E-school di Arrigo
Amadori
Tutorial di matematica
Funzioni reali notevoli : funzione esponenziale
(2' parte)
05 - Funzione esponenziale composta
Con riferimento alla funzione esponenziale 
è possibile "costruire" infinite funzioni composte semplicemente
sostituendo all'esponente una qualsiasi funzione
.
Facciamo i seguenti importanti esempi.
- 1 - la
"famiglia" di funzioni 
(dove 
è un
numero reale)
Si tratta di infinite funzioni che dipendono dalla scelta
del "parametro" ma che passano tutte
per il punto "fisso" 
in quanto, ponendo 
, si ottiene :
.
Riportiamo alcune di queste funzioni, per qualche valore del parametro
, nel seguente grafico :
Se il parametro vale 
, la
funzione diventa la retta orizzontale 
.
Se il parametro è positivo
e cresce, le curve di conseguenza cresceranno con maggiore
"velocità".
Se il parametro è negativo
e cresce in valore assoluto, le curve di conseguenza decresceranno
con maggiore "velocità" (sempre in valore assoluto).
Per calcolare la derivata (pendenza) della funzione
possiamo procedere nel seguente modo.
Possiamo indicare la derivata con il simbolo :
(si legge "de y in de x").
Questo dipende dal fatto illustrato dal seguente grafico :
La derivata della funzione 
nel suo punto di ascissa 
(nel grafico il punto 
) è la pendenza della retta 
tangente alla curva (che rappresenta la funzione) in
. Ricordiamo che la pendenza di una retta eguaglia il suo coefficiente
angolare ovvero la tangente trigonometrica dell'angolo che la retta forma
con l'asse della ascisse (misurato in senso antiorario partendo
dall'asse delle ascisse stesso).
La retta tangente
viene di solito ottenuta come processo al limite a partire dalla retta
secante 
così come indicato nel grafico.
Avremo allora che, se si considera la quantità 
tendente a zero, la derivata di
nel punto di ascissa
è :
(abbiamo riportato anche gli usuali simboli 
, 
, con i
quali si indica la derivata) dove con
, 
si indicano quantità
tendenti a zero, ovvero, come si dice, quantità infinitesime.
Il procedimento qui indicato è alla base del calcolo infinitesimale (oggi più propriamente chiamato calcolo differenziale). Questi basilari concetti si debbono a Leibnitz e Newton nella seconda meta del 1600.
Ritorniamo ora al calcolo della derivata della funzione
.
Scriviamo l'uguaglianza :
,
dove 
è una ulteriore variabile, che è vera in quanto, semplificando
i 
, si
ottiene .
Se poniamo :
,
la funzione diventa :
.
Poiché, come già ben sappiamo, è :
,
avremo allora :
.
Siccome
è una retta e la sua pendenza eguaglia il suo coefficiente
angolare , possiamo scrivere :
.
Sostituendo, ricaviamo infine :
ovvero, essendo
:
.
La derivata della funzione
è quindi uguale al parametro
per la funzione stessa, cioè :
.
Questo è un altro importante ed utile risultato.
Se si ha 
la funzione
diventa la funzione esponenziale
e la sua derivata diventa :
come già ben sappiamo.
- 2 - la
funzione di Gauss 
Questa è fra le funzioni più "celebri" di tutta la matematica. Essa fu introdotta dal grande Gauss ed è chiamata anche semplicemente gaussiana, oppure funzione a campana o funzione degli errori e trova molte applicazioni in fisica e nella teoria degli errori.
Nella teoria degli errori essa mostra come i valori casuali che una variabile può assumere si distribuiscono maggiormente attorno ad un valore medio più "probabile" mentre, lontano da quel valore, i risultati sono meno probabili ed in modo rapidamente decrescente.
Questo può essere meglio compreso osservando per esempio un buon giocatore di freccette. Dopo molti tiri, i risultati saranno distribuiti attorno al centro in modo rappresentabile appunto dalla gaussiana : più tiri attorno al centro, meno tiri ed in modo decrescente, allontanandosi da esso.
La gaussiana è sempre positiva per cui il suo grafico si trova tutto sopra l'asse delle ascisse. Questo dipende dal fatto che la funzione esponenziale è positiva qualunque sia il valore dell'esponente.
Si ha anche che, per
, la gaussiana vale 
.
La gaussiana è una funzione simmetrica rispetto all'asse
delle ordinate (si dice anche funzione pari). Infatti, sostituendo
ad 
il valore
, cioè
facendo 
, si
ottiene lo stesso risultato, ovvero 
.
Si ha cioè :
.
La gaussiana è "rapidamente" decrescente quando
la cresce
in valore assoluto.
Questo fatto lo si capisce osservando che :
e che 
diventa rapidamente molto grande (quindi 
molto piccolo).
Per esempio, per 
si ottiene :
e per 
si
ottiene :
.
Come si vede bene, una sola unità in più produce un risultato molto più
piccolo (in proporzione) e questo sempre più aumentando la
(in valore assoluto).
Possiamo riassumere questo comportamento per valore di
molto grandi (in valore assoluto) scrivendo :
.
Per questo, l'asse delle ascisse funge da asintoto orizzontale della funzione.
Il grafico della gaussiana è allora :
(nel grafico abbiamo evidenziato il fatto che la gaussiana è una funzione simmetrica rispetto all'asse delle ordinate)
La derivata della funzione gaussiana è ricavabile, come nel caso precedente, utilizzando la formula :
.
Al momento, per i nostri scopi presenti, non procederemo al calcolo della suddetta derivata rimandandola ad approfondimenti futuri.
Ci limitiamo solo a tracciarne il grafico (con tecniche numeriche) così che il lettore interessato possa già da ora esaminarla.
Si ha :
(la derivata della gaussiana è la curva in rosso)
Fine.