E-school  di  Arrigo Amadori

Tutorial di matematica

Funzioni reali notevoli : funzione esponenziale (1' parte)

01 - Formule notevoli per le potenze.

Riportiamo qui le formule più importanti relative alle potenze

Abbiamo :

         

dove   è un numero reale positivo qualunque e    sono numeri naturali qualunque, cioè possono prendere i valori  .

Si notino in particolare le potenze ad esponente negativo ed a esponente frazionario !!!

Si ricordi anche, come sempre, che i denominatori di tutte le frazioni devono essere diversi da zero !!!

Abbiamo anche :

       

       

       

        .

Una trattazione più dettagliata di questi argomenti è già stata effettuata alla pagina :

         ../PotenzeRadiciLogaritmi/PotRadLog.htm .

Le formule scritte sopra non prevedono il caso in cui l'esponente sia un numero irrazionale (ricordiamo che i numeri reali si dividono in numeri razionali, esprimibili come frazioni di numeri interi, ed i numeri irrazionali non esprimibili come frazioni di numeri interi (per esempio , , , , ecc. ecc.)). 

Come si procede allora per calcolare una potenza con esponente irrazionale, non essendo esso esprimibile come frazione e quindi non potendo usare la formula    ?

Si esegue un procedimento al limite.

Mostriamo, come esempio, tale procedimento per la potenza :

        .

L'esponente    è un numero irrazionale e, come già detto, non è esprimibile come frazione di numeri interi. però è possibile, con un qualche algoritmo, ottenere una sua rappresentazione decimale con il numero di decimali non periodici dopo la virgola che si desidera (in realtà, un numero irrazionale possiede, dopo la virgola, infiniti decimali non periodici).

Supponiamo di avere trovato che :

        .

Procediamo allora costruendo questa successione :

        .

In questo modo ci avviciniamo sempre di più al valore cercato  .

Ma i numeri decimali agli esponenti sono numeri razionali (con un numero finito di decimali o con un numero infinito di decimali periodici), cioè esprimibili come frazioni di numeri interi. Possiamo allora scrivere :

        .

Passando ora alle radici, otteniamo la successione :

        .

Questa successione, procedendo in questo modo all'infinito, tenderà al numero  .

Le formule presentate in questo paragrafo ci permettono, in conclusione, di eseguire operazioni con le potenze e calcolare potenze con qualunque esponente reale (razionale o irrazionale).

02 - Il numero di Nepero  .

Il numero di Nepero    è usato come possibile (ed importantissima !!!) base della funzione esponenziale.

Si tratta di un numero irrazionale (cioè, lo ribadiamo, non esprimibile come frazione di numeri interi ma esprimibile come numero decimale con infiniti decimali non periodici dopo la virgola) che vale :

        .

Esso può essere "costruito" come il limite della successione :

         

(dove  ) cioè costruendo la successione di numeri :

         

che lasciamo calcolare al lettore fino al valore di  desiderato.

03 - Funzione esponenziale.

Introduciamo la funzione :

       

con  , , dove la variabile indipendente    si trova all'esponente (ecco il perché del nome !!).

Essa si chiama funzione esponenziale di base  .

Se fosse  , la funzione esponenziale di base    sarebbe :

       

ovvero la retta orizzontale  :

       

Questo tipo di funzione esponenziale, che si riduce ad una retta, è privo di interesse, ecco perché abbiamo posto  .

Non prenderemo in considerazione neppure i casi con  e con    .

Le possibili basi saranno allora numeri fra    ed    oppure i numeri maggiori di .

Ovviamente la base di una funzione esponenziale deve essere scelta a priori.

Consideriamo, per renderci conto delle proprietà delle varie funzioni esponenziali, i casi con :

       

       

          (il numero di Nepero)        

        .

Il caso con  riveste una particolare importanza, come mostreremo fra breve. 

La funzione esponenziale di base    si chiama, per questo motivo, semplicemente funzione esponenziale.

La funzione esponenziale (per "antonomasia") è quindi la funzione :

         

che può essere scritta anche nel modo seguente :

        .

Passiamo ora allo studio delle funzioni esponenziali appena proposte :

        - 1 - funzione esponenziale con base  , cioè   

Diamo alla variabile indipendente    alcuni valori indicativi

Abbiamo :

        con    nullo

          (ricordiamo che ogni numero elevato alla    fornisce il risultato  )

        con    positivi

       

       

       

        ... ... ...

        con    negativi

          

          (perché  )

       

        ... ... ...

Riportiamo questi risultati su un grafico cartesiano considerando che a tutti gli altri valori  della  corrispondono valori della    con "continuità".

Il grafico della funzione esponenziale di base    è quindi :

       

Osservando il grafico si nota subito che :

        -    la funzione passa per il punto 

        -    la funzione è sempre crescente

        -    la funzione è sempre positiva. La curva che esprime il grafico della funzione si trova tutta "sopra" l'asse delle ascisse

        -    la funzione tende a più infinito quando la    tende a più infinito

        -    la funzione tende a zero quando la    tende a meno infinito, ovvero la curva si avvicina sempre di più all'asse delle ascisse (asse delle  ) quando la    tende a meno infinito. Infatti, per valori di    crescenti in senso negativo (ovvero decrescenti indefinitamente), per esempio per  , la  assume i valori decrescenti tendenti a zero  . Per questo si dice che l'asse delle ascisse è un asintoto orizzontale della funzione esponenziale.

        - 2 funzione esponenziale con base  , cioè   

Abbiamo :

          

       

       

        ... ... ...

          

          

        ... ... ...

Il grafico della funzione esponenziale di base    è quindi :

       

Osservando il grafico si nota subito che l'andamento della funzione    è analogo a quello della precedente funzione  . Rispetto alla precedente, la presente funzione è solo più "veloce" a tendere a più infinito quando la    tende a più infinito, e più "veloce" a tendere a zero quando la    tende a meno infinito.

        - 3 - funzione esponenziale con base , cioè 

Analogamente ai casi precedenti, il grafico della funzione esponenziale (con base  ) è :

       

Essendo  , la "velocità" con cui la funzione cresce sarà intermedia fra quelle delle funzioni precedenti.

        - 4 - funzione esponenziale con base , cioè  

Abbiamo :

          

       

       

       

        ... ... ...

           (perché  )

           (perché  )

       

        ... ... ...

Il grafico della funzione esponenziale di base    è quindi :

       

In questo caso, la funzione esponenziale è decrescente ed i suoi "comportamenti al limite" (per     tendente a più infinito ed a meno infinito) sono "invertiti" rispetto ai casi precedenti.

Rappresentiamo ora le suddette funzioni esponenziali di varie basi in un grafico d'insieme così da poterne cogliere in un solo "colpo d'occhio" le principali proprietà :

       

Con una scala più "fine" in modo da evidenziare meglio il comportamento delle funzioni nell'intorno di  :

       

Possiamo perciò riassumere :

        -    ogni funzione esponenziale, con qualunque base, passa per il punto 

        -    ogni funzione esponenziale, con qualunque base, è sempre positiva, cioè la curva che rappresenta il suo grafico si trova "sopra" l'asse delle ascisse

        -    se    :

                    -    la funzione esponenziale è crescente 

                    -    la funzione esponenziale tende a più infinito quando   tende a più infinito e tende a zero quando   tende a meno infinito

        -    se    :

                    -    la funzione esponenziale è decrescente 

                    -    la funzione esponenziale tende a zero quando   tende a più infinito e tende a più infinito quando   tende a meno infinito

        -    l'asse delle ascisse è un asintoto orizzontale per ogni funzione esponenziale (con qualunque base)

04 - Pendenza della funzione esponenziale.

Vogliamo ora studiare la pendenza, ovvero la derivata, della funzione esponenziale   , cioè quando la base è il numero di Nepero  .

Il risultato che troveremo è di fondamentale importanza nell'intera matematica e questo giustifica l'importanza che assume il numero di Nepero  .

Consideriamo il grafico :

       

e calcoliamo la pendenza della curva esponenziale nel punto 

Per fare questo, come sempre quando vogliamo calcolare la pendenza di una curva, dobbiamo eseguire un procedimento al limite iniziando col calcolare la pendenza della retta secante che interseca la curva in  (che per noi è un punto "fisso") ed in un altro punto (che per noi è un punto "mobile"). Fatto questo, immagineremo che il punto   si "avvicini" sempre di più al punto  . La retta secante    tenderà allora a diventare la retta tangente in  che chiameremo  .

Graficamente :

       

Riassumiamo il processo al limite :

        Il punto    si avvicina al punto  , la secante  diventa la tangente    e la lunghezza del segmento  , che vale  , tende a zero, cioè sarà  .

Ma la pendenza della secante    vale :

        .

Per calcolare la pendenza della tangente    , ovvero la pendenza della curva esponenziale in  , ovvero la derivata della funzione esponenziale in  , basterà allora calcolare il limite :

        .

Notiamo subito che, se sostituiamo direttamente    a   , si ottiene una divisione per zero, operazione che in matematica è proibita

Si ottiene infatti :

         

che, con maggiore precisione di linguaggio matematico, si chiama forma indeterminata perché, in effetti, tutti i numeri potrebbero essere un risultato dell'operazione  , in quanto ogni numero moltiplicato per    fornisce  .

Per risolvere il limite occorre allora procedere con qualche "artifizio".

Prima di tutto, utilizzando le proprietà delle potenze e raccogliendo a fattore comune, scriviamo :

        .

Siccome , ponendo :

        ,

avremo che :

        .

Sostituiamo    al posto di     . Otteniamo allora :

          .

D'altra parte, sappiamo bene che per definizione è :

        .

Se sostituiamo in  al posto di    il limite che lo definisce, otteniamo :

       

che, tenendo presente la proprietà delle potenze per cui  , diventa :

        .

Abbiamo perciò ricavato il fondamentale risultato (per tutta la matematica) che la pendenza (la derivata) della funzione esponenziale (con base  ) nel punto di ascissa    è uguale al valore della funzione stessa in quel punto.

Possiamo quindi scrivere :

       

dove con il simbolo    indichiamo appunto la derivata.

Ritorneremo spesso su questo fondamentale risultato.

Fine.

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