E-school  di  Arrigo Amadori

Tutorial di matematica

Curve reali notevoli : circonferenza (4' parte)

10 - Calcolo area cerchio.

Consideriamo un cerchio di raggio unitario ( ) centrato nell'origine di un sistema di assi cartesiani ortogonali.

La sua equazione è ovviamente :

        .

Graficamente :

       

Per calcolare l'area di questo cerchio limitiamoci a calcolare quella del settore relativo al primo quadrante (nel grafico, in colore) :

       

Indichiamo con  l'area del settore in questione e con    l'area dell'intero cerchio

Ovviamente, l'area dell'intero cerchio sarà quattro volte l'area del suddetto settore, cioè sarà :

        .

Per calcolare l'area  del settore procediamo in due modi diversi, anche se simili.

        -    metodo dei rettangoli

Osserviamo il grafico :

       

Dividiamo cioè il l'intervallo   (sull'asse delle ascisse) in    parti uguali (nell'esempio grafico è  ) e costruiamo gli    rettangoli così come mostrato.

Indichiamo con    la sommatoria delle aree di tali    rettangoli.

E' evidente che, maggiore sarà    , più il valore    sarà prossimo all'area del settore cercato.

Possiamo quindi scrivere :

        .

Valutiamo ora  osservando il grafico (ottenuto con    e più "chiaro" del precedente) :

       

Il fatto saliente di questo grafico è che abbiamo indicato con :

       

i valori delle ordinate corrispondenti (tramite la circonferenza) alle ascisse  :

         

così come vengono determinate dividendo l'intervallo    in    parti uguali.

Ovviamente si ha :

         

e :

        .

Essendo    la misura della base di ogni rettangolo, si ha che la somma    vale :

         

ovvero, raccogliendo .

        .

D'altra parte, siccome l'equazione della circonferenza è  , possiamo scrivere :

        

e :

        .

Limitando la nostra attenzione al solo primo quadrante, possiamo allora scrivere semplicemente :

        .

Questa è la funzione    che lega la  alla    tramite la circonferenza.

La formula che fornisce  scritta sopra, sostituendo i valori    nella  di  , diventa allora :

         

che può essere scritta meglio come :

       

e :

       

e :

       

ed infine :

        . 

Questa espressione rappresenta l'area che approssima sempre meglio, al crescere di  , l'area  del settore che stiamo prendendo in considerazione.

Si noti l' "armonia estetica" della formula !!!

Per esempio, per , si ha :

        .

Per , si ha :

        .

Si noti la "regolarità" con cui i radicandi decrescono !!! Essi decrescono di numeri dispari crescenti !!! (i numeri riservano spesso piacevoli e "fantasiose" sorprese ...)

Il calcolo manuale dei termini  , per vari  , è ovviamente lento e laborioso. Grazie all'avvento dei computers, è possibile, invece, ottenere in poco tempo valori di    anche con    molto grandi.

Nella seguente tabella abbiamo riportato alcuni valori di  , per    crescenti , ottenuti con semplici tecniche numeriche.

          
  4   2.4957090681 
  8   2.83981914436
  10   2.90451832625
  100   3.12041703178
  1000   3.13955546691
  ...   ...
  ...   ...
  ...   ...

Per  , il valore    tende all'area del cerchio (di raggio unitario). Tale numero si indica con  !!!

Con    decimali esatti, si ha :

         

(calcolato con altre tecniche numeriche).

Con    decimali esatti si ha :

         

(da Wikipedia).

Si ricorda che  è un numero irrazionale, cioè con infiniti decimali non periodici !!!

Infine, è opportuno segnalare che calcolare il limite :

       

equivale (e ciò sarà oggetto di ampi approfondimenti futuri in questo corso) al calcolo dell'integrale definito :

        .

        -    metodo dei trapezi

Usare trapezi invece che rettangoli, per approssimare della aree piane, è in generale più conveniente.

Infatti, nel nostro caso, si ha (con  ) :

       

Confrontando quest'ultimo grafico con l'analogo del metodo precedente, il miglioramento dell'approssimazione è evidente.

Per valutare    osserviamo il grafico (con  ) :

       

Ricordando che l'area di un trapezio è :

        somma basi * altezza / 2

si ha :

         .

Utilizzando, come nel caso precedente, la funzione    che rappresenta la circonferenza (nel primo ( e secondo) quadrante), si ottiene :

       

da cui :

       

e :

       

e :

       

e :

       

ed infine :

        .

Si noti che questo risultato differisce dal precedente (trovato col metodo dei rettangoli) per il solo termine additivo  .

Lasciamo al lettore interessato la giustificazione geometrica di questo fatto.

Nella seguente tabella abbiamo riportato alcuni valori di  , per    crescenti , ottenuti con tecniche numeriche.

          
  4   2.9957090681
  8   3.08981914436
  10   3.10451832625
  100   3.14041703178
  1000   3.14155546691
  ...   ...
  ...   ...
  ...   ...

Il presente metodo (dei trapezi) converge più velocemente a    del precedente metodo (dei rettangoli) come è giusto che sia.

        -    metodo "classico"

Il metodo che presentiamo qui non è basato sui concetti della geometria analitica (assi cartesiani, funzioni ecc.) e per questo può essere chiamato "classico". Gli antichi greci, per determinare    , usarono procedimenti simili !!!

Consideriamo la seguente successione di poligoni regolari inscritti in un cerchio di raggio unitario ( ) :

       

       

       

        ecc. ecc.

Si tratta di un quadrato, un ottagono regolare, un esadecagono regolare (poligono regolare a lati) ecc. ecc.

Ciascun poligono della sucessione è ricavato dal precedente semplicemente dividendo a metà ogni arco sotteso ai lati (del poligono precedente).

Chiaramente, le aree dei poligoni della successione tendono (continuando nelle suddivisioni) all'area del cerchio.

Graficamente :

       

       

       

        ecc. ecc.

Si noti la "rapidità" con cui le aree dei poligoni della successione tendono all'area del cerchio !!! Questo fatto ci fa pensare che questo metodo per ricavare, con approssimazioni successive, l'area del cerchio, dal punto di vista del calcolo numerico eseguito al computer, è molto "buono"

Il problema del calcolo dell'area del cerchio si riduce quindi quello di calcolare le aree dei poligoni regolari della successione mostrata sopra.

L'area di un qualunque poligono della successione sarà la somma delle aree dei triangoli uguali (con vertici nel centro del cerchio) in cui il poligono è suddiviso. Per esempio, per l'ottagono regolare :

       

Le aree di questi triangoli saranno evidentemente funzioni del raggio del cerchio e del lato del poligono.

Per calcolare le aree dei triangoli (in cui i poligoni sono suddivisi) ci serve quindi una formula che ci fornisca la lunghezza del lato di un poligono regolare della successione conoscendo la lunghezza del lato del poligono che lo precede (nella successione). Siccome la lunghezza del lato del quadrato (primo poligono della successione) è facilmente calcolabile, con tale formula saremo in grado di ricavare immediatamente le lunghezze dei lati di tutti i poligoni della successione. Basterà applicare la formula "ricorsivamente" (la medesima formula è applicata utilizzando il risultato che la medesima ha fornito in precedenza ...) a partire dal lato del quadrato e seguendo la successione.

Ricaviamo ora la formula "cruciale" per ciò che segue osservando il grafico :

        

La corda    è perpendicolare al raggio  che ha lunghezza  .

Naturalmente si ha :

       

        (la corda    non è stata visualizzata).

Se si ha :

       

ci proponiamo di calcolare    in funzione di  .

Chiamiamo tale funzione con  , per cui vale :

        .

Applichiamo opportunamente e ripetutamente sul precedente grafico il teorema di Pitagora e facciamolo direttamente sul grafico.

Si ha :

       

Abbiamo così ricavato la formula :

       

che è ciò che cercavamo.

Semplifichiamola.

Si ha :

          

dove, fra le altre cose, abbiamo applicato anche la nota formula del quadrato del binomio  .

In sintesi :

        .

Questa funzione, data la lunghezza di una corda qualunque (anche non corrispondente ad un lato di un poligono regolare inscritto !!), fornisce in modo molto semplice, la lunghezza della corda ottenuta come descritto nei grafici.

Algebricamente, la formula contiene un cosiddetto "radicale doppio" che potrebbe essere ulteriormente semplificato, ma questo non comporta per noi nessun vantaggio, essendo la suddetta molto semplice.

Piuttosto, è conveniente introdurre qui il concetto di operatore matematico.

Poiché la funzione   dovrà essere usata, come accennato sopra e come sarà chiarito in seguito, in modo "ricorsivo", diciamo che   è l'operatore che da    ci fornisce    Cioè :

        .

L' "applicazione" dell'operatore    al risultato che si ottiene da una precedente applicazione di    al valore    è :

        .

Questa espressione significa che il risultato dell'applicazione di    ad  , cioè  , è data ancora come "argomento" all'operatore  .

Se questo processo viene iterato (ripetuto) ancora una volta si ottiene :

         

ecc. ecc.

Per evitare le parentesi si preferisce scrivere :

       

       

       

        ecc. ecc.

dove gli esponenti non indicano qui l'elevamento a potenza, ma indicano quante volte viene applicato l'operatore  .

La scrittura    è quindi equivalente alla scritture (con le parentesi)  .

In questo modo, le formule si semplificano grandemente !!! anche se bisogna porre attenzione al contesto e non confondersi con l'elevamento a potenza !!!

Ma torniamo al calcolo delle aree dei poligoni regolari inscritti.

Consideriamo la successione di grafici :

       

       

       

        ecc. ecc.

In questi grafici abbiamo indicato con :

          l'area del triangolo (in colore) che costituisce un quarto del quadrato inscritto

          l'area del triangolo (in colore) che costituisce un ottavo dell'ottagono regolare inscritto

          l'area del triangolo (in colore) che costituisce un sedicesimo dell'esadecagono regolare inscritto

        ecc. ecc.

Il calcolo delle suddette aree è evidente.

Le corde indicate hanno lunghezze :

       

       

       

        ecc. ecc.

Proseguendo la successione (purtroppo, non possiamo produrre corrispondenti grafici sufficientemente chiari), si ottiene evidentemente :

        , , ecc. ecc.

Osservando come si "sviluppa" la suddetta successione possiamo scrivere la formula riassuntiva :

         

dove    indica il numero complessivo dei lati dei poligoni regolari inscritti (della successione). 

Verifichiamo, per esempio, l'esattezza della formula per  .

Poiché  , si ha che    e che  , come è giusto che sia coerentemente alla formula.

A questo punto siamo in grado di calcolare l'area di un poligono regolare della successione costituito da    lati

Indicheremo tale area con :

        .

Sarà perciò :

        .

Poiché le aree della successione di poligoni regolari tendono all'area del cerchio, che indichiamo con  , possiamo scrivere :

        .

Nella seguente tabella abbiamo riportato alcuni valori di  , per    crescenti , ottenuti con tecniche numeriche.

          (lati)     
  4   16   3.06146745892
  8   256   3.14127725093
  10   1024   3.14157294037
  16   65536   3.14159265481
  ...      ...
  ...      ...
  ...      ...

Il presente metodo "classico" converge molto velocemente a    .

Fine.

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