E-school  di  Arrigo Amadori

Tutorial di matematica

Curve reali notevoli : circonferenza (7' parte)

14 - Moti ciclici piani.

Consideriamo una circonferenza di raggio    ("rho") centrata nell'origine e su di essa immaginiamo che un punto , chiamiamolo , si muova di moto circolare uniforme (cioè che compia angoli uguali in tempi uguali) con verso orario.

Supponiamo che al tempo    il suddetto punto si trovi nel punto .

Graficamente :

       

Chiamiamo come al solito con    il periodo del moto (cioè il tempo impiegato a compiere un giro completo) e con    la velocità angolare (cioè il rapporto fra un angolo, espresso in radianti, ed il tempo impiegato a percorrerlo).

Naturalmente vale :

          ,

essendo    l'angolo giro in radianti.

Se il moto, come affermato sopra, è circolare uniforme, la velocità angolare   è costante e un angolo qualunque    ("theta") sarà percorso nel corrispondente tempo    in modo che valga la relazione :

         

ovvero :

        .

Infatti, per esempio, se    (l'intero periodo) si ha :

       

cioè l'intero angolo giro.

Introduciamo le seguenti "equazioni orarie" del punto  in movimento :

        ,

ovvero come variano le coordinate di  in funzione del tempo   .

Queste equazioni costituiscono anche una evidente parametrizzazione della circonferenza in questione.

Le equazioni descrivono fedelmente la posizione del punto  in moto circolare uniforme allo scorrere del tempo !!

Infatti si ha (ricordando che  ) :  

            
       
      
      
      
       

Graficamente :

       

Ovviamente il moto è periodico e dopo il tempo    esso si "riproduce" uguale a se stesso.

Immaginiamo ora che il centro del cerchio (sulla cui circonferenza si sta movendo il punto  di moto circolare uniforme) si muova di moto rettilineo uniforme sull'asse delle    verso destra con velocità costante  .

Supponiamo anche che al tempo    il centro del cerchio sia nell'origine  .

Siamo allora in presenza della "composizione" di due movimenti : la rotazione uniforme lungo una circonferenza e la traslazione uniforme della circonferenza lungo una retta.

La composizione di questi due moti diversi farà sì che il punto    tracci nel piano una traiettoria (una curva) "complicata", dalle caratteristiche molto interessanti.

Tali curve sono dette cicloidi ed il loro studio riveste molta importanza per esempio in astronomia.

Ma proseguiamo con la definizione dell'equazione della cicloide.

Ricordando, come già visto in precedenza, che una parametrizzazione della circonferenza di centro    e raggio  è :

       

e notando che per noi  vale  (è la formula "tipica" che dà lo spazio in funzione del tempo per un moto rettilineo uniforme !!!) , , la nostra cicloide avrà equazione parametrica :

          .

Queste equazioni sono anche le equazioni orarie del punto che si muove sul piano a causa della combinazione dei due moti.

Una cicloide può essere di diversi tipi che dipendono dalla scelta dei valori di  , , .

Scegliendo :

       

         

la parametrizzazione diventa più semplicemente :

        .

In questo caso si ottengono vari tipi di cicloide semplicemente variando la velocità    di traslazione della circonferenza.

Per velocità "piccole" si ha la seguente configurazione della cicloide :

       

Per velocità "meno piccole" si ha la seguente configurazione della cicloide :

       

Se    la cicloide (per  ,  ) presenta periodici "punti angolosi" :

       

Per velocità più "grandi " si ha la seguente configurazione della cicloide :

       

15 - Esercizio.

Si consideri il grafico :

       

e si determini il valore del parametro    in modo che si abbia :

       

con la condizione che il punto    stia sul segmento  ( , dove " " significa "appartenente a ...").

Risoluzione.

Calcoliamo prima di tutto le coordinate dei punti  , , che sono i punti d'incontro fra la parabola e la circonferenza.

Per fare questo basta risolvere il sistema :

        .

Poiché , la seconda equazione, sostituendo, diventa :

        .

Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita  . Ordiniamola e risolviamola

Si ha :

       

da cui (applicando la ben nota formula risolutiva delle equazioni di secondo grado) si ricava :

         

per cui le soluzioni sono :

       

        .

Questi valori rappresentano le possibili ordinate dei punti   , . Tali ordinate devono essere (come si vede bene dal grafico) positive. Per questo motivo scartiamo il valore negativo  .

Le coordinate di  , , sono allora :

       

        .

Per ottenere le  , , dobbiamo ricavare la  per esempio dall'equazione 

Se è  , ovvero , allora deve essere :

        .

Sostituendo  nella  di  , allora, si ricava :

       

        .

Le coordinate di  , , diventano quindi :

       

         

e l'equazione della retta    è :

        .

Graficamente (aggiungiamo al precedente grafico solo l'equazione della suddetta retta)  :

       

La condizione    è perciò equivalente alla condizione :

        .

Questa scrittura significa che il parametro    può assumere valori compresi (od uguali) fra    e come è evidente osservando il grafico.

Calcoliamo ora le coordinate dei punti  , , , .

Per i punti  , , basta risolvere il sistema :

        .

Sostituendo la  della prima equazione nella seconda si ottiene :

       

da cui :

       

e quindi :

        .

Possiamo perciò scrivere :

       

        .

Per i punti , , basta risolvere il sistema :

        .

Sostituendo la  della prima equazione nella seconda si ottiene :

       

da cui :

        .

Possiamo perciò scrivere :

       

        .

Riportiamo questi risultati nel grafico :

       

A questo punto siamo in grado di calcolare le lunghezze dei segmenti  , .

Si ha evidentemente :

       

e :

        .

Naturalmente, tali lunghezze dipendono dal parametro (ovvero, come si dice, sono in funzione di  ).

Come richiesto, deve essere :

        .

Sostituendo le espressioni appena trovate, si può scrivere :

        .

Questa è una equazione irrazionale (perché contiene delle radici) nell'incognita  .

Portando il termine    da destra a sinistra, l'equazione diventa :

        .

Elevando al quadrato ambo i membri si ottiene :

       

da cui si ricava (portando tutti i termini a sinistra ed ordinando) :

        .

Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita  .

Risolvendo con l'usuale formula si ottiene :

        .

Dovendo essere    positivo, prenderemo solo la soluzione :

         

che, approssimando, vale :

        .

Il valore    oltre ad essere positivo risulta anche minore di  ?

Dobbiamo verificare quindi che :

        .

Moltiplicando ambo i membri per  si ottiene :

       

cioè (portando le radici a sinistra ed i numeri interi a destra) :

       

ovvero (elevando al quadrato ambo i membri) :

        .

Quest'ultima espressione è vera, quindi anche quella da cui siamo "partiti" ( ) è vera.

Abbiamo così dimostrato che il valore trovato soddisfa la condizione :

        .

Il valore    è quindi la soluzione del problema.

Graficamente :

       

Fine.

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