E-school  di  Arrigo Amadori

Tutorial di matematica

Curve reali notevoli : iperbole

01 - Equazione dell'iperbole.

L'iperbole è definita come il luogo geometrico (insieme) dei punti del piano per cui è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi.

Se i fuochi sono (prendendoli convenientemente)    e  , dove  , e    (con  ) è il valore di tale differenza costante, la definizione algebrica dell'iperbole è :

        ,

dove    è un generico punto dell'iperbole ed abbiamo posto il valore assoluto della differenza per ragioni di simmetria in quanto così troveremo punti sia a destra che a sinistra (simmetricamente) dell'asse delle .

Il perché della scelta del valore  è per convenienza.

Graficamente :

       

Dal grafico è evidente, come già affermato, la simmetria dell'iperbole rispetto all'asse delle  .

Per il ramo di destra dell'iperbole vale evidentemente, essendo , mentre per il ramo sinistra vale  .

Graficamente, per il ramo sinistra :

       

Applicando la definizione    si ricava (con calcoli analoghi a quelli eseguiti per l'ellisse) per l'iperbole l'equazione :

         ,

dove i parametri  e    ( ) sono legati al valore   , che contraddistingue i fuochi, dalla relazione :

        .

Ricaviamo l'equazione dell'iperbole in forma esplicita.

Si ha (con semplici passaggi) :

       

       

       

       

       

       

         

       

ed infine :

        .

La funzione :

       

esprime la parte di iperbole posta sopra l'asse delle    mentre la funzione :

       

esprime la parte di iperbole sotto l'asse delle  (simmetrica alla precedente).

Consideriamo la  .

Si vede subito che per  , sostituendo, si ottiene  .

Questo significa che l'iperbole interseca l'asse delle    nei punti  e  (abbiamo usato la lettera  perché tali punti sono detti vertici dell'iperbole).

Supponiamo ora che  (per valori positivi o negativi).

Quando   diventa sempre più grande (in valore assoluto), il termine sotto radice    diventa sempre più trascurabile rispetto a  .

Possiamo allora affermare che per     l'equazione dell'iperbole diventa :

        .

Questo significa che per    sempre più grande (in valore assoluto) l'iperbole si avvicina sempre più alle rette :

       

e :

       

che per questo vengono dette asintoti dell'iperbole.

Poniamo nel seguente grafico tutte le informazioni appena ricavate :

       

Si noti la costruzione, tramite l'apposito rettangolo, degli asintoti.

Se si ha :

        ,

il rettangolo in questione diventa un quadrato e gli asintoti, in questo caso fra loro ortogonali, diventano le bisettrici dei quadranti :

       

e :

        .

In questa situazione, l'equazione dell'iperbole diventa :

       

ovvero :

        .

Graficamente :

        

Quando  , l'iperbole è detta equilatera e coincide, a meno di una rotazione di  in senso antiorario, con la curva (già mostrata in precedenza in questo corso) di equazione  .

02 - Iperbole equilatera.

Sopra abbiamo affermato che l'equazione corrisponde (a meno di una rotazione di    gradi) alla curva di equazione  .

Entrambe sono iperboli equilatere (con asintoti ortogonali).

Dimostriamolo analiticamente.

Per fare questo osserviamo il grafico :

       

dove abbiamo introdotto, accanto alle "vecchie" coordinate  ,  le "nuove" coordinate    coincidenti con gli asintoti dell'iperbole.

L'iperbole equilatera, rispetto alle coordinate  , ha equazione  . Vogliamo dimostrare che, rispetto alle coordinate  , essa ha equazione  .

Per fare questo ci occorrono delle relazioni matematiche che esprimano le vecchie coordinate    in funzione delle nuove coordinate  .

Ci occorrono perciò equazioni del tipo :

         

che si chiamano equazioni della trasformazione di coordinate.

Quando avremo tali equazioni, sostituendole nella    , si dovrà ricavare la  .

Le equazioni della trasformazione si possono ricavare tramite il grafico :

        

Tutti i triangoli indicati sono rettangoli e isosceli, cioè sono metà di quadrati.

Come ben si sa (grazie al teorema di Pitagora), se il lato di un quadrato è  , la sua diagonale è  .

Questo ci permette di affermare che :

        -    se conosco il lato, ottengo la diagonale moltiplicandolo (il lato) per 

        -    se conosco la diagonale, ottengo il lato dividendola (la diagonale) per  .

Detto questo, osserviamo il grafico (ottenuto utilizzando le suddette affermazioni) :

       

Da esso si deduce immediatamente che :

        .

Queste sono le equazioni della trasformazione di coordinate cercata.

Semplificando, si ottiene :

        

e :

       

ed infine :

        .

Sostituiamole ora nella  .

Si ottiene :

       

da cui, calcolando :

       

 e :

       

e :

       

e :

       

ed infine :

        .

Se poniamo :

        ,

si ricava :

         

che è l'equazione dell'iperbole equilatera rispetto alle coordinate  , ovvero rispetto ai suoi asintoti.

Fine.

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