Tutorial di matematica : funzioni reali notevoli - funzione esponenziale (1' parte)

E-school di Arrigo Amadori

Tutorial di matematica

Funzioni reali notevoli : funzione esponenziale (1' parte)

01 - Formule notevoli per le potenze.

Riportiamo qui le formule più importanti relative alle potenze.

Abbiamo :

dove è un numero reale positivo qualunque e , sono numeri naturali qualunque, cioè possono prendere i valori .

Si notino in particolare le potenze ad esponente negativo ed a esponente frazionario !!!

Si ricordi anche, come sempre, che i denominatori di tutte le frazioni devono essere diversi da zero !!!

Abbiamo anche :

Una trattazione più dettagliata di questi argomenti è già stata effettuata alla pagina :

../PotenzeRadiciLogaritmi/PotRadLog.htm .

Le formule scritte sopra non prevedono il caso in cui l'esponente sia un numero irrazionale (ricordiamo che i numeri reali si dividono in numeri razionali, esprimibili come frazioni di numeri interi, ed i numeri irrazionali non esprimibili come frazioni di numeri interi (per esempio , , , , ecc. ecc.)).

Come si procede allora per calcolare una potenza con esponente irrazionale, non essendo esso esprimibile come frazione e quindi non potendo usare la formula ?

Si esegue un procedimento al limite.

Mostriamo, come esempio, tale procedimento per la potenza :

L'esponente è un numero irrazionale e, come già detto, non è esprimibile come frazione di numeri interi. però è possibile, con un qualche algoritmo, ottenere una sua rappresentazione decimale con il numero di decimali non periodici dopo la virgola che si desidera (in realtà, un numero irrazionale possiede, dopo la virgola, infiniti decimali non periodici).

Supponiamo di avere trovato che :

Procediamo allora costruendo questa successione :

In questo modo ci avviciniamo sempre di più al valore cercato .

Ma i numeri decimali agli esponenti sono numeri razionali (con un numero finito di decimali o con un numero infinito di decimali periodici), cioè esprimibili come frazioni di numeri interi. Possiamo allora scrivere :

Passando ora alle radici, otteniamo la successione :

Questa successione, procedendo in questo modo all'infinito, tenderà al numero .

Le formule presentate in questo paragrafo ci permettono, in conclusione, di eseguire operazioni con le potenze e calcolare potenze con qualunque esponente reale (razionale o irrazionale).

02 - Il numero di Nepero .

Il numero di Nepero è usato come possibile (ed importantissima !!!) base della funzione esponenziale.

Si tratta di un numero irrazionale (cioè, lo ribadiamo, non esprimibile come frazione di numeri interi ma esprimibile come numero decimale con infiniti decimali non periodici dopo la virgola) che vale :

Esso può essere "costruito" come il limite della successione :

(dove ) cioè costruendo la successione di numeri :

che lasciamo calcolare al lettore fino al valore di desiderato.

03 - Funzione esponenziale.

Introduciamo la funzione :

con , , dove la variabile indipendente si trova all'esponente (ecco il perché del nome !!).

Essa si chiama funzione esponenziale di base .

Se fosse , la funzione esponenziale di base sarebbe :

ovvero la retta orizzontale :

Questo tipo di funzione esponenziale, che si riduce ad una retta, è privo di interesse, ecco perché abbiamo posto .

Non prenderemo in considerazione neppure i casi con e con .

Le possibili basi saranno allora numeri fra ed oppure i numeri maggiori di .

Ovviamente la base di una funzione esponenziale deve essere scelta a priori.

Consideriamo, per renderci conto delle proprietà delle varie funzioni esponenziali, i casi con :

(il numero di Nepero)

Il caso con riveste una particolare importanza, come mostreremo fra breve.

La funzione esponenziale di base si chiama, per questo motivo, semplicemente funzione esponenziale.

La funzione esponenziale (per "antonomasia") è quindi la funzione :

che può essere scritta anche nel modo seguente :

Passiamo ora allo studio delle funzioni esponenziali appena proposte :

- 1 - funzione esponenziale con base , cioè

Diamo alla variabile indipendente alcuni valori indicativi.

Abbiamo :

con nullo :

(ricordiamo che ogni numero elevato alla fornisce il risultato )

con positivi :

... ... ...

con negativi :

(perché )

... ... ...

Riportiamo questi risultati su un grafico cartesiano considerando che a tutti gli altri valori della corrispondono valori della con "continuità".

Il grafico della funzione esponenziale di base è quindi :

Osservando il grafico si nota subito che :

- la funzione passa per il punto

- la funzione è sempre crescente

- la funzione è sempre positiva. La curva che esprime il grafico della funzione si trova tutta "sopra" l'asse delle ascisse

- la funzione tende a più infinito quando la tende a più infinito

- la funzione tende a zero quando la tende a meno infinito, ovvero la curva si avvicina sempre di più all'asse delle ascisse (asse delle ) quando la tende a meno infinito. Infatti, per valori di crescenti in senso negativo (ovvero decrescenti indefinitamente), per esempio per , la assume i valori decrescenti tendenti a zero . Per questo si dice che l'asse delle ascisse è un asintoto orizzontale della funzione esponenziale.

- 2 - funzione esponenziale con base , cioè

Abbiamo :

... ... ...

Il grafico della funzione esponenziale di base è quindi :

Osservando il grafico si nota subito che l'andamento della funzione è analogo a quello della precedente funzione . Rispetto alla precedente, la presente funzione è solo più "veloce" a tendere a più infinito quando la tende a più infinito, e più "veloce" a tendere a zero quando la tende a meno infinito.

- 3 - funzione esponenziale con base , cioè

Analogamente ai casi precedenti, il grafico della funzione esponenziale (con base ) è :

Essendo , la "velocità" con cui la funzione cresce sarà intermedia fra quelle delle funzioni precedenti.

- 4 - funzione esponenziale con base , cioè

Abbiamo :

... ... ...

(perché )

... ... ...

Il grafico della funzione esponenziale di base è quindi :

In questo caso, la funzione esponenziale è decrescente ed i suoi "comportamenti al limite" (per tendente a più infinito ed a meno infinito) sono "invertiti" rispetto ai casi precedenti.

Rappresentiamo ora le suddette funzioni esponenziali di varie basi in un grafico d'insieme così da poterne cogliere in un solo "colpo d'occhio" le principali proprietà :

Con una scala più "fine" in modo da evidenziare meglio il comportamento delle funzioni nell'intorno di :

Possiamo perciò riassumere :

- ogni funzione esponenziale, con qualunque base, passa per il punto

- ogni funzione esponenziale, con qualunque base, è sempre positiva, cioè la curva che rappresenta il suo grafico si trova "sopra" l'asse delle ascisse

- se :

- la funzione esponenziale è crescente

- la funzione esponenziale tende a più infinito quando tende a più infinito e tende a meno infinito quando tende a meno infinito

- se :

- la funzione esponenziale è decrescente

- la funzione esponenziale tende a meno infinito quando tende a più infinito e tende a più infinito quando tende a meno infinito

- l'asse delle ascisse è un asintoto orizzontale per ogni funzione esponenziale (con qualunque base)

04 - Pendenza della funzione esponenziale.

Vogliamo ora studiare la pendenza, ovvero la derivata, della funzione esponenziale , cioè quando la base è il numero di Nepero .

Il risultato che troveremo è di fondamentale importanza nell'intera matematica e questo giustifica l'importanza che assume il numero di Nepero .

Consideriamo il grafico :

e calcoliamo la pendenza della curva esponenziale nel punto .

Per fare questo, come sempre quando vogliamo calcolare la pendenza di una curva, dobbiamo eseguire un procedimento al limite iniziando col calcolare la pendenza della retta secante che interseca la curva in (che per noi è un punto "fisso") ed in un altro punto (che per noi è un punto "mobile"). Fatto questo, immagineremo che il punto si "avvicini" sempre di più al punto . La retta secante tenderà allora a diventare la retta tangente in che chiameremo .

Graficamente :

Riassumiamo il processo al limite :

Il punto si avvicina al punto , la secante diventa la tangente e la lunghezza del segmento , che vale , tende a zero, cioè sarà .

Ma la pendenza della secante vale :

Per calcolare la pendenza della tangente , ovvero la pendenza della curva esponenziale in , ovvero la derivata della funzione esponenziale in , basterà allora calcolare il limite :

Notiamo subito che, se sostituiamo direttamente a , si ottiene una divisione per zero, operazione che in matematica è proibita.

Si ottiene infatti :

che, con maggiore precisione di linguaggio matematico, si chiama forma indeterminata perché, in effetti, tutti i numeri potrebbero essere un risultato dell'operazione , in quanto ogni numero moltiplicato per fornisce .

Per risolvere il limite occorre allora procedere con qualche "artifizio".

Prima di tutto, utilizzando le proprietà delle potenze e raccogliendo a fattore comune, scriviamo :

Siccome , ponendo :

avremo che :

Sostituiamo al posto di . Otteniamo allora :

D'altra parte, sappiamo bene che per definizione è :

Se sostituiamo in al posto di il limite che lo definisce, otteniamo :

che, tenendo presente la proprietà delle potenze per cui , diventa :

Abbiamo perciò ricavato il fondamentale risultato (per tutta la matematica) che la pendenza (la derivata) della funzione esponenziale (con base ) nel punto di ascissa è uguale al valore della funzione stessa in quel punto.

Possiamo quindi scrivere :

dove con il simbolo indichiamo appunto la derivata.

Ritorneremo spesso su questo fondamentale risultato.

Fine.

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