E-school  di  Arrigo Amadori

Tutorial di matematica

Curve reali notevoli : circonferenza (6' parte)

12 - Pendenza della circonferenza.

Consideriamo la circonferenza di raggio unitario (   ) centrata nell'origine. La sua equazione è :

e limitiamo la nostra attenzione ai suoi punti di ordinata non nulla ( ).

Sulla semicirconferenza così ottenuta prendiamo un punto    a caso e tracciamo per esso la retta tangente  (alla suddetta semicirconferenza).

Graficamente :

Come visto molte volte in precedenza in questo corso, il coefficiente angolare della retta tangente    rappresenta la pendenza della circonferenza nel punto  .

La suddetta pendenza è la derivata della funzione che rappresenta la semicirconferenza in  . 

Indichiamo la pendenza, ovvero la derivata, con il simbolo :

e proponiamoci di ricavarne il valore.

Per fare questo tracciamo la retta secante    anch'essa passante per    indicando con    l'altro punto di intersezione con la circonferenza.

Graficamente :

Evidentemente, il coefficiente angolare della retta secante    tende al coefficiente angolare della retta tangente    quando il punto    tende al punto  (vi si avvicina "sempre più").

Possiamo allora scrivere che la pendenza (la derivata) della circonferenza in    è :

        ,

dove    è il coefficiente angolare della retta secante    e     è il coefficiente angolare della retta tangente .  

Graficamente :

Ricaviamo ora le coordinate dei punti     ,  .

Poiché dall'equazione     si ricava (nel caso di ) direttamente :

        ,

se l'ascissa di    è  , la sua ordinata è  . Abbiamo allora :

        .

Per il punto    poniamo che la sua ascissa sia  , dove il numero    è detto l' "incremento" della  .

Avremo allora :

        .

Graficamente :

Il coefficiente angolare    della retta secante    vale :

        ,

dove le scritture  ,  , hanno significato evidente.

Graficamente :

Si noti che se  , , si ha :

per cui il coefficiente angolare    risulta negativo come è giusto che sia (la retta    è in questo caso decrescente).

Ricaviamo ora il coefficiente angolare    della retta tangente  (la pendenza (la derivata) della semicirconferenza cercata) risolvendo il limite :

in quanto, quando    si ha di conseguenza  .

In sintesi, dobbiamo risolvere il limite :

        .

Quando  si ha evidentemente :

per cui :

        .

Il numeratore della frazione :

tenderà quindi a    così come tende a    il denominatore.

Abbiamo perciò ottenuto la forma indeterminata :

che non ci permette di calcolare il suddetto limite in quanto il risultato dell'operazione  potrebbe essere (intuitivamente, perché è assolutamente proibito dividere qualsiasi numero per  !!!) qualunque numero poiché ogni numero moltiplicato per    dà  .

Per eliminare l'indeterminazione, e così potere risolvere il limite, possiamo procedere nel modo seguente.

Moltiplichiamo numeratore e denominatore della frazione :

per il termine :

        .

In questo modo la frazione non cambia e, come sarà chiaro in seguito, si elimina l'indeterminazione.

Operando questo artifizio, scriveremo :

cioè :

        .

L'espressione al numeratore è del tipo :

che, come è facile dimostrare, si semplifica in :

        .

Possiamo perciò, semplificando (in particolare ricordando la formula del quadrato del binomio ), scrivere :

        .

Il limite :

è stato così trasformato, con passaggi puramente algebrici, nel limite equivalente :

        .

Questo limite è facilmente risolubile sostituendo semplicemente    ad  .

Si ricava :

        .

La pendenza (la derivata)    della semicirconferenza nel punto    è quindi :

        .

Vediamo alcuni esempi.

        -    pendenza per   

Sostituendo in  si ottiene :

         .

La pendenza è nulla per cui la tangente è orizzontale.

        -    pendenza per   

Sostituendo si ottiene :

        .

        -    pendenza per  

Sostituendo si ottiene :

        .

        -    pendenza per 

Sostituendo si ottiene :

        .

Questo risultato è privo di significato (non si può, come tante volte detto, dividere per  !!!)

Se però immaginiamo di avvicinarci ad    (per valori  ), si nota che il rapporto    tende a  . Possiamo allora affermare che in questo caso è :

        ,

ovvero che la pendenza in questione è  .

Pendenze infinite si hanno in generale con rette tangenti verticali, ovvero parallele all'asse delle  .

Lasciamo al lettore interessato lo studio del legame fra pendenza ed angolo tangente - asse delle    (o delle  ) nei suddetti casi.

13 - La circonferenza in forma parametrica.

L'equazione della generica circonferenza del piano cartesiano è :

con centro  e raggio  .

Graficamente :

        (abbiamo posto  )

L'equazione    è del tipo :

e viene detta in "forma implicita".

Se ricaviamo la  , l'equazione diventa del tipo :

e viene detta in "forma esplicita".

Nel nostro caso, scrivendo la come :

        ,

otteniamo un'equazione di secondo grado nell'incognita    che è risolta dalla formula :

        .

Questa è l'equazione della circonferenza in forma esplicita.

In effetti si tratta di due equazioni, una prendendo il    e l'altra prendendo il    davanti al radicale.

Il significato di ciò è evidente se poniamo:

e :

ed osserviamo il grafico :

Ad un valore di  , quando possibile, corrispondono i due valori  con  .

Vi è anche un altro importante modo di rappresentare una circonferenza del piano cartesiano, la cosiddetta "forma parametrica".

Per fare questo occorre introdurre un parametro, ovvero una ulteriore incognita (oltre ad ). 

Introduciamo il parametro    nel modo indicato dal grafico :

Il parametro    indica quindi l'angolo orientato mostrato in figura.

Ricaviamo ora le coordinate  del punto generico    della circonferenza.

Per fare questo ricordiamo le opportune note formule trigonometriche ed osserviamo il grafico :

Si ha quindi :

        .

Queste equazioni dipendenti dal parametro    sono una rappresentazione in forma parametrica della circonferenza di centro    e raggio  .

Abbiamo detto "una rappresentazione" (e non "la rappresentazione") perché le rappresentazioni in forma parametrica di una data circonferenza (ed in generale di ogni curva) sono infinite !!! Quella scritta sopra è solo una delle possibili. 

Mostriamo questo fatto con un esempio.

Poniamo :

        ,

avendo introdotto l'ulteriore parametro  .

Sostituendo, si ottiene :

        .

Questa è un'altra parametrizzazione, diversa dalla precedente, della medesima circonferenza !!!

Ciò ha un profondo significato che è fondamentale in fisica. Se il parametro rappresenta il tempo, cambiando parametrizzazione si ottengono diversi "modi" (con velocità diverse) di percorrere la stessa traiettoria (in questo caso la circonferenza). Ma tutto ciò sarà approfondito in futuro !!!

Ora dimostriamo che la forma implicita :

e la forma parametrica :

sono equivalenti, ciò rappresentano la stessa circonferenza.

Per fare questo basta sostituire le formule di    della parametrizzazione nell'equazione implicita.

Si ottiene :

da cui (applicando la formula del quadrato del binomio) :

da cui (raccogliendo  ) :

da cui (ricordando che  ) :

da cui (ricordando che per noi vale ,   ) :

da cui :

e :

e :

e (ricordando che  ) :

da cui :

ed infine :

        .

Ciò dimostra l'equivalenza delle due forme.

Fine.

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