E-school  di  Arrigo Amadori

Tutorial di matematica

Curve reali notevoli : circonferenza (1' parte)

01 - Equazione della circonferenza.

Su piano cartesiano    , una circonferenza è definita come il luogo geometrico dei punti che distano un certo valore non negativo costante, detto raggio, da un punto fisso detto centro

Alcune precisazioni :

        -    "luogo geometrico" è sinonimo di insieme di punti che soddisfano certe condizioni

        -    "raggio non negativo" perché, come vedremo più avanti, è possibile avere circonferenze con raggio nullo od immaginario.

Sia    il centro di coordinate    , sia    il raggio e sia    un generico punto della circonferenza

Sottolineiamo il fatto che i numeri    sono dati a priori e sono costanti mentre i numeri  , invece, rappresentando le coordinate di un generico punto della circonferenza, sono variabili.

Una circonferenza è rappresentata dal grafico :

       

La definizione di circonferenza data sopra si esprime matematicamente come :

        .

Con la nota formula della distanza fra due punti, ricavata direttamente applicando il teorema di Pitagora, possiamo scrivere :

        .

La giustificazione grafica della suddetta è :

       

Ora procediamo semplificando l'espressione appena trovata.

Come prima cosa eleviamo ambi i membri al quadrato (trattandosi di quantità positive).

Si ricava :

       

che, eseguendo i quadrati, diventa :

        .

Ora portiamo tutto a sinistra ed ordiniamo. Si ricava :

       

e :

         

(le parentesi stanno a sottolineare il fatto che il termine    è costante, cioè non contiene le incognite  ).

Poniamo per comodità :

        .

Sostituendo, avremo allora :

        .

Questa è l'equazione della circonferenza, cioè l'equazione soddisfatta da tutti (e soli) i punti    che distano dal centro   .

Ricaviamo ora i legami matematici fra le coordinate del centro ed il raggio, ovvero fra i numeri  , ed i parametri della circonferenza  .

Per le coordinate    del centro, si ha direttamente :

        

per cui possiamo scrivere in sintesi :

        .

Per ricavare il raggio  , sostituiamo i valori appena trovati in  .

Otteniamo così :

       

da cui :

       

e :

       

e :

       

e :

       

ed infine :

        .

Le formule :

       

        ,

noti i valori dei parametri della circonferenza  , forniscono direttamente le coordinate del centro nonché il raggio della medesima.

Ma ritorniamo all'equazione della circonferenza :

       

per puntualizzarne le fondamentali caratteristiche.

Si nota immediatamente che :

        1)    si tratta di un'equazione di secondo grado nelle variabili   

        2)    i coefficienti dei termini di secondo grado    sono uguali ad  . 

                In verità, essi potrebbero essere anche diversi da    purché però fra loro uguali. Per esempio, l'equazione :

                        ,

                dividendo entrambi i membri per  , diventa :

                         

                che è del tipo in questione.

                Non così per l'equazione :

                       

                oppure :

                        .

                Queste ultime due equazioni non rappresentano circonferenze !!!

        3)    manca il termine misto  .

Tutte le equazioni di secondo grado nelle variabili   che hanno i suddetti requisiti sono equazioni di circonferenze !!!

In realtà occorre porre condizioni anche sulla scelta dei parametri  per evitare che il raggio    non sia un numero reale. Basterà porre che il radicando presente nella formula del raggio sia non negativo (positivo o nullo), cioè porre :

        .

Nel caso in cui vale :

         ,

la circonferenza ha raggio nullo  ( ) ovvero essa si riduce ad un punto. Un punto del piano, quindi, può essere considerato come una circonferenza di raggio nullo !!! Una tale circonferenza è detta degenere.

Se, invece, si verifica che :

        ,

la radice contenuta nella formula del raggio ( ) non fornisce un risultato reale. In questi casi, la circonferenza risulta avere raggio immaginario !!! e una tale circonferenza non è rappresentabile geometricamente sul piano

02 - Esempi di equazioni di circonferenze.

        -    sia l'equazione    .

Si tratta dell'equazione di una circonferenza (perché soddisfa i requisiti indicati sopra). Determiniamone il centro ed il raggio

Essendo :

       

si ha :

        .

Si tratta quindi di una circonferenza (degenere) con centro nell'origine e raggio nullo, circonferenza che coincide con l'origine stessa. 

Graficamente :

       

        -    sia l'equazione    .

Si tratta dell'equazione di una circonferenza (perché soddisfa i requisiti indicati sopra). Determiniamone il centro ed il raggio

Essendo :

       

si ha centro :

         

e raggio :

        ,

dove il numero non reale    è l'unità immaginaria.

Si tratta quindi di una circonferenza con centro nell'origine e raggio immaginario

In questo caso non è possibile alcun grafico !!!

        -    sia l'equazione    .

Si tratta dell'equazione di una circonferenza (perché soddisfa i requisiti indicati sopra). Determiniamone il centro ed il raggio

Essendo :

       

si ha :

        .

Si tratta quindi di una circonferenza con centro nell'origine e raggio unitario

Graficamente :

       

        -    sia l'equazione    .

Si tratta dell'equazione di una circonferenza (perché soddisfa i requisiti indicati sopra). Determiniamone il centro ed il raggio

Essendo :

       

si ha :

        .

Si tratta quindi di una circonferenza con centro in    e raggio 

Graficamente :

       

03 - Esercizio.

Si ricavi l'equazione della circonferenza avente centro in    e raggio  .

Risoluzione.

L'equazione generica della circonferenza (nel piano cartesiano  ) è :

       

e centro e raggio sono dati da :

       

        .

Essendo :

        ,

ovvero :

        ,

avremo :

        .

Si noti che la conoscenza delle coordinate del centro fornisce immediatamente i valori dei parametri    , cioè di due parametri su tre !!!.

Sostituendo i valori fin qui noti nella formula del raggio    , si ricava :

       

da cui :

        .

Elevando al quadrato ambo i membri otteniamo :

        ,

da cui :

       

e :

       

ed infine :

        .

L'equazione della circonferenza è quindi :

        .

Graficamente :

       

04 - Esercizio.

Si ricavi l'equazione della circonferenza avente centro in    e passante per il punto  .

Risoluzione.

Ricordiamo ancora che l'equazione generica della circonferenza (nel piano cartesiano  ) è :

       

e che centro e raggio sono dati da :

       

        .

Essendo :

        ,

ovvero :

        ,

avremo :

        .

Sostituendo, l'equazione della circonferenza diventa allora :

        .

Rimane da determinare  .

Per fare questo, ricordando il "concetto fondamentale" della geometria analitica (cioè che se un punto sta su una curva le sue coordinate ne soddisfano l'equazione) sostituiamo direttamente nell'equazione  le coordinate di  .

Scriviamo perciò :

       

cioè :

       

da cui :

        .

L'equazione della circonferenza è quindi :

        .

Graficamente :

       

Fine.

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