E-school  di  Arrigo Amadori

Tutorial di matematica

Curve reali notevoli : circonferenza (3' parte)

07 - Esercizio.

Dato il punto    ricavare l'equazione del fascio di circonferenze passanti per esso.

Risoluzione.

Come ben si sa, le circonferenze che passano per un dato punto (che consideriamo "fisso") sono infinite.

Graficamente :

       

L'equazione della generica circonferenza del piano è :

       

e dipende dai tre parametri indipendenti  .

Anche le generiche circonferenze del piano sono infinite, ma si tratta di un infinito più "forte" dell'infinito corrispondente alle circonferenze passanti per un punto fisso ! Questo perché esistono infinite circonferenze che non passano per quel punto !

Graficamente :

       

Per indicare l'infinito corrispondente a tutte le generiche circonferenze del piano, siccome i parametri ( ) che ne caratterizzano l'equazione sono tre, si usa dire  (infinito alla  ).

La condizione algebrica perché una circonferenza passi per il punto  è che le coordinate del punto ne soddisfino l'equazione

Basterà allora sostituire nella  le coordinate di  . Otterremo perciò :

        .

Siccome    sono numeri dati, siamo in presenza di una equazione nelle tre incognite .

Naturalmente, una tale equazione non ha una sola soluzione, ma infinite (in generale, una sola equazione, per avere una sola soluzione, deve avere una sola incognita).

Nel nostro caso, in presenza di una equazione in tre incognite, possiamo supporre che l'incognita sia una e le altre siano numeri dati, possiamo cioè ricavare una incognita in funzione delle altre due.

Ricaviamo per esempio .

Avremo :

        .

Il parametro    è quindi funzione degli altri due.

La stessa cosa può essere fatta con gli altri due parametri.

L'equazione della generica circonferenza passante per il punto    è allora :

        .

Siccome i parametri da cui dipende tale equazione sono due, diremo che siamo in presenza di    circonferenze.

Si tratta di un infinito meno "forte" di , pur essendo entrambi infiniti !

Esempi :

        -    il fascio di circonferenze passanti per   

Siccome in questo caso è :

        ,

sostituendo in  , si ricava direttamente :

       

che è l'equazione del fascio cercato.

Graficamente :

       

Lasciamo al lettore l'immediata verifica che l'equazione  rappresenta appunto le circonferenze passanti per  .

        -    il fascio di circonferenze passanti per   

Siccome in questo caso è :

        ,

sostituendo in  , si ricava direttamente :

       

che è l'equazione del fascio cercato.

Graficamente :

       

Lasciamo al lettore l'immediata verifica che l'equazione  rappresenta appunto le circonferenze passanti per  .

08 - Esercizio.

Dati il punti  , ricavare l'equazione del fascio di circonferenze passanti (ciascuna) per essi.

Risoluzione.

Le circonferenze che passano per due punti fissi sono infinite.

Graficamente :

       

Queste circonferenze hanno una importante proprietà. Essa hanno (tutte) centro sull'asse del segmento  .

L'asse di un segmento, per definizione, è la retta i cui punti equidistano dagli estremi del segmento.

Graficamente :

       

L'asse del segmento  è di conseguenza perpendicolare ad esso e passa per il suo punto medio.

Graficamente :

       

I centri    delle circonferenze passati per i punti    stanno quindi tutte sull'asse del segmento  .

Graficamente :

       

Questa importante proprietà può essere usata per ricavare l'equazione del fascio cercato. Per analogia con il precedente esercizio, invece, seguiremo il seguente procedimento.

Sostituiamo le coordinate dei punti    nell'equazione della generica circonferenza  . 

Siccome il passaggio delle circonferenze per i due punti    deve avvenire "contemporaneamente", otteniamo così il sistema :

         

(un sistema di equazioni implica che le equazioni scritte valgano "contemporaneamente" (si noti il riferimento improprio, ma suggestivo, al "tempo" !)).

Si tratta di un sistema di due equazioni nelle tre incognite (i valori    sono dati prefissati) . 

Scriviamolo meglio :

        .

Poiché il numero delle incognite supera il numero delle equazioni, un tale sistema ha in generale infinite soluzioni (solo se il numero delle incognite e delle equazioni coincide, si può avere una sola soluzione).

Se, fra le tre incognite    ne scegliamo due ( oppure  oppure  ) possiamo esprimerle in funzione della terza rimanente.

Se scegliamo  , esse possono essere espresse in funzione di  .

Se scegliamo  , esse possono essere espresse in funzione di  .

Se scegliamo  , esse possono essere espresse in funzione di  .

Sostituendo poi le suddette coppie di parametri (così come li abbiamo scelti), espressi in funzione del rimanente parametro, nell'equazione della circonferenza generica  , otteniamo un'equazione, quella del fascio cercato, in funzione di un solo parametro (quello rimanente).

Per esempio, se ricaviamo in funzione di   , otteniamo :

        ,

dove    indicano appunto la dipendenza di  da   .

La scelta della coppia di parametri dipende da "esigenze algebriche" su cui non indagheremo oltre. La scelta di una coppia di parametri da esprimere in funzione del terzo rimanente è, comunque, sempre possibile (purché i punti    siano distinti).

Poiché, in ogni caso, l'equazione del fascio dipende da un solo parametro, diremo che esso è composto da    circonferenze.

Si tratta di un infinito meno "forte" di  e di , pur essendo sempre infiniti !

Esempio :

        -    il fascio di circonferenze passanti per   

In questo caso è :

        .

Sostituendo in :

si ottiene :

       

cioè :

        .

Dalla seconda equazione si ottiene per esempio :

        .

Sostituendo  ,   nell'equazione della generica circonferenza  si ottiene infine :

       

che è l'equazione del fascio cercato.

Lasciamo al lettore l'immediata verifica che l'equazione  rappresenta appunto le circonferenze passanti per  .

09 - Esercizio.

Dati il punti  , , , distintinon allineati, ricavare l'equazione dell'unica circonferenza passante per essi.

Risoluzione.

Se i tre punti sono distinti e non allineati (cioè non giacenti sulla stessa retta), per essi passa una ed una sola circonferenza. Questo è un teorema ben noto della geometria euclidea.

L'unicità della soluzione del problema può essere compresa osservando il grafico :

       

Il centro della circonferenza (unica) passante per i tre punti   , , , è determinato dall'intersezione fra i due assi  , , dei segmenti  , , rispettivamente.

Per ricavare l'equazione della circonferenza in questione potremmo procedere seguendo il fatto geometrico appena mostrato. Tale procedimento è però piuttosto complicato e ne lasciamo lo sviluppo al lettore interessato. Qui, invece, in analogia con i precedenti esercizi (circonferenze per un punto e per due punti) seguiremo il procedimento algebrico che si ottiene imponendo il passaggio della circonferenza generica per ciascuno dei tre punti dati (separatamente).

Perché la generica circonferenza  passi "simultaneamente" per punti  , , , occorre che valga il sistema :

          

che si ottiene sostituendo le coordinate dei tre punti  , , , (presi uno ad uno) nella suddetta equazione della circonferenza generica.

Il sistema può essere meglio scritto come :

       

e :

        ,

dove abbiamo posto per comodità :

        .

Il sistema :

       

è un sistema di primo grado di tre equazioni nelle tre incognite

Un tale sistema, se i punti  , , sono distinti e non allineati, ha sicuramente "una ed una sola" soluzione (non entriamo nei particolari di questa affermazione, ma ci limitiamo ad accettarne la verità perché appare plausibile geometricamente). 

La soluzione di un tale sistema lineare  (così, brevemente, si usa dire !) è ottenibile tramite metodi e teoremi generali ben precisi e codificati che utilizzano matrici e determinanti. Allo stato di questo corso, però, non siamo in grado di usare tali metodi generali perché non ancora presentati. Utilizzeremo allora, nell'esempio che segue, il metodo della sostituzione che è più semplice concettualmente anche se, in generale, molto "farraginoso" e quindi poco "elegante". E' anche il caso di ricordare che tali sistemi (e anche molto più complessi), oggi, con l'avvento del computer, possono essere risolti velocemente con l'aiuto del calcolo numerico.

Esempio :

        -    la circonferenza passante per   

In questo caso si ha :

       

ovvero :

        .

Essendo :

         ,

avremo :

       

cioè :

        .

Ricavando  dalla seconda equazione si ottiene :

        .

Sostituendo tale espressione nella terza equazione, si ricava :

       

da cui :

        .

Sostituendo questo valore in  , si ricava :

        .

Abbiamo perciò trovato :

        .

Sostituendo tali valori nell'equazione della generica circonferenza  si ottiene infine :

         

che è l'equazione della circonferenza cercata.

Lasciamo al lettore l'immediata verifica del risultato.

Fine.

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