E-school  di  Arrigo Amadori

Tutorial di matematica

Curve reali notevoli : circonferenza (9' parte)

18 - Esercizio.

Si consideri il grafico :

       

dove è il punto di tangenza fra la retta  e la circonferenza ed    è il punto medio del segmento  . Si determini il luogo (geometrico) del punto    al "muoversi" della retta tangente  con la condizione che    stia nel primo quadrante.

Risoluzione.

Si consideri la retta  passante per    e per  :

       

Ovviamente    e    sono perpendicolari.

Sia    l'equazione della retta  , essendo    il suo coefficiente angolare.

Poiché il punto    deve stare nel primo quadrante, sarà :

        .

Si noti che abbiamo escluso il valore   perché in quel caso il punto    non è definito.

Le coordinate del punto    sono determinate dal sistema :

       

che, sostituendo la prima equazione nella seconda, fornisce :

       

ovvero :

       

ovvero (raccogliendo ) :

       

da cui (dividendo ambo i membri per  ) :

       

e (eseguendo la radice quadrata di ambo i membri) :

        .

Poiché    sta nel primo quadrante, avremo semplicemente :

         .

Questo valore rappresenta l'ascissa di    in funzione del parametro .

Per l'ordinata basta considerare la prima equazione del sistema per cui sarà :

        .

In sintesi, abbiamo ricavato :

        .

Una generica retta passante per    è :

       

dove    è il coefficiente angolare di questa retta (non abbiamo usato l'usuale lettera    perché già impegnata a rappresentare il coefficiente angolare della retta  !!!).

Le rette   e   sono perpendicolari per cui i loro coefficienti angolari devono essere antireciproci.

Poiché il coefficiente angolare di    è   e poiché , passando per  , è rappresentata dall'equazione , si deve avere :

       

ovvero :

        .

L'equazione della retta    è quindi :

       

e dipende dal parametro  .

Ora siamo in grado di ricavare le coordinate dei punti    e  .

Per    si ha :

        

da cui :

       

e :

       

e (con semplici passaggi) :

          .

Abbiamo quindi :

        .

Per    si ha :

        

da cui :

       

e (moltiplicando ambo i membri per ) :

       

e (moltiplicando ambo i membri per ) :

          

e (ricavando ) :

         

e (con semplici passaggi) :

        .

Abbiamo quindi :

          .

Il punto medio    del segmento  è :

       

cioè :

        .

Esplicitando le coordinate di    si può scrivere :

        .

Queste sono le equazioni parametriche del luogo cercato.

Per ricavare l'equazione del luogo in forma esplicita  o in forma implicita (in cui non è più presente il parametro  ), occorre eliminare il parametro.

Notiamo innanzitutto che :

          .

L'equazione così ricavata :

         

semplifica alquanto le cose.

Ricaviamo ora  dalla :

        .

Si ha (operando le usuali semplificazioni) :

       

e :

       

e :

       

e :

        .

Poiché il parametro    deve essere positivo, avremo semplicemente :

         

che, sostituito in   , fornirà :

         

ovvero :

        .

Questa è l'equazione del luogo cercato.

Si noti che, se    è grande, si può scrivere :

        .

Questo significa che il luogo, per  , si avvicina sempre più alla retta  che rappresenta quindi una asintoto orizzontale per la curva.

Analogamente, si può affermare, a causa della evidente simmetria del luogo, che la retta    è un asintoto verticale.

Graficamente :

       

19 - Esercizio.

Si consideri il grafico :

       

dove il rettangolo    è individuato dalla retta   , essendo    un parametro reale per cui  (che significa che il punto    si trova nel primo quadrante). Si determini per quali valori di    l'area    ed il perimetro    del rettangolo sono massimi (separatamente, perché non è detto che i suddetti massimi si abbiano per uno stesso valore di  ).

Risoluzione.

Al variare di    si ha la seguente situazione :

       

E' chiaro che :

        per   il rettangolo si "schiaccia" in due segmenti orizzontali sovrapposti coincidenti con   per cui si ha  e   

        per    il rettangolo si "schiaccia"  in due segmenti verticali sovrapposti coincidenti con    per cui si ha  e . 

Questi sono i due casi limite corrispondenti ai valori limite di  .

Per ricavare l'area    ed il perimetro    del rettangolo occorre calcolare le coordinate dei suoi vertici, ma, date le evidenti simmetrie, basterà calcolare le coordinate del punto  .

Si ha :

         

da cui (sostituendo la prima equazione nella seconda) :

       

e :

       

e :

         

e (siccome    è nel primo quadrante) :

        .

Le coordinate di  sono allora :

        .

Area e perimetro del rettangolo sono ora facilmente determinabili (in funzione di  ). Si ha :

       

        .

Determiniamo ora per quali valori del parametro    area e perimetro hanno valori massimi (separatamente).

Per fare questo dovremo studiare l'andamento dei grafici delle suddette funzioni e determinare dove sono i massimi cercati. 

Allo stato attuale di questo corso non siamo in grado di studiare funzioni di qualunque tipo, ma solo se particolarmente "semplici", per cui, poiché le espressioni trovate di    e   non sono propriamente "semplici", a causa della presenza delle radici, dobbiamo sondare la possibilità di trasformarle in espressioni più "semplici". 

Questo è qui possibile introducendo l'angolo  ("theta") come indicato nel grafico :

        

Evidentemente, poiché il raggio della circonferenza vale  , si ha :

        .

Le formule di area e perimetro, sostituendo, diventano di conseguenza :

        ,

a causa delle note formule di trigonometria  , , e :

        .

Riassumendo :

       

        .

Queste formule, in funzione di  , sono più "semplici" delle precedenti in funzione di  .

Studiamo ora area e perimetro in funzione di    e determiniamo i loro massimi tenendo presente che se era    , ora dovremo considerare :

        .

Studiamo i due casi separatamente.

        Consideriamo l'area  .

Il grafico della funzione    è la sinusoide :

       

di periodo  che noi considereremo solo nell'intervallo  in quanto tale intervallo rappresenta le condizioni geometriche del problema.

Ovviamente, l'area massima si ha quando :

         

ed essa vale :

        .

Essendo  , si deduce che il valore di    corrispondente al massimo dell'area del rettangolo si ha quando :

        .

Graficamente :

       

        Consideriamo il perimetro  .

Il grafico della funzione    è la curva :

       

        (grafico non in scala)

I valori del perimetro per  e per  sono, come già sappiamo,  e    rispettivamente.

Calcoliamo ora l'angolo per cui il perimetro è massimo considerando che per tale valore la curva ha pendenza nulla (come è evidente osservando il grafico), ovvero derivata nulla.

Ancora non siamo in grado di calcolare le derivate in modo sistematico ma, in precedenza, abbiamo visto che in particolare :

        "la derivata del seno è il coseno e la derivata del coseno è il meno seno".

Allora possiamo affermare che la derivata di  è :

         

dove l'apice indica appunto il simbolo di derivata.

Il valore    per cui il perimetro    è massimo sarà allora il valore di  che soddisfa l'equazione :

        ,

ovvero quando la derivata è nulla.

Semplificando si ottiene :

       

e :

       

da cui (dividendo ambo i membri per    e ricordando che  ) si ricava :

       

ed infine :

        .

Questa semplice equazione è risolta da :

       

cioè dall' "arco la cui tangente è un mezzo".

Abbiamo quindi ricavato :

        .  

Valutiamo ora il valore del perimetro massimo ed il valore del parametro    corrispondenti a  .

Per fare questo abbiamo bisogno di conoscere :

       

e :

        .

Consideriamo il grafico :

       

Osservando i triangoli del grafico, possiamo scrivere l'evidente proporzione :

        ,

dove il valore    è stato ottenuto applicando il teorema di Pitagora.

Separando nelle due proporzioni :

       

e :

        ,

si ricava :

       

e :

        .

Il valore del perimetro massimo è di conseguenza :

       

ed il valore del parametro    corrispondente al perimetro massimo è :

        .

Graficamente (per il rettangolo di perimetro massimo) :

       

Riassumendo in un unico grafico :

       

Fine.

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