E-school  di  Arrigo Amadori

Tutorial di matematica

Funzioni reali notevoli : funzione esponenziale (2' parte)

05 - Funzione esponenziale composta   

Con riferimento alla funzione esponenziale  è possibile "costruire" infinite funzioni composte semplicemente sostituendo all'esponente una qualsiasi funzione  .

Facciamo i seguenti importanti esempi

        - 1 -    la "famiglia" di funzioni    (dove    è un numero reale) 

Si tratta di infinite funzioni che dipendono dalla scelta del "parametro ma che passano tutte per il punto "fisso"    in quanto, ponendo   , si ottiene :

         .

Riportiamo alcune di queste funzioni, per qualche valore del parametro  , nel seguente grafico :

       

Se il parametro vale  , la funzione diventa la retta orizzontale  .

Se il parametro    è positivo e cresce, le curve di conseguenza cresceranno con maggiore "velocità".

Se il parametro    è negativo e cresce in valore assoluto, le curve di conseguenza decresceranno con maggiore "velocità" (sempre in valore assoluto).

Per calcolare la derivata (pendenza) della funzione    possiamo procedere nel seguente modo.

Possiamo indicare la derivata con il simbolo :

       

(si legge "de y in de x").

Questo dipende dal fatto illustrato dal seguente grafico :

        

La derivata della funzione    nel suo punto di ascissa    (nel grafico il punto  ) è la pendenza della retta    tangente alla curva (che rappresenta la funzione) in  . Ricordiamo che la pendenza di una retta eguaglia il suo coefficiente angolare ovvero la tangente trigonometrica dell'angolo che la retta forma con l'asse della ascisse (misurato in senso antiorario partendo dall'asse delle ascisse stesso).

La retta tangente    viene di solito ottenuta come processo al limite a partire dalla retta secante  così come indicato nel grafico.

Avremo allora che, se si considera la quantità  tendente a zero, la derivata di    nel punto di ascissa    è :

         

(abbiamo riportato anche gli usuali simboli  , con i quali si indica la derivata) dove con  ,   si indicano quantità tendenti a zero, ovvero, come si dice, quantità infinitesime.

Il procedimento qui indicato è alla base del calcolo infinitesimale (oggi più propriamente chiamato calcolo differenziale). Questi basilari concetti si debbono a Leibnitz e Newton nella seconda meta del 1600.

Ritorniamo ora al calcolo della derivata della funzione  .

Scriviamo l'uguaglianza :

        ,

dove    è una ulteriore variabile, che è vera in quanto, semplificando , si ottiene  .

Se poniamo :

        ,

la funzione    diventa :

        .

Poiché, come già ben sappiamo, è :

        ,

avremo allora :

        .

Siccome    è una retta e la sua pendenza eguaglia il suo coefficiente angolare  , possiamo scrivere :

        .

Sostituendo, ricaviamo infine :

       

ovvero, essendo  :

        .

La derivata della funzione    è quindi uguale al parametro    per la funzione stessa, cioè :

        .

Questo è un altro importante ed utile risultato.

Se si ha    la funzione    diventa la funzione esponenziale    e la sua derivata diventa :

       

come già ben sappiamo.

        - 2 -    la funzione di Gauss   

Questa è fra le funzioni più "celebri" di tutta la matematica. Essa fu introdotta dal grande Gauss ed è chiamata anche semplicemente gaussiana, oppure funzione a campana o funzione degli errori e trova molte applicazioni in fisica e nella teoria degli errori

Nella teoria degli errori essa mostra come i valori casuali che una variabile può assumere si distribuiscono maggiormente attorno ad un valore medio più "probabile" mentre, lontano da quel valore, i risultati sono meno probabili ed in modo rapidamente decrescente

Questo può essere meglio compreso osservando per esempio un buon giocatore di freccette. Dopo molti tiri, i risultati saranno distribuiti attorno al centro in modo rappresentabile appunto dalla gaussiana : più tiri attorno al centro, meno tiri ed in modo decrescente, allontanandosi da esso. 

La gaussiana è sempre positiva per cui il suo grafico si trova tutto sopra l'asse delle ascisse. Questo dipende dal fatto che la funzione esponenziale è positiva qualunque sia il valore dell'esponente.

Si ha anche che, per  , la gaussiana vale 

La gaussiana è una funzione simmetrica rispetto all'asse delle ordinate (si dice anche funzione pari). Infatti, sostituendo ad    il valore  , cioè facendo  , si ottiene lo stesso risultato, ovvero

Si ha cioè :

        .

La gaussiana è "rapidamente" decrescente quando la    cresce in valore assoluto.

Questo fatto lo si capisce osservando che :

       

e che    diventa rapidamente molto grande (quindi    molto piccolo). 

Per esempio, per    si ottiene :

         

e per  si ottiene :

        .

Come si vede bene, una sola unità in più produce un risultato molto più piccolo (in proporzione) e questo sempre più aumentando la    (in valore assoluto). 

Possiamo riassumere questo comportamento per valore di    molto grandi (in valore assoluto) scrivendo :

       

        .

Per questo, l'asse delle ascisse funge da asintoto orizzontale della funzione.

Il grafico della gaussiana è allora :

       

        (nel grafico abbiamo evidenziato il fatto che la gaussiana è una funzione simmetrica rispetto all'asse delle ordinate)

La derivata della funzione gaussiana è ricavabile, come nel caso precedente, utilizzando la formula :

        .

Al momento, per i nostri scopi presenti, non procederemo al calcolo della suddetta derivata rimandandola ad approfondimenti futuri.

Ci limitiamo solo a tracciarne il grafico (con tecniche numeriche) così che il lettore interessato possa già da ora esaminarla.

Si ha :

       

        (la derivata della gaussiana è la curva in rosso)

Fine.

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