Tutorial di matematica : curve reali notevoli

E-school di Arrigo Amadori

Tutorial di matematica

Curve reali notevoli : circonferenza (9' parte)

18 - Esercizio.

Si consideri il grafico :

dove è il punto di tangenza fra la retta e la circonferenza ed è il punto medio del segmento . Si determini il luogo (geometrico) del punto al "muoversi" della retta tangente con la condizione che stia nel primo quadrante.

Risoluzione.

Si consideri la retta passante per e per :

Ovviamente e sono perpendicolari.

Sia l'equazione della retta , essendo il suo coefficiente angolare.

Poiché il punto deve stare nel primo quadrante, sarà :

Si noti che abbiamo escluso il valore perché in quel caso il punto non è definito.

Le coordinate del punto sono determinate dal sistema :

che, sostituendo la prima equazione nella seconda, fornisce :

ovvero :

ovvero (raccogliendo ) :

da cui (dividendo ambo i membri per ) :

e (eseguendo la radice quadrata di ambo i membri) :

Poiché sta nel primo quadrante, avremo semplicemente :

Questo valore rappresenta l'ascissa di in funzione del parametro .

Per l'ordinata basta considerare la prima equazione del sistema per cui sarà :

In sintesi, abbiamo ricavato :

Una generica retta passante per è :

dove è il coefficiente angolare di questa retta (non abbiamo usato l'usuale lettera perché già impegnata a rappresentare il coefficiente angolare della retta !!!).

Le rette e sono perpendicolari per cui i loro coefficienti angolari devono essere antireciproci.

Poiché il coefficiente angolare di è e poiché , passando per , è rappresentata dall'equazione , si deve avere :

ovvero :

L'equazione della retta è quindi :

e dipende dal parametro .

Ora siamo in grado di ricavare le coordinate dei punti e .

Per si ha :

da cui :

e :

e (con semplici passaggi) :

Abbiamo quindi :

Per si ha :

da cui :

e (moltiplicando ambo i membri per ) :

e (ricavando ) :

e (con semplici passaggi) :

Abbiamo quindi :

Il punto medio del segmento è :

cioè :

Esplicitando le coordinate di si può scrivere :

Queste sono le equazioni parametriche del luogo cercato.

Per ricavare l'equazione del luogo in forma esplicita o in forma implicita (in cui non è più presente il parametro ), occorre eliminare il parametro.

Notiamo innanzitutto che :

L'equazione così ricavata :

semplifica alquanto le cose.

Ricaviamo ora dalla :

Si ha (operando le usuali semplificazioni) :

e :

Poiché il parametro deve essere positivo, avremo semplicemente :

che, sostituito in , fornirà :

ovvero :

Questa è l'equazione del luogo cercato.

Si noti che, se è grande, si può scrivere :

Questo significa che il luogo, per , si avvicina sempre più alla retta che rappresenta quindi una asintoto orizzontale per la curva.

Analogamente, si può affermare, a causa della evidente simmetria del luogo, che la retta è un asintoto verticale.

Graficamente :

19 - Esercizio.

Si consideri il grafico :

dove il rettangolo è individuato dalla retta , essendo un parametro reale per cui (che significa che il punto si trova nel primo quadrante). Si determini per quali valori di l'area ed il perimetro del rettangolo sono massimi (separatamente, perché non è detto che i suddetti massimi si abbiano per uno stesso valore di ).

Risoluzione.

Al variare di si ha la seguente situazione :

E' chiaro che :

per il rettangolo si "schiaccia" in due segmenti orizzontali sovrapposti coincidenti con per cui si ha e

per il rettangolo si "schiaccia" in due segmenti verticali sovrapposti coincidenti con per cui si ha e .

Questi sono i due casi limite corrispondenti ai valori limite di .

Per ricavare l'area ed il perimetro del rettangolo occorre calcolare le coordinate dei suoi vertici, ma, date le evidenti simmetrie, basterà calcolare le coordinate del punto .

Si ha :

da cui (sostituendo la prima equazione nella seconda) :

e :

e (siccome è nel primo quadrante) :

Le coordinate di sono allora :

Area e perimetro del rettangolo sono ora facilmente determinabili (in funzione di ). Si ha :

Determiniamo ora per quali valori del parametro area e perimetro hanno valori massimi (separatamente).

Per fare questo dovremo studiare l'andamento dei grafici delle suddette funzioni e determinare dove sono i massimi cercati.

Allo stato attuale di questo corso non siamo in grado di studiare funzioni di qualunque tipo, ma solo se particolarmente "semplici", per cui, poiché le espressioni trovate di e non sono propriamente "semplici", a causa della presenza delle radici, dobbiamo sondare la possibilità di trasformarle in espressioni più "semplici".

Questo è qui possibile introducendo l'angolo ("theta") come indicato nel grafico :

Evidentemente, poiché il raggio della circonferenza vale , si ha :

Le formule di area e perimetro, sostituendo, diventano di conseguenza :

a causa delle note formule di trigonometria , , e :

Riassumendo :

Queste formule, in funzione di , sono più "semplici" delle precedenti in funzione di .

Studiamo ora area e perimetro in funzione di e determiniamo i loro massimi tenendo presente che se era , ora dovremo considerare :

Studiamo i due casi separatamente.

Consideriamo l'area .

Il grafico della funzione è la sinusoide :

di periodo che noi considereremo solo nell'intervallo in quanto tale intervallo rappresenta le condizioni geometriche del problema.

Ovviamente, l'area massima si ha quando :

ed essa vale :

Essendo , si deduce che il valore di corrispondente al massimo dell'area del rettangolo si ha quando :

Graficamente :

Consideriamo il perimetro .

Il grafico della funzione è la curva :

(grafico non in scala)

I valori del perimetro per e per sono, come già sappiamo, e rispettivamente.

Calcoliamo ora l'angolo per cui il perimetro è massimo considerando che per tale valore la curva ha pendenza nulla (come è evidente osservando il grafico), ovvero derivata nulla.

Ancora non siamo in grado di calcolare le derivate in modo sistematico ma, in precedenza, abbiamo visto che in particolare :

"la derivata del seno è il coseno e la derivata del coseno è il meno seno".

Allora possiamo affermare che la derivata di è :