E-school  di  Arrigo Amadori

Tutorial di matematica

Curve reali notevoli : circonferenza (2' parte)

05 - Esercizio.

Ricavare l'equazione della circonferenza di centro    e tangente alla retta  di equazione  .

Risoluzione.

La retta    è evidentemente la bisettrice del secondo e quarto quadrante.

Le infinite circonferenze che hanno centro in  formano un fascio  (o famiglia, entrambi sinonimi di insieme) di circonferenze come indicato nel grafico :

Fra le infinite circonferenze di centro  una sola è quella tangente alla retta  . 

Questa affermazione è evidente osservando il grafico :

Nel grafico, la circonferenza    del fascio non incontra la retta    in nessun punto, la circonferenza    incontra la retta    in un solo punto (ovvero, come si preferisce dire, in due punti coincidenti, ed è il caso della tangente !!!), la circonferenza   incontra la retta in due punti distinti.

Noi ricerchiamo il caso in cui la circonferenza generica del fascio è tangente alla retta , cioè la incontra in un solo punto ovvero in due punti coincidenti.

Graficamente :

Chiamiamo    il punto di tangenza.

La conoscenza delle coordinate del centro  , come ben sappiamo, determina univocamente il valore dei parametri  , dell'equazione della circonferenza generica  .

Si ha esattamente :

da cui :

cioè :

        .

L'equazione delle circonferenze del fascio in questione è quindi :

        .

Come si vede bene, il fascio dipende dal solo parametro    .

Dopo questa premessa, per risolvere il problema possiamo seguire due procedimenti diversi.

        Procedimento 1.

Ricaviamo le coordinate dei punti d'incontro (chiamiamoli , ) fra la retta    e la generica circonferenza del fascio di circonferenze con centro in  .

Graficamente :

Tali punti possono essere reali distinti (come in figura), reali coincidenti (nel caso della tangente) o, diciamo, "immaginari" (il caso in cui la circonferenza non incontra la retta). 

Se la circonferenza non incontra la retta non vi sono, evidentemente, punti d'incontro. Algebricamente, come vedremo in seguito, invece, si suppone che vi siano ugualmente due punti d'incontro, ma punti, si potrebbe dire, "speciali", esattamente "non reali", ovvero, come è meglio dire, "immaginari".

Le coordinate dei punti d'incontro fra la generica circonferenza di equazione    e la retta di equazione    sono i punti    che risolvono il sistema :

        .

Si fa il sistema perché le coordinate    dei punti d'incontro fra le due curve devono soddisfarne "contemporaneamente" le equazioni. Un punto d'incontro  ha le proprie coordinate che soddisfano entrambe le equazioni, dovendo tale punto appartenere ad entrambe le curve.

Sostituendo la della seconda equazione nella prima, si ottiene :

da cui :

ovvero :

        .

Questa è un'equazione algebrica di secondo grado del tipo    le cui due soluzioni generali sono :

        .

Nel nostro caso è :

per cui, sostituendo, si ricava :

        .

Si tratta di due soluzioni che rappresentano le ascisse    dei punti d'incontro  , ,  fra circonferenza e retta. 

Chiamiamo tali soluzioni :

        .

E' chiaro che, perché si abbia la tangenza fra circonferenza e retta, deve essere :

        .

Questo si verifica solo quando il discriminante   è nullo (ricordiamo che il discriminate, che si indica con la delta maiuscola  , è l'espressione sotto radice, cioè il radicando, che compare nella formula risolutiva dell'equazione di secondo grado), ovvero quando :

che è verificata per :

        .

L'equazione della circonferenza cercata è allora :

        .

Si noti che se il discriminante    è positivo, cioè  , si hanno due soluzioni    reali distinte (della suddetta equazione di secondo grado ). Ciò corrisponde a due punti d'incontro,  , , reali distinti.

Se, invece, il discriminante  è nullo, cioè  , come appena mostrato, si hanno due soluzioni reali coincidenti    .  Ciò corrisponde a due punti d'incontro,  , , reali coincidenti (il punto di tangenza  che qui vale, come è immediato verificare, ).

Se, infine, il discriminante  è negativo, cioè  , si hanno, non potendo eseguire nel campo dei numeri reali la radice quadrata di numeri negativi, due soluzioni  cosiddette immaginarie distinte. Ciò corrisponde al fatto geometrico che non si hanno punti d'incontro fra circonferenza e retta.

        Procedimento 2.

Questo procedimento alternativo si basa sulla constatazione che il raggio  (giacente sulla retta  e di lunghezza  ), è perpendicolare alla retta . Questa è una importante proprietà delle rette tangenti alle circonferenze. 

Graficamente :

Il metodo consiste nel ricavare le coordinate di    ed imporre che tali coordinate soddisfino l'equazione     che, come ricavato in precedenza, rappresenta una generica circonferenza con centro in  (e che dipende dal solo parametro  ). Le coordinate del punto    devono soddisfare l'equazione della suddetta circonferenza perché tale punto giace su di essa.

Per ricavare l'equazione della retta dobbiamo ricordare che l'equazione di una generica retta (escluse quelle verticali) passante per il punto    è :

        ,

dove    è il coefficiente angolare della suddetta retta.

Detto questo, possiamo ricavare subito l'equazione della generica retta passante per   . 

Avremo perciò :

        .

Perché la retta  sia perpendicolare alla retta  , occorre che il suo coefficiente angolare  sia l' "antireciproco" del coefficiente angolare della retta  , cioè deve essere :

        ,

dove    è il coefficiente angolare della retta  .

Siccome :

si avrà :

(il valore  si poteva dedurre immediatamente notando che, essendo    la bisettrice del secondo e quarto quadrante, una sua retta perpendicolare deve essere parallela alla bisettrice del primo e terzo quadrante, cioè avere coefficiente angolare  ).

L'equazione della retta    sarà allora :

cioè :

ovvero :

        .

Per ricavare le coordinate del punto d'incontro    fra    ed  , come sempre in questi casi, basta fare il sistema fra le loro equazioni. 

Scriveremo allora :

        .

Uguagliando le  , otteniamo :

da cui :

e :

e :

        .

Questa è l'ascissa di  .

Per ricavare l'ordinata basta sostituire in una delle due equazioni del sistema. Si ricava perciò :

        .

Si ha quindi :

        .

Sostituendo queste coordinate   nell'equazione della circonferenza    di centro    si ottiene :

da cui :

e :

e :

        .

L'equazione della circonferenza cercata è allora :

        .

Si osservi che per la lunghezza  del raggio deve valere (applicando la formula della distanza di due punti ovvero il teorema di Pitagora) :

e (applicando la nota formula del raggio) :

        .

Uguagliando le due espressioni si ottiene l'equazione nell'incognita  :

da cui si ricava :

e, elevando al quadrato ambo i membri :

da cui :

e :

ed infine :

        .

Questo rappresenta un ulteriore metodo di risoluzione dell'esercizio ed altri potrebbero essere trovati per esempio utilizzando il concetto di derivata ... Quanta varietà e fantasia vi è nella matematica !!!

06 - Esercizio.

Ricavare le equazioni delle rette passanti per il punto    e tangenti alla circonferenza di centro    e raggio  . 

Come è evidente osservando il grafico :

per il punto    passano infinite rette che possono :

        -    non incontrare la circonferenza in alcun punto (come la retta  )

        -    essere tangenti alla circonferenza (ciascuna retta) in due punti coincidenti (come le due rette  ,  nei punti  , ) 

        -    incontrare la circonferenza in due punti distinti (come la retta  nei punti  , ).

Risolviamo l'esercizio seguendo due diversi procedimenti.

        Procedimento 1.

Confrontando le coordinate del centro della generica circonferenza con il centro della nostra, ovvero scrivendo :

        ,

si ricava immediatamente che :

        .

Per ricavare    basta utilizzare la formula del raggio della generica circonferenza e scrivere :

da cui :

e, elevando ambo i membri al quadrato :

e quindi :

        .

L'equazione della circonferenza è perciò :

        .

Tale equazione poteva essere ricavata applicando il teorema di Pitagora come indicato nel grafico :

cioè scrivendo direttamente :

        .

L'equazione della generica retta   passante per    (eccetto quella verticale) è :

cioè :

        ,

dove    è naturalmente il coefficiente angolare della generica retta.

L'equazione di tale retta dipende evidentemente dal solo parametro  .

Le coordinate dei punti d'incontro fra la generica retta (esclusa quella verticale) passante per  di equazione con la circonferenza di equazione    vengono determinate, come sempre in questi casi, risolvendo il sistema :

        .

Si tratta di un sistema algebrico (contenente cioè solo polinomi) di secondo grado nelle incognite  , (la prima equazione è di primo grado e la seconda equazione è di secondo grado per cui il grado complessivo del sistema, che è determinato dal prodotto dei gradi delle equazioni che lo compongono, è di secondo grado). 

Un tale sistema fornisce in generale due soluzioni che rappresentano le coordinate  dei punti d'incontro fra le rette passanti per  e la circonferenza.

Per risolvere il sistema basta sostituire l'espressione che fornisce    nella prima equazione direttamente nella seconda. Si ottiene perciò :

che è un'equazione di secondo grado nell'incognita   e contenente il parametro  . 

Calcolando, semplificando e raccogliendo opportunamente, si ottiene :

e :

        .

Ricordando che le soluzioni della generica equazione di secondo grado :

sono :

          ,

nel nostro caso, essendo :

        ,

abbiamo :

        .

Ponendo :

che è cosiddetto il discriminante dell'equazione, abbiamo :

          .

I valori    così trovati rappresentano, in funzione del parametro  , le ascisse dei punti d'incontro (in generale due, nel precedente grafico   , ) fra la retta generica passante per    e la circonferenza.

Graficamente :

Affinché si abbia la tangenza, occorre che :

ovvero che si abbia :

        .

Questa condizione equivale a scrivere :

        .

Calcolando e semplificando, si ottiene :

e :

e :

e :

e, dividendo per :

        .

Questa è una semplice equazione di secondo grado in  . 

Risolvendo, si ottiene :

per cui i coefficienti angolari delle rette tangenti    ,     cercate sono :

         .

I loro valori approssimati sono :

        .

La conoscenza dei coefficienti angolari    permette di ricavare direttamente le equazioni delle rette tangenti  ,     cercate ed anche, volendo, le coordinate dei punti di tangenza  , .

        Procedimento 2.

Il procedimento alternativo che segue è prettamente trigonometrico. Non fa riferimento all'equazione della circonferenza ma utilizza noti teoremi della geometria euclidea nonché note formule di trigonometria e le proprietà trigonometriche del coefficiente angolare.  

Si consideri il seguente grafico :

La retta    passa per il punto   ed il centro  . 

I triangoli  ,   sono rettangoli in  ,   per un noto teorema.

I suddetti triangoli sono uguali (per il suddetto noto teorema) per cui gli angoli  ,   sono di conseguenza uguali.

Come è ben noto, il coefficiente angolare    della retta di equazione    è uguale alla tangente trigonometrica dell'angolo che la retta forma con l'asse delle    (considerando l'orientazione positiva di detto asse e l'orientazione antioraria dell'angolo).

I coefficienti angolari    cercati saranno allora :

        .

Soffermiamoci sulla determinazione di    (   potrà essere ricavato analogamente).

L'angolo   è esterno al triangolo    per cui vale :

        .

Si ha allora :

        .

Applicando la nota formula di trigonometria relativa alla tangente della somma di due angoli, possiamo scrivere :

          .

Ricaviamo i valori di  , .

Si ha immediatamente (per un noto teorema trigonometrico applicato al triangolo rettangolo  ) :

        .

Per ricavare    consideriamo il triangolo rettangolo  .

Per esso possiamo scrivere (per un noto teorema trigonometrico applicato al triangolo rettangolo  ) :

          .

Ma :

e (applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo ) :

        .

Abbiamo allora, sostituendo in :

da cui :

        .

Per ricavare    possiamo procedere in questo modo.

Prima di tutto ricordiamo che :

per cui si ricava :

e, essendo    acuto :

        .

A questo punto, possiamo scrivere direttamente :

          .

Il coefficiente angolare    risulta allora :

        .

Il risultato così ottenuto può essere "razionalizzato" (cioè il denominatore può essere "trasformato" in modo da non contenere radici) semplicemente moltiplicando numeratore e denominatore per  .

Si può perciò scrivere :

        .

Il risultato :

coincide esattamente con quanto trovato nel precedente procedimento.

Si lascia al lettore volenteroso l'analogo calcolo di  .

Fine.

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