E-school  di  Arrigo Amadori

Tutorial di matematica

Algebra di base (2' parte)

13 - Proprietà delle moltiplicazioni fra frazioni.

La moltiplicazione fra frazioni gode delle seguenti proprietà

        a)    Proprietà associativa (per la moltiplicazione).

Così come i numeri naturali, anche le frazioni godono della proprietà associativa (per la moltiplicazione).

Tale proprietà è espressa dalla formula :

        ,

dove , , , sono frazioni e dove abbiamo usato il punto  " " per il simbolo di moltiplicazione.

Si noti che, poiché le parentesi non influiscono sul risultato, le si può semplicemente omettere e scrivere direttamente  .

        b)    Proprietà commutativa (per la moltiplicazione).

La proprietà commutativa (per la moltiplicazione), come per i numeri naturali, è espressa dalla formula :

        .

        c)    Proprietà distributiva (della moltiplicazione rispetto all'addizione).

Questa proprietà, goduta ovviamente anche dai numeri naturali, è fondamentale nel calcolo delle espressioni dove sono presenti più operazioni.

Si ha :

        .

        d)    Esistenza dell'elemento neutro moltiplicativo  .

Per il numero    si può scrivere :

        .

Si dice perciò che    è l'elemento neutro moltiplicativo.

        e)    Esistenza dell'inverso (moltiplicativo).

Una frazione possiede un'unica frazione inversa (dal punto di vista della moltiplicazione). Questa regola ha però una fondamentale eccezione.

Non esiste l'inverso (moltiplicativo) di  !!!

L'inverso (moltiplicativo) di    è indicato da :

       

ed è tale per cui si ha :

        .

Per esempio, l'inverso (moltiplicativo) di    è    perché :

        .

        f)    L'insieme dei numeri razionali è chiuso rispetto alla moltiplicazione.

Questa affermazione è molto importante perché ci garantisce che comunque noi prendiamo due frazioni, il loro prodotto è ancora una frazione.

Non tutte le operazioni all'interno di un dato insieme di numeri sono chiuse

Per esempio, nell'ambito dei numeri naturali, la sottrazione e la divisione non forniscono sempre numeri naturali !!! 

Le frazioni sono state "create" proprio perché l'operazione della divisione diventasse chiusa !!!

E' evidente che, quando possibile, si cerca di lavorare con operazioni chiuse.

14 - Semplificazioni durante la moltiplicazione di frazioni.

Consideriamo la moltiplicazione :

        .

Per quanto visto in precedenza possiamo ricavare :

       

e poi, applicando la proprietà invariantiva :

        .

Per evitare, però, di "lavorare" con numeri "grandi" e poi semplificare alla fine, è conveniente procedere nel seguente modo "semplificando in diagonale" :

        .

Per spiegare questo procedimento ricordiamo che, quando in una moltiplicazione un fattore viene diviso per un numero, anche il prodotto risultante rimane diviso per quel numero.

Esempio :   

        .

Dividendo il fattore    per , anche il prodotto viene diviso per  :

        .

Nell’esempio precedente abbiamo diviso il fattore    al numeratore per    e così il prodotto  è stato diviso per  .  Abbiamo poi diviso per    il fattore     al denominatore e così il prodotto  è stato diviso per  .  

Avendo diviso entrambi i prodotti, quello al numeratore e quello al denominatore,  per  ,  grazie alla proprietà invariantiva la frazione ottenuta :

         

è equivalente a quella iniziale.  

Lo stesso procedimento vale per la successiva semplificazione fra il fattore  al numeratore e il fattore    al denominatore.

15 - Esercizi.

        1)    confrontare le frazioni :

       

       

       

        2)    inserire sulla retta orientata le frazioni :

       

        3)    scrivere una frazione compresa fra  e 

        4)    calcolare :

       

        5)    calcolare :

        .

Risoluzioni.

        1)

        Poiché :

         

        e :

        ,

        si deduce che :

        .

        Poiché :

        , 

        si deduce che :

        .

        Poiché :

       

        si deduce che :

        .

        2)    Si ha :

       

        3)    Poiché :

       

        e :

        ,

        una frazione compresa fra le due è :

        .

        4)    Si ha :

        .

        5)    Si ha :

       

16 - Divisione fra frazioni.

Per la divisione con le frazioni seguiamo lo stesso procedimento usato per la moltiplicazione, partendo dalla definizione di divisione per i numeri naturali.

La divisione fra numeri naturali viene definita in aritmetica come l'operazione che permette di dividere una quantità, rappresentata da un numero naturale, in un certo numero di parti uguali, rappresentate da un altro numero naturale.

Esempio:

         

dove    (dividendo) rappresenta la quantità da dividere,    (divisore) indica quante parti  uguali se ne vogliono fare e    (quoto)  indica il valore delle parti ottenute.

L’operazione così definita ha come conseguenza il seguente risultato:  

        il prodotto fra quoto e divisore è sempre uguale al dividendo.  

Nell’esempio precedente :

        .

La definizione data vale quando il divisore è un numero naturale  , perché per dividere in parti uguali occorre che le parti siano almeno due

Questa definizione non è valida nemmeno quando si ha a che fare con le frazioni : non ha senso ad esempio dividere una quantità in di

parti uguali.

Quando il divisore è un numero naturale , oppure quando dividendo e divisore sono frazioni, occorre dare una nuova definizione di divisione.

Daremo una definizione che porti allo stesso risultato della divisione fra numeri naturali.

Definiamo la divisione fra numeri razionali in questo modo :

        dati due numeri razionali  e  , il risultato della divisione è quel numero razionale    (se esiste) tale che  .

Vediamo ora i casi che si possono presentare. 

        1)  sono numeri naturali con   

Con l’introduzione delle frazioni questa operazione è sempre possibile :

           (    )

        2)    è  un numero naturale e   

         (   )

        3)  dividendo e divisore sono frazioni

         infatti   

        4)  il divisore è il numero naturale   

          con    è impossibile perché nessun numero razionale moltiplicato per il divisore    il numero 

          non ha senso. Qualunque numero, moltiplicato per il divisore  mi il dividendo  . In questo caso si dice anche che il risultato della divisione è indeterminato.

Osservazione:  si dimostra facilmente, tramite le definizioni date, che :

        .

17 - Numeri relativi.

Con i numeri naturali non è sempre possibile eseguire la sottrazione.

Per esempio :

        .

Non esiste nessun numero naturale che sommato a    dia come risultato  .

Per potere eseguire sempre questa operazione sono stati introdotti i numeri negativi.

Per esempio :

          

dove    è un numero negativo.

I numeri negativi si possono rappresentare mediante punti su di una retta orientata posti alla sinistra dello  .

       

I numeri negativi sono tutti minori di  .

I numeri maggiori di    li chiamiamo numeri positivi

numeri negativi e positivi costituiscono l'insieme dei numeri relativi.

I numeri negativi li scriviamo preceduti dal segno meno ( ), mentre i positivi li scriviamo preceduti o no dal segno più ( ).

Per esempio :

          numero negativo

          oppure    numero positivo.

Chiamiamo valore assoluto di un numero relativo il valore del numero privato del segno.

Per esempio :

        valore assoluto di  =>

        valore assoluto di  => .

Il valore assoluto di un numero positivo coincide con il valore del numero stesso.

Due numeri con lo stesso segno li chiamiamo concordi, con segno opposto li chiamiamo discordi.

Per comprendere il significato del numero negativo    si possono fare diversi esempi. Un esempio classico è quello dei debiti e dei crediti.

Se indichiamo i crediti con i numeri positivi e i debiti con i numeri negativi, l'esempio precedente assume il significato seguente.

Se abbiamo in banca un deposito di    euro (credito) e preleviamo    euro, cioè eseguiamo l'operazione  , il risultato è  , cioè un debito di    euro.

Con l'introduzione dei numeri relativi la sottrazione può essere trasformata in un'addizione (addizione algebrica). 

L'operazione :

       

è equivalente a :

        .

Invece di togliere un credito di     euro, aggiungiamo un debito di    euro. Il risultato è lo stesso.

Con l'introduzione delle frazioni la divisione può essere trasformata in moltiplicazione. Con l'introduzione dei numeri negativi la sottrazione può essere eseguita mediante un'addizione. Bastano perciò due sole operazioni per i calcoli che prima richiedevano quattro operazioni.

Vediamo ora come eseguire queste due operazioni (addizione e moltiplicazione) utilizzando i numeri relativi.

Addizione :

          due crediti si sommano

          due debiti si sommano

          un credito di    sommato ad un debito di  dà come risultato un credito di   

          un debito di    sommato ad un credito di    dà come risultato un debito di  .

Conclusione

        la somma algebrica di due numeri concordi ha, per valore assoluto, la somma dei valori assoluti e, per segno, il segno comune dei due numeri

        la somma algebrica di due numeri discordi ha, per valore assoluto, la differenza dei valori assoluti (il maggiore meno il minore) e, per segno, quello del numero che ha valore assoluto maggiore.

Moltiplicazione :

          abbiamo   volte un credito di  : risulta un credito di 

          abbiamo   volte un debito di  : risulta un debito di 

          togliamo   volte un credito di  : risulta un debito di 

          togliamo   volte un debito di  : risulta un credito di  (rispetto alla situazione precedente )

Conclusione

        il prodotto fra due numeri concordi è un numero positivo, il prodotto fra due numeri discordi è un numero negativo

I numeri razionali positivi più i numeri razionali negativi costituiscono l'insieme dei numeri razionali relativi che chiamiamo semplicemente numeri razionali.

Per le operazioni con i numeri razionali negativi continuano a valere tutte le proprietà che valgono per le operazioni fra i numeri razionali positivi.

18 - Esercizi.

        1)        calcolare l'espressione :

       

        2)        calcolare l'espressione :

          

Risoluzioni.

        1)    si ha :

       

       

       

       

       

        ecc. ecc.

        2)    si ha :

       

       

       

       

       

Fine.

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