse delle ordinate e l'asse delle ascisse, nella direzione decrescente dell'esponenziale, vale  . Il rettangolo in questione, la cui area è  , per qualunque scelta di     (con  ), è contenuto nella suddetto triangolo curvilineo la cui area vale   e vi sono delle "porzioni" di piano (per quanto piccole) contenute nel triangolo curvilineo ma non contenute nel rettangolo.

Per calcolare esattamente il limite :

       

occorre studiare meglio la funzione :

       

che esprime, al variare della variabile indipendente  , il variare dell'area  (dipendente da  ). Facendo questo, risponderemo anche all'ultimo quesito, ovvero troveremo dove tale area risulta massima.

Per determinare i punti dove la funzione    cresce, decresce o presenta massimi e minimi relativi (questi concetti risulteranno sempre più familiari cammin facendo in questo corso !!! per cui li introduciamo senza soffermarci qui a definirli meglio), occorre conoscerne la derivata punto per punto (della funzione  ).

Poiché la derivata di una funzione ne rappresenta la pendenza, intuitivamente ed in linea di principio (occorrerebbero certe precisazioni che faremo più avanti perché qui ci basta intuire il concetto) se essa (la derivata) è positiva la funzione cresce, se è negativa, decresce, se è nulla, può avere un massimo o un minimo relativo.

Occorre quindi conoscere la derivata :

       

(si noti l'apice che di solito indica appunto la derivata).

La funzione che vogliamo derivare, , può essere vista come il prodotto delle due funzioni    ed  . Cioè, dobbiamo calcolare la seguente derivata :

         ,

dove abbiamo messo opportune parentesi per rendere più chiaro il concetto.

Questo è un caso particolare del caso generale della derivata del prodotto di due funzioni qualsiasi. Cioè si tratta di risolvere :

           .

Applicando la definizione di derivata come limite del rapporto fra gli incrementi della variabile dipendente rispetto alla variabile indipendente, cioè  :

        ,

possiamo scrivere :

         .

Si tratta a questo punto di valutare le espressioni :

       

       

almeno approssimandole, con approssimazione crescente, per valori di    quando  .

Consideriamo allora l'espressione :

       

e visualizziamone il significato aiutandoci col grafico :

       

Siccome :

         

(abbiamo usato diversi simboli per indicare la derivata così da renderli sempre più familiari), per un certo valore di    non nullo ( ) possiamo scrivere :

       

dove l'approssimazione (indicata dal simbolo di "circa uguale"  ) vale sempre meglio quanto più  .

Allora, se moltiplichiamo ambo i membri per  , possiamo anche scrivere :

       

ovvero :

         

dove, anche qui, l'approssimazione vale sempre meglio quanto più  .

Per la funzione  avremo analogamente :

        .

Possiamo ora ritornare alla formula che definisce la derivata del prodotto di due funzioni e, sostituendo, scrivere :

        .

Eseguendo i calcoli otteniamo :

       

perché :

       

(moltiplicare un numero per un numero che tende a    si ottiene un risultato che tende  ).

Abbiamo così ottenuto la formula (fondamentale per tutta la matematica !!!) che fornisce la derivata di un prodotto di due funzioni :

         

(si noti la simmetria !) che a parole recita :

        la derivata del prodotto di due funzioni è uguale al prodotto della derivata della prima per la seconda più la prima per la derivata della seconda.

Siamo ora in grado di calcolare il nostro caso particolare :

        .

Scriveremo :

       

(le parentesi servono per meglio evidenziare la struttura della formula).

La prima derivata è ovviamente :

       

perché la pendenza della retta  , bisettrice del primo e terzo quadrante, è appunto  .

La seconda derivata è :

       

in quanto    è del tipo    (dove    è un numero reale) già studiato in precedenza.

Abbiamo allora :

       

cioè :

          .

La derivata , quando  , risulterà allora positiva quando  , nulla quando    e negativa quando 

La funzione    sarà di conseguenza crescente quando  , decrescente quando    e avrà un punto di massimo relativo quando  .

Abbiamo così ricavato che l'area    assume il suo valore massimo (per  ) quando si ha  .

A che valore    tenderà quando  ?

Scriviamo la funzione che definisce    nel seguente modo :

        .

E' evidente che quando    sia    che    tendono all'infinito, ma    lo fa molto più "velocemente" per cui il rapporto tende a  .

Possiamo allora scrivere :

       

(una dimostrazione più rigorosa di questa affermazione sarà possibile più avanti in questo corso).

Riportiamo in un  grafico i risultati ottenuti. Avremo :

       

Il valore di    quando è massimo (cioè per  ) è di conseguenza :

        .

Fine.

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