Tutorial di matematica : curve reali notevoli

E-school di Arrigo Amadori

Tutorial di matematica

Curve reali notevoli : circonferenza (8' parte)

16 - Esercizio.

Si studi il fascio di circonferenze dipendenti dal parametro (con ).

Risoluzione.

Confrontando l'equazione del fascio con l'equazione della generica circonferenza , si nota subito che .

Questo significa che ogni circonferenza del fascio passa per l'origine per qualunque valore del parametro .

Ricaviamo le coordinate del centro ed il raggio di una generica circonferenza del fascio . Tali enti saranno ovviamente funzioni di .

Tenendo presente che :

si ha :

e :

Al variare del parametro , il centro "si muove" sul piano tracciando una curva che è detta anche luogo (geometrico) del centro (del fascio).

Ricaviamo l'equazione del suddetto luogo.

Per fare questo, basta esplicitare le coordinate di in funzione di , cioè basta scrivere :

Queste sono le equazioni parametriche del luogo del centro (del fascio ).

Ricaviamo ora l'equazione del luogo in forma esplicita .

Sostituendo la della prima equazione nella seconda si ottiene :

Questa è l'equazione di una parabola. Il luogo del centro del fascio è quindi una parabola !

Riportiamo i risultati fin qui trovati in un grafico cartesiano tenendo presente la , cioè che dobbiamo considerare solo l'arco di parabola contenuto nel primo quadrante in quanto implica .

Si ha, per un solo valore esemplificativo di :

e per alcuni valori di :

(sono visualizzate solo le semicirconferenze superiori per esigenze grafiche)

Consideriamo ora i punti di intersezione di una generica circonferenza del fascio con gli assi coordinati come indicato nel grafico :

Vogliamo dimostrare che il centro è punto medio del segmento per ogni valore di , cioè che è un diametro (per ogni valore di ).

Troviamo le coordinate dei punti , intersecando la circonferenza con gli assi coordinati.

Per ricavare il punto si risolve il sistema :

da cui, sostituendo, si ricava :

che, raccogliendo, diventa :

da cui si ottiene :

Il punto sarà allora :

Per ricavare il punto si risolve il sistema :

da cui, sostituendo, si ricava :

che, raccogliendo, diventa :

da cui si ottiene :

Il punto sarà allora :

Il punto medio del segmento risulta quindi essere il punto :

che coincide con il centro precedentemente trovato per ogni valore del parametro .

Il fatto che sia un diametro lo si può dedurre, senza usare la geometria analitica, dal seguente importante teorema della geometria euclidea :

qualunque triangolo inscritto in una semicirconferenza è un triangolo rettangolo e viceversa (ovvero ogni triangolo rettangolo è inscrivibile in una semicirconferenza).

Graficamente :

La dimostrazione che è un diametro si basa sul fatto che il triangolo è rettangolo in per ogni valore di .

Infine, è interessante ricavare la retta tangente alla generica circonferenza del fascio nell'origine .

Graficamente :

Notiamo subito che la retta , passante per e , è perpendicolare alla retta tangente cercata.

Il suo coefficiente angolare (di ) è evidentemente :

Il coefficiente angolare di è l'antireciproco. Per questo l'equazione della retta è :

Si noti che, quando cresce (positivamente), la pendenza di cala fino a diventare nulla. Infatti :

Quando va all'infinito (positivo), la retta diventa l'asse delle .

Quando, invece, tende a zero (per valori positivi), la pendenza di cresce fino a diventare infinita (negativamente).

Infatti :

Quando va a zero (per valori positivi), la retta diventa l'asse delle .

17 - Esercizio.

Si consideri il grafico :

dove è il punto medio del segmento . Si determini il luogo (geometrico) del punto al "muoversi" della retta che passa per il punto "fisso" .

Risoluzione.

Quando la retta si muove (sempre passando per il punto ) , il punto traccia una curva che è detta luogo (geometrico) del punto . Il luogo è quindi l'insieme dei punti che si determinano al muoversi di .

Graficamente :

Come risulta chiaro dal grafico, c'è da aspettarsi che il luogo cercato sia una circonferenza.

Dimostriamolo analiticamente.

L'equazione di una generica retta passante per è :

cioè :

Si dice anche che è l'equazione del fascio di rette passanti per .

Ricordiamo, però, che questa equazione non descrive propriamente tutte le rette passanti per . La retta verticale non è descritta dalla suddetta equazione perché nessun valore del parametro , che è il coefficiente angolare della retta generica del fascio, può fornire l'equazione !!

Per ricavare il punto basta risolvere il sistema :

Per fare questo, è sufficiente sostituire la prima equazione nella seconda.

Si ottiene :

da cui (calcolando il quadrato del binomio) :

e (semplificando) :

e (raccogliendo) :

Si tratta di una equazione di secondo grado nell'incognita che risolviamo, senza usare la solita formula, semplicemente raccogliendo la :

Evidentemente, un prodotto è nullo se sono nulli i suoi fattori. Si ha allora :

e :

La prima soluzione, , corrisponde al punto .

La seconda corrisponde al punto .

Operando le usuali trasformazioni per risolvere le equazioni, si ricava :

e :

Questa è l'ascissa di in funzione del parametro .

Per l'ordinata, basta utilizzare la .

Sostituendo, si ricava quindi :

In sintesi :

Il punto medio del segmento è quindi :

In sintesi :

Esplicitando le coordinate di si può scrivere :

Queste sono le equazioni parametriche del luogo cercato.

Per ricavare l'equazione del luogo in forma esplicita o in forma implicita (in cui non è più presente il parametro ), occorre eliminare il parametro.