E-school  di  Arrigo Amadori

Tutorial di matematica

Funzioni reali notevoli : funzione esponenziale (3' parte)

06 - Esercizio. 

Si consideri la funzione esponenziale  , la retta    tangente ad essa nel punto  e la retta     tangente ad essa nel punto  . 

Graficamente :

Si ricavi l'area del triangolo    formato dalle rette  ,    con l'asse  , così come indicata in figura :

Risoluzione.

La pendenza (derivata) della funzione esponenziale    è  , cioè, come ben sappiamo, possiamo scrivere :

        .

Il coefficiente angolare della retta tangente    è quindi  , essendo la derivata (pendenza) della funzione esponenziale in    appunto  (abbiamo posto    che è l'ascissa di  ).

Ricordando che l'equazione della generica retta (non verticale) passante per il generico punto  è :

        ,

l'equazione di    sarà allora :

ovvero :

        .

Il coefficiente angolare della retta tangente    è  , essendo la derivata (pendenza) della funzione esponenziale in    appunto  (abbiamo posto    che è l'ascissa di  ).

L'equazione di    sarà allora :

ovvero :

        .

cioè :

        .

Essendo tale equazione priva dell'ordinata all'origine (termine noto), la retta    passa per l'origine    per cui si ha :

        ,

cioè    coincide con  (il simbolo    significa appunto "coincide").

Siamo ora in grado di calcolare le coordinate del punto di intersezione    fra le due rette   ,  . Per fare questo, come sempre quando si devono calcolare i punti d'incontro fra due curve, basta risolvere il sistema :

        .

Eguagliando le    si ottiene :

da cui :

ovvero (raccogliendo la    a fattore comune) :

per cui (dividendo ambo i membri per  ) :

        .

Di conseguenza sarà :

(abbiamo sostituito    nell'equazione  ).

Il punto    sarà allora :

        .

Per calcolare le coordinate del punto    basta risolvere il sistema :

essendo    l'equazione dell'asse  .

Si ricava direttamente :

per cui il punto    risulta :

        .

Ricordiamo, infine, anche che il punto   vale :

        .

A questo punto siamo in grado di calcolare l'area cercata.

Si ha evidentemente :

per cui :

          .

Approssimando, risulta :

        .

07 - Esercizio.

Ricavare la parabola tangente alla curva esponenziale  nel punto    e passante per il punto  .

Graficamente :

Risoluzione.

Due curve sono tangenti in un dato punto se hanno in esso la medesima retta tangente.

Evidentemente, la retta    indicata nel grafico è tangente in    sia alla curva esponenziale che alla parabola.

Essendo la derivata della funzione esponenziale uguale a se stessa, cioè :

        ,

ed essendo il coefficiente angolare    della retta tangente    uguale alla derivata della funzione esponenziale in (curva e retta tangente hanno la stessa pendenza in  ), si avrà che il suddetto coefficiente angolare vale :

(abbiamo posto    che è l'ascissa di  ).

L'equazione della parabola generica è :

e la sua derivata, come sappiamo da tempo, è :

        .

La derivata della parabola in  sarà allora :

(abbiamo posto anche qui    che è l'ascissa di  ) per cui, essendo la derivata della parabola in    uguale al coefficiente angolare  (che vale  ) della retta tangente  ,  si dovrà avere :

        .

L'equazione della parabola si riduce quindi a :

        .

Ricaviamo i valori di     e di  .

La parabola passa per i punti    e  . Le coordinate di quei punti devono di conseguenza soddisfare l'equazione della parabola.

Sostituendo in    le coordinate di , si ha allora :

cioè :

(infatti,    è il termine noto dell'equazione della parabola, per cui questo risultato si poteva dedurre immediatamente osservando grafico).

L'equazione della parabola si riduce quindi a :

        .

Per ricavare  , basterà sostituire all'equazione della parabola    le coordinate di  . Si avrà :

da cui :

        .

L'equazione della parabola cercata è allora :

        .

Si tratta ovviamente di una parabola rivolta verso il basso (infatti  ) e si tratta di una parabola unica. Il problema ammette quindi una sola soluzione. Se avessimo imposto la sola tangenza in  , le parabole sarebbero state infinite.

Lasciamo al lettore, a mo' di completamento dell'esercizio, il calcolo del vertice della parabola e delle sue intersezioni con l'asse delle ascisse.

08 - Esercizio.

Si calcoli l'area della figura indicata nel grafico :

Si tratta di un problema di fondamentale importanza che fa parte di un grande capitolo della matematica che va sotto il nome di calcolo integrale, a sua volta importante capitolo del calcolo infinitesimale (o differenziale).

Qui ne mostreremo la soluzione in modo intuitivo perché tratteremo tutta la problematica relativa al calcolo integrare in modo sistematico più avanti nel corso.

Questo esercizio ci serve ad anticipare questi temi così importanti ed il modo veramente "geniale e "divertente" di risolverli.

Chiameremo l'area indicata che vogliamo calcolare con :

        .

La figura piana che delimita l'area presenta un lato curvo. Se tutti i lati fossero dei segmenti (rettilinei), il calcolo dell'area non presenterebbe particolari problemi. Anche se la figura fosse complicata (molti lati, ma tutti segmenti di retta), con opportune triangolazioni si otterrebbe facilmente (anche se con procedimento laborioso) il risultato cercato. 

Nel presente caso e sempre quando sono presenti lati curvi, invece, non è possibile utilizzare direttamente le semplici formule che forniscono l'area del triangolo o del rettangolo (formula ancora più semplice, essendo base x altezza).

Per calcolare le aree noi possediamo essenzialmente una sola formula : quella per l'area del rettangolo !!! (l'area del triangolo, in effetti, è la metà di quella di un rettangolo).

Come fare allora per figure che presentano lati curvi ?

L'idea è quella di "ricavare" nella figura tante "strisce rettangolari". Sommando le aree di tali rettangoli si avrà una approssimazione dell'area cercata, approssimazione che sarà tanto migliore quanto maggiore sarà il numero dei rettangoli che costruiremo. 

Questo procedimento ha origini molto antiche. I Greci lo utilizzarono forse per primi, ma è solo con il calcolo integrale (capitolo del calcolo infinitesimale (poi detto differenziale)), a partire principalmente da Newton e Leibnitz, che queste problematiche vengono affrontate e risolte in modo sistematico.

Vediamo graficamente come il problema viene affrontato :

Ecc. Ecc. 

Nei grafici, abbiamo chiamato con  , ,   le aree formate rispettivamente da  , ,   rettangoli, così come indicato.

Chiaramente il processo può essere iterato all'infinito, cioè si può sempre prendere rettangoli sempre più "sottili" ed in numero maggiore e facendo questo, si approssima sempre meglio l'area cercata. 

Possiamo perciò scrivere :

dove con    indichiamo la somma di    rettangoli (la somma delle loro aree).

Il procedimento qui indicato per calcolare l'area cercata viene attualmente espresso con un "formalismo" particolare. La lettera    che indica la somma viene "allungata" e "stilizzata" e si omette di scrivere la parola "limite". 

Il formalismo attuale è il seguente :

          .

La scrittura :

viene pronunciata così : 

        integrale da    a    di    in  "de"  .

Nel nostro caso la funzione    è    , ma il procedimento e quanto qui (ed in seguito) affermato è valido sempre, per ogni (sotto certe restrizioni) funzione  .

Il simbolo (una    stilizzata) :

è quindi il simbolo di integrale o di integrazione.

I numeri   ed    si chiamano estremi di integrazione ed indicano come l'area in questione è delimitata rispetto alla variabile indipendente  .  

Ma ritorniamo ora al nostro "procedimento iterativo" di suddivisione dell'area cercata in rettangoli e vediamo di scrivere le formule che esprimono il procedimento.

Fissiamo un valore di  , per esempio    e calcoliamo  , cioè l'area formata dalla somma dei    rettangoli, ciascuno con base uguale ad  , con cui approssimiamo l'area cercata. 

Facciamolo osservando il grafico :

Avremo :

essendo in questo caso :

la base di ogni singolo rettangolo.

Per un valore qualunque di    avremo :

dove i puntini significano che si procede fino a giungere all'ultimo termine, quello con  .

Poiché l'area cercata vale :

        ,

si tratterà allora di calcolare tale limite per    tendente all'infinito.

Questi tipi di limite (si tratta di serie di infiniti termini) sono in generale non risolubili esattamente. Soluzioni esatte possono essere ricavate solo in pochi casi !!!

Si procede allora, con l'aiuto del computer, a calcoli approssimati. Prendendo valori di    molto grandi, per esempio  , si ottiene in pochi istanti di tempo macchina un risultato approssimato che può risultare soddisfacente per applicazioni pratiche (fisiche, ingegneristiche ecc.). 

Ma il matematico teorico non si "accontenta" di un risultato approssimato e, se possibile, ne cerca uno esatto.

Il problema qui proposto, cioè di calcolare un'area per una figura che ha lati curvi, può essere allora affrontato in un modo generale che porta a soluzioni esatte in un numero molto maggiore di casi (non in tutti i casi, purtroppo ... come vedremo più avanti nel corso).

Vediamo come si procede in modo più generale.

Mettiamoci ancora nella situazione in cui    e poniamo :

per cui, nell'esempio, sarà :

        .

Poniamo anche :

così generalizziamo al massimo il procedimento che andiamo a mostrare, per cui esso varrà anche per ogni altra funzione oltre all'esponenziale qui introdotta.

Il grafico che ne deriva (analogo al precedente) è :

Introduciamo ora la nuova funzione    in modo che si abbia :

        .

Graficamente, mettendo "in colonna" i grafici di    e di    (così risultano meglio paragonabili) :

        (la curva    è stata tracciata non osservando le proporzioni fra le aree)

Il primo valore    è preso a caso in quanto ciò che conta veramente sono le differenze così come indicate nella formula precedente che definisce .

Ciascuna differenza, come si deduce osservando per esempio la prima formula  , corrisponde ad un'area così come indicato nel grafico.

Supponiamo ora che    abbia un valore qualunque e supponiamo che questo valore sia molto grande, diciamo "grande a piacere". 

Avremo allora :

Riscriviamo le formule dividendo ogni termine di qua e di là dall'uguale per    che è un numero "piccolo a piacere" (essendo    "grande a piacere"), ma non nullo (ricordiamo sempre che dividere per    è proibito !!!).

Avremo :

        .

Ciascun rapporto scritto a sinistra è circa la pendenza (la derivata) della curva    in ogni suo punto (si ha esattamente la derivata in ogni punto quando si pone  ).

Possiamo allora affermare che si ha :

ovvero che la derivata di    eguaglia    in ogni punto.

La funzione    si chiama una primitiva di  .

Torniamo ora al nostro caso particolare per cui :

         .

Noi sappiamo già molto bene che :

per cui possiamo, in questo caso, scrivere :

        .

Ritorniamo ora alla formula :

e sommiamo "in colonna" tutti i termini presenti nelle espressioni. E' facile notare che si ottiene una semplificazione "a cascata". 

Tali somme si chiamano anche "serie telescopiche" i primi studi delle quali risalgono al grande Evangelista Torricelli (1608 - 1647) al cui nome sono legate, essendone stato egli un "precursore", queste tecniche generali di integrazione.

Semplificando, si ottiene :

essendo la sommatoria dei termini a destra esattamente uguale a  .

Ma, nel nostro caso  , per cui avremo :

cioè :

        .

Siccome già stiamo supponendo    (altrimenti l'eguaglianza    non sarebbe valida), possiamo scrivere direttamente :

        .

L'area cercata è quindi esattamente  .

Approssimando (il numero di Nepero    è irrazionale, quindi con infiniti decimali non periodici), otteniamo per esempio :

        .

Fine.

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