E-school  di  Arrigo Amadori

Tutorial di matematica

Curve reali notevoli : circonferenza (8' parte)

16 - Esercizio.

Si studi il fascio  di circonferenze dipendenti dal parametro  (con  ). 

Risoluzione.

Confrontando l'equazione del fascio    con l'equazione della generica circonferenza  , si nota subito che  .

Questo significa che ogni circonferenza del fascio  passa per l'origine  per qualunque valore del parametro  .

Ricaviamo le coordinate del centro ed il raggio di una generica circonferenza del fascio  . Tali enti saranno ovviamente funzioni di  .

Tenendo presente che :

         

         

        ,

si ha :

       

e :

        .

Al variare del parametro  , il centro   "si muove" sul piano tracciando una curva che è detta anche luogo (geometrico) del centro (del fascio).

Ricaviamo l'equazione del suddetto luogo.

Per fare questo, basta esplicitare le coordinate di    in funzione di  , cioè basta scrivere :

        .

Queste sono le equazioni parametriche del luogo del centro (del fascio  ). 

Ricaviamo ora l'equazione del luogo in forma esplicita  .

Sostituendo la    della prima equazione nella seconda si ottiene :

        .

Questa è l'equazione di una parabola. Il luogo del centro del fascio    è quindi una parabola

Riportiamo i risultati fin qui trovati in un grafico cartesiano tenendo presente la  , cioè che dobbiamo considerare solo l'arco di parabola contenuto nel primo quadrante in quanto    implica  .

Si ha, per un solo valore esemplificativo di  :

        

e per alcuni valori di  :

       

        (sono visualizzate solo le semicirconferenze superiori per esigenze grafiche) 

Consideriamo ora i punti di intersezione di una generica circonferenza del fascio    con gli assi coordinati come indicato nel grafico :

       

Vogliamo dimostrare che il centro    è punto medio del segmento  per ogni valore di  , cioè che    è un diametro (per ogni valore di  ).

Troviamo le coordinate dei punti  , intersecando la circonferenza con gli assi coordinati.

Per ricavare il punto   si risolve il sistema :

       

da cui, sostituendo, si ricava :

        

che, raccogliendo, diventa :

       

da cui si ottiene :

       

        .

Il punto   sarà allora :

         .

Per ricavare il punto   si risolve il sistema :

       

da cui, sostituendo, si ricava :

        

che, raccogliendo, diventa :

       

da cui si ottiene :

       

        .

Il punto   sarà allora :

         .

Il punto medio del segmento  risulta quindi essere il punto :

         

che coincide con il centro    precedentemente trovato per ogni valore del parametro .

Il fatto che    sia un diametro lo si può dedurre, senza usare la geometria analitica, dal seguente importante teorema della geometria euclidea :

        qualunque triangolo inscritto in una semicirconferenza è un triangolo rettangolo e viceversa (ovvero ogni triangolo rettangolo è inscrivibile in una semicirconferenza).

Graficamente :

        

La dimostrazione che  è un diametro si basa sul fatto che il triangolo    è rettangolo in    per ogni valore di  .

Infine, è interessante ricavare la retta   tangente alla generica circonferenza del fascio  nell'origine  .

Graficamente :

       

Notiamo subito che la retta  , passante per e , è perpendicolare alla retta tangente cercata. 

Il suo coefficiente angolare (di  ) è evidentemente :

        .

Il coefficiente angolare di  è l'antireciproco. Per questo l'equazione della retta  è :

        .

Si noti che, quando    cresce (positivamente), la pendenza di  cala fino a diventare nulla. Infatti :

        .

Quando    va all'infinito (positivo), la retta    diventa l'asse delle  .

Quando, invece,   tende a zero (per valori positivi), la pendenza di  cresce fino a diventare infinita (negativamente). 

Infatti :

        .

Quando    va a zero (per valori positivi), la retta    diventa l'asse delle  .

17 - Esercizio.

Si consideri il grafico :

       

dove    è il punto medio del segmento  . Si determini il luogo (geometrico) del punto    al "muoversi" della retta  che passa per il punto "fisso"  .

Risoluzione.

Quando la retta     si muove (sempre passando per il punto ) , il punto  traccia una curva che è detta luogo (geometrico) del punto  . Il luogo è quindi l'insieme dei punti  che si determinano al muoversi di  .

Graficamente :

       

Come risulta chiaro dal grafico, c'è da aspettarsi che il luogo cercato sia una circonferenza.

Dimostriamolo analiticamente.

L'equazione di una generica retta passante per  è :

       

cioè :

        .

Si dice anche che    è l'equazione del fascio di rette passanti per  .

Ricordiamo, però, che questa equazione non descrive propriamente tutte le rette passanti per  . La retta verticale  non è descritta dalla suddetta equazione perché nessun valore del parametro  , che è il coefficiente angolare della retta generica del fascio, può fornire l'equazione    !! 

Per ricavare il punto  basta risolvere il sistema :

        .

Per fare questo, è sufficiente sostituire la prima equazione nella seconda.

Si ottiene :

         

da cui (calcolando il quadrato del binomio) :

       

e (semplificando) :

       

e (raccogliendo) :

          .

Si tratta di una equazione di secondo grado nell'incognita  che risolviamo, senza usare la solita formula, semplicemente raccogliendo la  :

        .

Evidentemente, un prodotto è nullo se sono nulli i suoi fattori. Si ha allora :

       

e :

         .

La prima soluzione, , corrisponde al punto  .

La seconda corrisponde al punto  .

Operando le usuali trasformazioni per risolvere le equazioni, si ricava :

       

e :

        .

Questa è l'ascissa di    in funzione del parametro  .

Per l'ordinata, basta utilizzare la  .

Sostituendo, si ricava quindi :

        .

In sintesi :

        .

Il punto medio del segmento    è quindi :

        .

In sintesi :

        .

Esplicitando le coordinate di    si può scrivere :

        .

Queste sono le equazioni parametriche del luogo cercato.

Per ricavare l'equazione del luogo in forma esplicita  o in forma implicita (in cui non è più presente il parametro  ), occorre eliminare il parametro.

Notiamo innanzitutto che :

          .

L'equazione così ricavata :

         

semplifica alquanto le cose.

Ricaviamo ora  dalla :

        .

Si ha (operando le usuali semplificazioni) :

       

e :

       

e :

       

e :

       

ed infine :

        .

Sostituendo in  si ricava :

         

da cui (elevando al quadrato ambo i membri) :

        .

Moltiplicando ambo i membri per    si ottiene :

       

da cui :

         

e finalmente :

        .

Si tratta di una circonferenza di centro :

       

e raggio :

         

esattamente come ci aspettavamo.

Fine.

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