E-school  di  Arrigo Amadori

Tutorial di matematica

Curve reali notevoli : ellisse

01 - Equazione dell'ellisse.

L'ellisse è definita come il luogo geometrico (insieme) dei punti del piano per cui è costante la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi.

Se i fuochi sono (prendendoli convenientemente)  e  , dove  , e    è il valore di tale somma costante, la definizione algebrica dell'ellisse è :

        ,

dove    è un generico punto dell'ellisse.

Il perché della scelta del valore  è per convenienza.

Graficamente :

       

Naturalmente deve essere :

         

ovvero :

        ,

dove    è la lunghezza del segmento , cioè la distanza fra i fuochi.

Un'ellisse può essere "costruita fisicamente" nel seguente modo :

        1 - fissare su un piano di legno (su cui sia possibile scrivere) due chiodi che rappresentano i fuochi dell'ellisse

        2 - collegare i capi di una cordicella di lunghezza data (maggiore della distanza fra i chiodi) ai chiodi

        3 - tendere la cordicella con una matita e farla scorrere (con la cordicella sempre tesa).

La curva ottenuta in questo modo è appunto una ellisse.

Consideriamo ora i punti d'incontro dell'ellisse con gli assi coordinati come indicato dal grafico :

       

Per il punto    abbiamo ovviamente :

         

da cui :

         

ovvero :

       

e :

        .

Ma :

       

per cui le coordinate di  e, per simmetria di , sono :

       

        .

Consideriamo ora il punto  .

Evidentemente è :

       

per cui, per il teorema di Pitagora, si ha :

        .

Se poniamo :

       

        ,

si avrà :

        .

Riassumiamo questi risultati graficamente :

       

Ricaviamo ora l'equazione dell'ellisse ricordando che deve essere .

Si ha :

       

e :

         

per cui, sostituendo, possiamo scrivere :

        .

Operiamo ora le seguenti semplificazioni :

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

        .

Ma, poiché  , possiamo scrivere :

         

da cui, dividendo ambo i membri per  , si ricava :

       

e quindi :

        .

Questa è l'equazione dell'ellisse con i fuochi posti sull'asse delle    in posizione simmetrica rispetto all'origine  degli assi.

Si noti che se :

         

l'ellisse diventa una circonferenza con centro nell'origine e raggio    di equazione :

       

ovvero :

        .

In questo caso, poiché si ha  , sostituendo si ricava :

       

che fornisce :

        .

Una circonferenza è quindi una ellisse in cui centro e fuochi coincidono.

Fine.

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