E-school  di  Arrigo Amadori

Tutorial di matematica

Funzioni


01 - Funzioni.

Una relazione  f  fra due insiemi  A  e  B  si dice che è una funzione se soddisfa le seguenti due 
condizioni :

        - 1 -    D(f) = A

                   cioè il dominio della relazione deve essere uguale al primo insieme  A

        - 2 -   

                   cioè ogni elemento del dominio deve avere un solo elemento corrispondente (detto anche 
                   immagine) nel codominio

Le funzioni sono quindi dei particolari tipi di relazione, cioè una funzione è una relazione mentre 
una relazione non è in generale una funzione. Per esserlo, una relazione, deve soddisfare le due 
condizioni precedenti.

Esempi (diamo direttamente i grafici cartesiani delle relazioni) :

        - 1 -    

       

                   la relazione  f  indicata nel grafico non è una funzione perché il dominio di  f  non è 
                   uguale ad  A .

        - 2 -

       

                   anche in questo caso la relazione  f   non è una funzione perché l'elemento  c  di  A  
                   ha due immagini.

        - 3 -    

       

                   la relazione  f  è in questo caso una funzione.

Le funzioni sono fra gli oggetti più importanti di tutta la matematica (così come della fisica).

02 - Esempi di funzioni numeriche.

Anche se ancora non abbiamo studiato sistematicamente i numeri, possiamo iniziare a fare alcuni 
esempi di funzioni numeriche visto che tutti noi abbiamo di essi (dei numeri) almeno una idea intuitiva.

Con i numeri si fanno principalmente le quattro operazioni e l'elevamento a potenza. Non sempre, 
però, queste operazioni hanno un risultato.

Non hanno risultato le seguenti operazioni :

        la divisione di qualunque numero per  0  cioè : 1 / 0 , 2/ 0 , 10 / 0 , -1 / 0 , ... ,  0 / 0  

        la potenza : 0 °

mentre bisogna ricordare che ogni numero (eccetto  0 ) elevato alla  0  dà  1 , cioè :   

        1 ° = 3 ° = 10 ° = (-4) ° = ... = 1 .

Si ricordi anche che  x ¹ = x .

Ritorneremo su queste "questioni" molte volte ed in particolare quando studieremo a fondo i numeri e 
le loro proprietà.

Per il momento, possiamo affermare che tutti i numeri, da meno infinito a più infinito, si chiamano 
numeri reali e che essi si possono porre su di una retta orientata (dotata di una freccia) :

       

Una generica funzione numerica si indica con la scrittura :

        y = f(x)

dove  x  è la variabile indipendente, appartenente al dominio della funzione, ed  y  è la variabile 
dipendente, appartenente al codominio della funzione.

Il simbolo  f(x)  significa che se si dà un valore alla  x , facendo i calcoli indicati dalla funzione stessa,
si ottiene un valore (uno solo !) della  y .

Una funzione può "contenere" altre funzioni quali la radice quadrata, il seno, il coseno, la tangente, il 
logaritmo, l'esponenziale ecc. Tutte funzioni "preconfezionate" importantissime che studieremo a fondo.

Data una qualunque funzione numerica è di fondamentale importanza disegnarne il grafico cartesiano.
La funzione, così come è scritta in termini simbolici, ci "dice" molto poco. Il suo grafico, invece, ci dà in
maniera visiva e sintetica tutte le informazioni di cui abbiamo bisogno.

Ecco allora che lo studio di funzione, il disegnarne il grafico, costituisce uno dei capitoli centrali di tutta
la matematica. In questo corso impareremo come studiare ogni tipo di funzione e questo sarà l'argomento
più importante che costituirà la base di tutti gli altri.

Riportiamo qui come esempio i grafici di alcuni funzioni numeriche.

        - 1 -    y = 1  ,  y = 2  ,   y = -1  ,   y = -2  ,   y = 0

               

        Si tratta di rette parallele all'asse delle  x , perché dando alla  x  qualsiasi valore, si ottiene sempre 
        una  y  costante. Si noti che la funzione  y = 0  coincide con l'asse delle  x .

        - 2 -    y = x

               

        La funzione  y = x  rappresenta la retta bisettrice del  I  e del  III  quadrante.

        - 3 -     y = -x

               

        La funzione  y = -x  rappresenta la retta bisettrice del  II  e del  IV  quadrante.

        - 4 -    y = x/2  ,  y = 2x  ,  y = 3x  ,  y = -2x

               

        Sono tutte rette che passano per l'origine  0 . Si noti che la "pendenza" della retta  y = 3x  è 
        maggiore di quella della retta  y = 2x . In generale, la pendenza è maggiore quanto più è grande 
        in valore assoluto (cioè privato del segno) il numero (coefficiente) che moltiplica la  x .

        - 5 -    y = mx

        Possiamo affermare allora che ogni funzione del tipo  y = mx , dove  m  è un numero qualunque, 
        rappresenta una retta che passa per l'origine. Viceversa, ogni retta che passa per l'origine è 
        rappresentata da una funzione del tipo  y = mx . Questa seconda affermazione è vera con una 
        sola eccezione :

        la retta che coincide con l'asse delle  y  non è rappresentabile da una funzione di quel tipo, anzi
        non è neppure una funzione, perché al valore  x = 0  corrispondono infinite immagini (per cui
        cade uno dei due presupposti perché una relazione sia una funzione).

        

        Il fatto che la retta  x = 0  (l'asse delle ordinate) non è una funzione lo si può dedurre anche considerando 
        che la retta  y = mx  ha una pendenza che cresce al crescere del valore di  m . Per valori di  m  sempre 
        più grandi, la retta tenderà a diventare verticale senza però mai esserlo veramente. Solo se  m  avesse 
        valore infinito, allora la retta diverrebbe esattamente verticale, quindi coincidente con l'asse delle  y , 
        ma l'infinito non è un numero, per cui nessuna funzione del tipo  y = mx  può rappresentare una tale 
        retta (verticale).

       

        (per semplicità abbiamo disegnato solo le semirette del  I  quadrante).

        - 6 -    y = mx + p

        Le funzioni di primo grado (in  x ) sono le funzioni più semplici. Esse sono riassumibili dalla 
        espressione  y = mx + p dove  m  e  p  sono due numeri reali qualunque. 

        Per esempio :

        y = 2x + 1

        y = 3x - 2   ecc.

        Orbene, tutte le funzioni del tipo  y = mx + p  sono rappresentate da una retta.

        Ritorneremo su questo più approfonditamente più avanti.

        - 7 -    y = f(x)

        In generale, una qualunque funzione ad una sola variabile, è rappresentata da una curva del 
        piano :

       

        Le rette viste sopra, in matematica, sono allora delle curve, anche se ... "dritte".

03 - Funzioni a due variabili indipendenti.

Le funzioni possono avere anche due variabili indipendenti. In questo caso vengono simbolicamente 
indicate dall'espressione : 

        z = f(x, y)

dove le variabili  x  ed  y  , le variabili indipendenti appunto, possono assumere valori qualunque mentre 
la variabile dipendente  z  è ottenuta di conseguenza calcolando l'espressione matematica che caratterizza 
la funzione stessa.

Come si rappresentano graficamente le funzioni a due variabili indipendenti ?

Prendiamo un sistema di assi cartesiani ortogonali a tre dimensioni  0xyz . Diamo poi valori a caso 
alle variabili indipendenti  x  ed  y  . Otterremo diversi punti del piano  0xy . Facciamo questo in 
modo da ottenere una certa regione (dominio) del piano  0xy .

Abbiamo così individuato un insieme di coppie ordinate  (x, y) . Adesso, per ciascuna di queste coppie
calcoliamo il valore  z = f(x, y) . Otteniamo quindi, per ogni coppia  (x, y)  un numero  z  . Immaginiamo
allora che questo numero  z  sia la "quota" di ciascuna coppia  (x, y) . Otterremo allora una superficie
dello spazio. 

Ogni funzione del tipo  z = f(x, y)  , a due variabili numeriche indipendenti, rappresenta così una superficie
dello spazio.

       

04 - Funzioni iniettive, suriettive, biunivoce.

Torniamo ad una funzione ad una sola variabile indipendente  y = f(x) che rappresenta una curva nel 
piano  0xy .

Consideriamo che il dominio di questa funzione sia l'insieme  A  . Supponiamo che  B  sia un insieme 
di valori della  y . Supponiamo che  A  ed  B  siano due intervalli (segmenti limitati).

Si hanno allora alcuni casi di particolare importanza.

Una funzione si dice  "1-1"  od iniettiva se ogni immagine è immagine di un solo elemento del dominio, 
ovvero se non c'è nessun elemento del codominio che è immagine di più elementi del dominio :

       

Una funzione si dice  "più a 1"  se una immagine (o più) è immagine di più elementi del dominio, 
ovvero se più elementi del dominio hanno la stessa immagine :

       

Una funzione si dice  "su"  o suriettiva se il codominio della funzione coincide col secondo insieme 
(nel nostro caso  B ) :

       

Una funzione si dice "1-1 su" o biunivoca se è contemporaneamente  1-1  e  su  :

       

05 - Invertibilità di una funzione.

Una relazione può essere sempre invertita e la relazione inversa si ottiene invertendo tutte le coppie 
ordinate che fanno parte della relazione. Si ha allora che il dominio della relazione diventa il codominio 
della relazione inversa e viceversa.

Cioè se la coppia  (a, b)  appartiene alla relazione  R , la coppia  (b, a)  apparterrà alla relazione 
inversa  R ¯ ¹ .

Graficamente, per "disegnare" la relazione inversa, basta fare l'immagine speculare del grafico della 
relazione rispetto alla bisettrice del  I  e  III  quadrante :

       

L'immagine speculare può essere considerata anche come una rotazione di  180°  rispetto alla suddetta
bisettrice. 

Proviamo allora ad invertire una funzione. Supponiamo che la funzione  f  sia più a 1. Facendo l'immagine 
speculare del suo grafico rispetto alla bisettrice del  I  e  III  quadrante si ha però una sorpresa "spiacevole" :
la funzione che si ottiene,  f  ¯ ¹ , non è più una funzione !!! Ad un elemento del dominio corrispondono più
elementi del codominio. Cade così uno dei presupposti perché una relazione sia una funzione.

       

Proviamo adesso ad invertire una funzione biunivoca. In questo caso si ottiene una funzione !!!

       

Abbiamo così scoperto un teorema della massima importanza in matematica :

        "una funzione è invertibile se e solo se è biunivoca".

06 - Altri esempi di funzione.

Seguono alcuni esempi di funzioni numeriche da  A  a  B , dove  A  e  B  sono indicati nei rispettivi grafici.

       

       

       

       

Ed ora due esempi di inversione di una funzione.

       

        

07 - Funzioni composte.

Consideriamo ora la funzione  y = f(x)  da  A  a  B  e la funzione  z = g(y)  da  B  a  C .

I loro grafici cartesiani, per esempio, siano  :

       

Se rappresentiamo le due funzioni con i diagrammi di Venn otteniamo :

        

(si noti che la rappresentazione con i diagrammi di Venn fornisce un altro interessante e "suggestivo" modo 
di visualizzare una funzione).

A questo punto ci chiediamo : è possibile "andare" da  x  a  z  direttamente, senza passare da  y ?

Basta considerare la funzione composta (detta anche funzione di funzione) :

        z = g(f(x))

che si ottiene sostituendo alla  y  di  g(y)  il suo valore  f(x) :

        

La funzione composta quindi fornisce una "scorciatoia" matematica che lega due funzioni, facendoci 
andare da  x  direttamente a  z .

Con i diagrammi di Venn si ha :

       

Facciamo un esempio numerico di funzione composta. Supponiamo che :

        y = f(x)  corrisponda a  y = 2x + 1 



        z = g(y)  corrisponda a  z = y ² .

La funzione composta  z = g(f(x))  sarà allora :

        z = (2x + 1) ² 

che si ottiene semplicemente sostituendo alla  y  di  g(y)  la  f(x) .

Fine. 

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