E-school  di  Arrigo Amadori

Tutorial di matematica

Curve reali notevoli : circonferenza (10' parte)

20 - Un altro modo per calcolare la lunghezza della circonferenza.

Consideriamo la circonferenza di equazione    (centro nell'origine e raggio unitario) ed un suo punto  . Supponiamo che    si trovi sul primo quadrante per cui deve essere  e  .

Graficamente :

Consideriamo sulla circonferenza il punto   , "molto" vicino al punto   , di ascissa  (il termine infinitesimo    rappresenta appunto un valore "molto" piccolo, tendente a zero).

Graficamente :

        (per esigenze grafiche il punto    è stato preso, in effetti, non "molto" vicino a  )

Il segmento    approssima sempre meglio l'arco di circonferenza sotteso fra i suddetti punti quanto più  è piccolo.

Siccome, seguendo i dettami del calcolo infinitesimale, si pone , possiamo scrivere :

        per  .

Chiamiamo   la lunghezza del segmento    e calcoliamola. 

Per il teorema di Pitagora si ha immediatamente :

dove con    abbiamo indicato la differenza fra le ordinate di    e    .

Graficamente :

La formula    può essere trasformata nel seguente modo :

da cui, infine :

        .

L'espressione  , essendo , è la pendenza della curva in    ovvero la derivata della funzione  (in  ), funzione che si ottiene direttamente dalla    ricavando la  .

Come già sappiamo, tale derivata vale :

        .

Sostituendo, si ricava :

cioè :

        .

Per calcolare la lunghezza della circonferenza basta sommare tutti i    presi lungo la medesima. Tale somma di "infiniti infinitesimi" (perché si deve supporre  ), si chiama integrale. 

Nel nostri caso, limitandoci all'arco di circonferenza compreso nel primo quadrante, avremo :

        ,

dove    indica appunto la lunghezza dell'arco in questione (che è un quarto dell'intera circonferenza) e l'integrazione va fatta con    che varia da    a  (questi sono i cosiddetti estremi di integrazione).

L'integrale :

può essere semplificato (tenendo presente che il raggio della circonferenza vale , siamo in presenza di un cerchio trigonometrico) se si pone :

        ,

dove    è l'angolo indicato nel grafico :

Naturalmente, se    e  , si avrà :

dove a    corrisponde  e a    corrisponde  .

Come già sappiamo, la derivata del coseno è il meno seno. Possiamo perciò scrivere :

da cui si ricava :

        .

Sostituendo nell'integrale si ricava :

        ,

dove abbiamo applicato la fondamentale formula trigonometrica    (da cui si ricava, nel nostro caso, prendendo il valore non negativo,  ) ed il segno meno, essendo l'integrale una sommatoria, è stato posto fuori dal segno di integrale.

Abbiamo quindi ricavato la semplice formula :

ovvero, esplicitando la "funzione integranda" :

        .

Come sappiamo, l'integrale rappresenta l'area per cui, nel nostro caso, essendo la funzione integranda la costante , graficamente, si ha :

        (grafico non in scala)

Tale area vale, in valore assoluto,    . 

A causa del fatto che estremi di integrazione vanno da    a  , l'area deve essere considerata negativa, ma, davanti all'integrale, vi è il segno meno, per cui si ricava infine :

        .

La lunghezza della circonferenza sarà quindi :

come ben sappiamo (per le circonferenze di raggio unitario).

21 - Un altro modo per calcolare l'area del cerchio.

Sia data la circonferenza di equazione    (centro nell'origine e raggio unitario) e consideriamo il seguente grafico :

Il punto  si trovi sul primo o sul secondo quadrante per cui deve essere  e  .

Il rettangolo di base    mostrato in figura approssima il "trapezoide" (figura simile ad un trapezio) con lato obliquo coincidente con l'arco di circonferenza racchiuso nel rettangolo tanto meglio quanto più    è piccolo.

Per questo motivo, l'area del semicerchio superiore (con  ) è calcolabile come sommatoria di tutte le aree dei rettangoli costruiti come indicato sopra e con  .

Graficamente :

La sommatoria degli "infiniti infinitesimi" così introdotta è l'integrale :

        .

Per risolvere questo integrale introduciamo, come nel paragrafo precedente, l'angolo    per cui si abbia :

        .

Naturalmente si ha la corrispondenza :

        .

Come già sappiamo, la derivata del coseno è il meno seno. Possiamo perciò scrivere :

da cui si ricava :

        .

L'integrale, sostituendo, diventa :

(si notino gli estremi di integrazione).

Operiamo ora le seguenti semplificazioni :

        ,

dove abbiamo applicato la fondamentale formula trigonometrica    (da cui si ricava, nel nostro caso, prendendo il valore non negativo,  ) ed il segno meno, essendo l'integrale una sommatoria, è stato posto fuori dal segno di integrale.

L'integrale che dobbiamo ora risolvere è quindi :

        .

Proviamo ora a semplificare il termine  .

Per fare questo ricordiamo al formula di trigonometria :

da cui si ricava :

cioè :

e di conseguenza :

ed infine :

          .

Sostituendo nell'integrale si ha :

        .

Operiamo ora le seguenti semplificazioni :

        .

Tali semplificazioni, anche se ancora non conosciamo sistematicamente il calcolo integrale, sono intuitive.

Procediamo ora calcolando il termine :

          .

Osservando il grafico :

        (grafico non in scala)

si ricava immediatamente :

          ,

dove il segno meno dipende dal fatto che integriamo da    a    e non da    a  .

Si ha allora 

        .

Per calcolare il termine :

consideriamo il grafico della funzione  fra    a  :

        (grafico non in scala)

L'integrale :

eguaglia l'area fra la curva e l'asse  . 

Poiché le parti di area indicate con il segno  sono da considerarsi positive mentre quelle indicate dal segno    sono da considerarsi negative, viste le evidenti simmetrie delle medesime, possiamo concludere senza eseguire calcoli che :

        .

Posiamo allora riassumere tutti i passaggi fin qui svolti nella formula :

ovvero :

        .

L'are del semicerchio di raggio unitario è quindi  per cui l'area dell'intero cerchio (di raggio unitario) è in definitiva    .

Questo risultato è coerente con la nota formula :

valida per un cerchio di raggio qualunque  .

Fine.

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