E-school  di  Arrigo Amadori

Tutorial di matematica

Algebra di base (3' parte)

19 - Potenze.

Spesso i numeri vengono rappresentati mediante potenze. Si tratta di una notazione utile per diversi tipi di calcolo

Inizialmente la potenza di un numero viene definita come prodotto ripetuto di fattori tutti uguali.

Esempio :

       

dove    (base)  indica il valore di ogni fattore e  (esponente) indica il numero dei fattori.

Poiché per avere un prodotto occorrono almeno due fattori, l’esponente deve essere .

In generale si ha :

        =  prodotto di  fattori razionali tutti uguali ad  , con    numero intero positivo .

La potenza di un numero positivo è sempre un numero positivo. La potenza di un numero negativo è un numero positivo quando l’esponente è pari, è un numero negativo quando l’esponente è dispari.

Proprietà delle potenze:

        1)  Il prodotto di potenze con la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e esponente la somma degli esponenti.

Esempio :

        .

        2)  Il quoziente di due potenze con la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti (esponente del dividendo meno esponente del divisore).

Questa proprietà vale quando la differenza degli esponenti è  .

Esempio : 

          .

        3)  La potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti.

Esempio: 

          .

Vedremo in seguito altre due proprietà delle potenze meno utilizzate delle precedenti.

Per estendere la seconda proprietà delle potenze ai casi in cui la differenza degli esponenti è  , diamo una definizione di potenza anche per esponenti interi  ,  compresi i valori negativi.

        a) Quoziente di potenze di ugual base con differenza degli esponenti  :

         

applicando la seconda proprietà si avrebbe :

         

  non l’abbiamo definito, non ha ancora nessun significato. Decidiamo di definire  . Così la proprietà del quoziente è valida anche in questo caso. In generale sarà :

        .

        b) Quoziente di potenze di ugual base con differenza degli esponenti  :

              (un numero diviso se stesso per risultato  )

applicando la seconda proprietà si avrebbe :

         

non l’abbiamo definito, non ha ancora nessun significato. Decidiamo di definire  . Così la proprietà del quoziente è valida anche in questo caso. In generale sarà :

          qualunque sia il valore di  .

        c) Quoziente di potenze di ugual base con differenza degli esponenti  :

         

applicando la seconda proprietà si avrebbe :

         

  non l’abbiamo definito, non ha ancora nessun significato. Decidiamo di definire  .  Così la proprietà del quoziente è valida anche in questo caso.  In generale sarà :

           con e (quest'ultima condizione è necessaria perché non si può mai dividere per  ).

Per estendere la seconda proprietà a tutti i casi possibili abbiamo dovuto dare tre nuove definizioni di potenza di un numero. Vedremo come questo sarà molto utile per le operazioni di calcolo.

Fine.

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