E-school  di  Arrigo Amadori

Tutorial di matematica

Curve reali notevoli : circonferenza (5' parte)

11 - Calcolo lunghezza circonferenza.

        -    metodo della spezzata

Consideriamo la circonferenza di raggio unitario ( ) centrata nell'origine di un sistema di assi cartesiani ortogonali  .

La sua equazione, come ben sappiamo, è :

        .

Ci proponiamo di misurare la lunghezza della circonferenza approssimandola con opportune linee spezzate.

Per comodità ci limitiamo a considerare l'arco di circonferenza contenuto nel primo quadrante. Ovviamente, l'intera circonferenza sarà il suddetto arco moltiplicato per quattro.

Per quel che segue ci serve ricavare la    (di  ) in funzione della  . Si ha perciò :

         ,

dove il segno positivo davanti alla radice è coerente con la scelta che abbiamo fatto di considerare solo l'arco di circonferenza contenuto nel primo quadrante.

Osserviamo il seguente grafico  :

       

        (per esigenze grafiche si è scelto , cioè un    "piccolo")

La linea composta dalle corde :

        , , ...,   

forma una cosiddetta (linea) spezzata.

E' evidente che la lunghezza della suddetta spezzata, lunghezza che è data dalla somma delle lunghezze dei singoli segmenti che la compongono, approssima la lunghezza dell'arco di circonferenza ad essa sottesa.

E' anche evidente che tale approssimazione diventa via via migliore aumentando  .

Se indichiamo con    la lunghezza della spezzata formata da    segmenti, possiamo allora scrivere :

        ,

dove   è la lunghezza dell'intera circonferenza.

Calcoliamo ora la lunghezza della spezzata    . Per fare questo, ovviamente, calcoliamo la lunghezza dei singoli segmenti   , , ...,    che la compongono.

Essendo ogni segmento della spezzata l'ipotenusa di un evidente triangolo rettangolo, applicando ogni volta il teorema di Pitagora si ha :

       

       

        ...

        .

La lunghezza della spezzata sarà allora :

        .

Operiamo ora alcune semplificazioni.

Avremo :

       

e (calcolando i quadrati con la nota formula ) :

       

e (raccogliendo ed ordinando opportunamente) :

       

e :

       

e (ricordando che per numeri non negativi, poiché si ha  , si ha anche ) :

       

ed infine (ricordando che  ) :

        .

Questa è la formula cercata che esprime la lunghezza della spezzata e che approssima la lunghezza dell'arco.

Nella seguente tabella abbiamo riportato alcuni valori di  , per    crescenti , ottenuti con semplici tecniche numeriche.

          
  4   1.55224803389 
  8   1.56427215827
  10   1.56613230926
  100   1.57064928358
  1000   1.57079167826
  ...   ...
  ...   ...
  ...   ...

Per  , il valore    tende alla lunghezza del quarto di circonferenza

Tale numero vale (con    decimali esatti calcolati con altre tecniche numeriche) :

        .

Si noti la "lentezza" di convergenza del metodo.

        -    metodo "classico"

Calcoliamo ora la lunghezza della circonferenza di un cerchio di raggio unitario ( ) approssimandola con il perimetro di poligoni regolari inscritti aventi un numero di lati tendente all'infinito.

Questo metodo è analogo a quello (anch'esso detto da noi "classico" perché simile ai metodi utilizzati dai Greci antichi) mostrato in precedenza per l'area del cerchio.

Il punto cruciale del metodo è quello di ottenere la lunghezza della corda  a partire dalla corda  così come mostrato nel grafico :

       

Se poniamo :

       

e :

        ,

allora, come già mostrato, si ha :

        .

L'operatore    "agisce" sulla corda di lunghezza  facendoci ottenere . Cioè :

        .

Cominciamo l'approssimazione della lunghezza della circonferenza con il quadrato di lato  :

       

Evidentemente vale  .

Proseguiamo con l'ottagono regolare inscritto di lato  :

       

Il lato    è evidentemente dato dall'applicazione dell'operatore    al lato del quadrato di lunghezza  .

Proseguiamo con l'esadecagono regolare inscritto di lato  :

        

Il lato    è dato dalla formula :

       

che può essere scritta più brevemente come :

       

dove l'esponente    non indica l'elevamento al quadrato di  , ma è semplicemente un "comodo" simbolo che indica il fatto che l'operatore    viene applicato "ricorsivamente" due volte.

Proseguendo, così come abbiamo iniziato, con la successione dei poligoni regolari inscritti otterremo :

       

       

        ecc. ecc.

Riassumendo, la successione dei lati è :

       

       

        

       

       

        ecc. ecc.

Si noti che abbiamo opportunamente introdotto le potenze di    .

Siamo ora in grado di produrre una formula "riassuntiva" per la successione dei lati. Essa è :

          .

Ora costruiamo la successione dei perimetri dei suddetti poligoni. Avremo :

       

       

       

       

       

        ecc. ecc.

dove il simbolismo scelto è evidente.

La formula riassuntiva della successione dei poligoni è quindi :

        .

La lunghezza della circonferenza viene approssimata sempre meglio tanto più    è grande. Possiamo perciò scrivere :

       

cioè :

        ,

avendo indicato, come è ben noto, la lunghezza della circonferenza di raggio unitario con  .

Nella seguente tabella abbiamo riportato alcuni valori di  , per    crescenti , ottenuti con tecniche numeriche.

          (lati)     
  4   16   6.24289030452
  8   256   6.28302760229
  10   1024   6.28317545056
  14   16384   6.28318526693
  ...   ...   ...
  ...   ...   ...
  ...   ...   ...

Il presente metodo "classico" converge molto velocemente a    .

Fine.

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